Страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

8.8 Составьте какое-нибудь линейное уравнение с двумя переменными, решением которого служит пара чисел:

а) $ (2; 3) $;

б) $ (-6; -5) $;

в) $ (6; -5) $;

г) $ (-7; 0) $.

Общий вид линейного уравнения с двумя переменными $x$ и $y$ — это $ax + by = c$, где $a$, $b$ и $c$ являются числами, причем хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ отличен от нуля. Пара чисел $(x_0; y_0)$ является решением такого уравнения, если при подстановке этих значений вместо $x$ и $y$ получается верное равенство: $ax_0 + by_0 = c$.

Чтобы составить уравнение для заданной пары чисел, можно выбрать любые удобные коэффициенты $a$ и $b$ (не равные нулю одновременно), подставить в выражение $ax + by$ заданные значения $x_0$ и $y_0$ и вычислить, чему будет равно $c$. Для каждой пары чисел можно составить бесконечно много таких уравнений. Ниже приведены примеры для каждого случая.

Пусть дана пара чисел $x = 2$ и $y = 3$. Выберем самые простые коэффициенты для переменных: $a=1$ и $b=1$. Тогда левая часть уравнения примет вид $x+y$.

Теперь найдем значение $c$, подставив наши числа в левую часть:

$c = 2 + 3 = 5$

Таким образом, мы получаем линейное уравнение $x + y = 5$. Проверим, подставив в него исходную пару чисел: $2 + 3 = 5$. Равенство верно.

Ответ: $x + y = 5$

Дана пара чисел $x = -6$ и $y = -5$. Выберем коэффициенты, например, $a=1$ и $b=1$. Левая часть уравнения будет $x+y$.

Вычислим значение $c$:

$c = (-6) + (-5) = -11$

Искомое уравнение: $x + y = -11$. Проверка: $(-6) + (-5) = -11$. Равенство верно.

Ответ: $x + y = -11$

Дана пара чисел $x = 6$ и $y = -5$. Чтобы показать разнообразие вариантов, выберем коэффициенты $a=5$ и $b=6$. Левая часть уравнения будет $5x+6y$.

Вычислим значение $c$:

$c = 5 \cdot 6 + 6 \cdot (-5) = 30 - 30 = 0$

Получаем уравнение $5x + 6y = 0$. Проверка: $5 \cdot 6 + 6 \cdot (-5) = 30 - 30 = 0$. Равенство верно.

Ответ: $5x + 6y = 0$

Дана пара чисел $x = -7$ и $y = 0$. Выберем коэффициенты $a=1$ и $b=1$. Левая часть уравнения: $x+y$.

Вычислим значение $c$:

$c = (-7) + 0 = -7$

Получаем уравнение $x + y = -7$. Проверка: $(-7) + 0 = -7$. Равенство верно.

Ответ: $x + y = -7$

8.9 Не выполняя построения, ответьте на вопрос: какие из точек M(5; 7), N(0; 3,5), K(7; 0), L(2; 3) принадлежат графику уравнения $x + 2y - 7 = 0?$

Для каждого из данных линейных уравнений найдите значение y, соответствующее заданному значению x:

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику уравнения, необходимо подставить координаты этой точки ($x$ и $y$) в данное уравнение. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

Уравнение графика: $x + 2y - 7 = 0$.

M(5; 7)

Подставим координаты точки M, где $x=5$ и $y=7$, в левую часть уравнения:

$5 + 2 \cdot 7 - 7 = 5 + 14 - 7 = 12$

Сравним результат с правой частью уравнения: $12 \ne 0$.

Так как равенство неверно, точка M не принадлежит графику уравнения.

Ответ: не принадлежит.

N(0; 3,5)

Подставим координаты точки N, где $x=0$ и $y=3,5$, в левую часть уравнения:

$0 + 2 \cdot 3,5 - 7 = 0 + 7 - 7 = 0$

Сравним результат с правой частью уравнения: $0 = 0$.

Так как равенство верно, точка N принадлежит графику уравнения.

Ответ: принадлежит.

K(7; 0)

Подставим координаты точки K, где $x=7$ и $y=0$, в левую часть уравнения:

$7 + 2 \cdot 0 - 7 = 7 + 0 - 7 = 0$

Сравним результат с правой частью уравнения: $0 = 0$.

Так как равенство верно, точка K принадлежит графику уравнения.

Ответ: принадлежит.

L(2; 3)

Подставим координаты точки L, где $x=2$ и $y=3$, в левую часть уравнения:

$2 + 2 \cdot 3 - 7 = 2 + 6 - 7 = 8 - 7 = 1$

Сравним результат с правой частью уравнения: $1 \ne 0$.

Так как равенство неверно, точка L не принадлежит графику уравнения.

Ответ: не принадлежит.

8.10 а) $3x + 2y - 6 = 0$, если $x = 0$;

б) $5x - 7y - 14 = 0$, если $x = 0$;

в) $15x + 25y + 75 = 0$, если $x = 0$;

г) $81x - 15y + 225 = 0$, если $x = 0$.

а) Для решения уравнения $3x + 2y - 6 = 0$ при условии $x = 0$, подставим значение $x$ в уравнение:

$3 \cdot 0 + 2y - 6 = 0$

$0 + 2y - 6 = 0$

$2y = 6$

$y = \frac{6}{2}$

$y = 3$

Ответ: $y = 3$.

б) Для решения уравнения $5x - 7y - 14 = 0$ при условии $x = 0$, подставим значение $x$ в уравнение:

$5 \cdot 0 - 7y - 14 = 0$

$0 - 7y - 14 = 0$

$-7y = 14$

$y = \frac{14}{-7}$

$y = -2$

Ответ: $y = -2$.

в) Для решения уравнения $15x + 25y + 75 = 0$ при условии $x = 0$, подставим значение $x$ в уравнение:

$15 \cdot 0 + 25y + 75 = 0$

$0 + 25y + 75 = 0$

$25y = -75$

$y = \frac{-75}{25}$

$y = -3$

Ответ: $y = -3$.

г) Для решения уравнения $81x - 15y + 225 = 0$ при условии $x = 0$, подставим значение $x$ в уравнение:

$81 \cdot 0 - 15y + 225 = 0$

$0 - 15y + 225 = 0$

$-15y = -225$

$15y = 225$

$y = \frac{225}{15}$

$y = 15$

Ответ: $y = 15$.

8.11 а) $8x + 6y - 11 = 0$, если $x = 1$;

б) $11x - 13y + 16 = 0$, если $x = -5$;

в) $19x - 11y - 24 = 0$, если $x = 3$;

Г) $3x + 2y + 30 = 0$, если $x = -8$.

а) Дано уравнение $8x + 6y - 11 = 0$, необходимо найти значение $y$, если $x = 1$.

Подставим значение $x=1$ в исходное уравнение:

$8 \cdot 1 + 6y - 11 = 0$

Выполним вычисления:

$8 + 6y - 11 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$6y - 3 = 0$

Перенесем свободный член (-3) в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$6y = 3$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 6:

$y = \frac{3}{6}$

Сократим полученную дробь:

$y = \frac{1}{2} = 0,5$

Ответ: $y = 0,5$.

б) Дано уравнение $11x - 13y + 16 = 0$, необходимо найти значение $y$, если $x = -5$.

Подставим значение $x=-5$ в уравнение:

$11 \cdot (-5) - 13y + 16 = 0$

Выполним вычисления:

$-55 - 13y + 16 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-13y - 39 = 0$

Перенесем свободный член (-39) в правую часть уравнения:

$-13y = 39$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на -13:

$y = \frac{39}{-13}$

$y = -3$

Ответ: $y = -3$.

в) Дано уравнение $19x - 11y - 24 = 0$, необходимо найти значение $y$, если $x = 3$.

Подставим значение $x=3$ в уравнение:

$19 \cdot 3 - 11y - 24 = 0$

Выполним вычисления:

$57 - 11y - 24 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$33 - 11y = 0$

Перенесем член с переменной $y$ в правую часть уравнения:

$33 = 11y$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 11:

$y = \frac{33}{11}$

$y = 3$

Ответ: $y = 3$.

г) Дано уравнение $3x + 2y + 30 = 0$, необходимо найти значение $y$, если $x = -8$.

Подставим значение $x=-8$ в уравнение:

$3 \cdot (-8) + 2y + 30 = 0$

Выполним вычисления:

$-24 + 2y + 30 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$2y + 6 = 0$

Перенесем свободный член (6) в правую часть уравнения:

$2y = -6$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 2:

$y = \frac{-6}{2}$

$y = -3$

Ответ: $y = -3$.

8.12 a) $6x + 2y - 1 = 0$, если $x = -0,1$;

б) $7x - y - 4 = 0$, если $x = -2\frac{1}{7}$;

в) $3x + 5y - 10 = 0$, если $x = 0,5$;

г) $9x - 2y - 3 = 0$, если $x = 8\frac{2}{9}$.

а) Для уравнения $6x + 2y - 1 = 0$ найдем значение $y$, если $x = -0,1$.
Подставим значение $x$ в уравнение:
$6 \cdot (-0,1) + 2y - 1 = 0$
$-0,6 + 2y - 1 = 0$
Сгруппируем известные и неизвестные члены:
$2y - 1,6 = 0$
$2y = 1,6$
$y = \frac{1,6}{2}$
$y = 0,8$
Ответ: $y = 0,8$.

б) Для уравнения $7x - y - 4 = 0$ найдем значение $y$, если $x = -2\frac{1}{7}$.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $x = -2\frac{1}{7} = -\frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = -\frac{15}{7}$.
Подставим значение $x$ в уравнение:
$7 \cdot (-\frac{15}{7}) - y - 4 = 0$
$-15 - y - 4 = 0$
Сгруппируем известные и неизвестные члены:
$-y - 19 = 0$
$-y = 19$
$y = -19$
Ответ: $y = -19$.

в) Для уравнения $3x + 5y - 10 = 0$ найдем значение $y$, если $x = 0,5$.
Подставим значение $x$ в уравнение:
$3 \cdot 0,5 + 5y - 10 = 0$
$1,5 + 5y - 10 = 0$
Сгруппируем известные и неизвестные члены:
$5y - 8,5 = 0$
$5y = 8,5$
$y = \frac{8,5}{5}$
$y = 1,7$
Ответ: $y = 1,7$.

г) Для уравнения $9x - 2y - 3 = 0$ найдем значение $y$, если $x = 8\frac{2}{9}$.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $x = 8\frac{2}{9} = \frac{8 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{74}{9}$.
Подставим значение $x$ в уравнение:
$9 \cdot \frac{74}{9} - 2y - 3 = 0$
$74 - 2y - 3 = 0$
Сгруппируем известные и неизвестные члены:
$71 - 2y = 0$
$-2y = -71$
$y = \frac{-71}{-2}$
$y = 35,5$
Ответ: $y = 35,5$.

Для каждого из данных линейных уравнений найдите значение x, соответствующее заданному значению y:

8.13 a) $6x + 12y - 42 = 0$, если $y = 0$;

б) $17x - 5y + 85 = 0$, если $y = 0$;

в) $8x - 35y = 96$, если $y = 0$;

г) $16x + 54y = 64$, если $y = 0$.

а) Рассмотрим уравнение $6x + 12y - 42 = 0$. Чтобы найти значение $x$ при $y=0$, подставим это значение в уравнение:
$6x + 12 \cdot 0 - 42 = 0$
После умножения на ноль получаем:
$6x - 42 = 0$
Теперь решим это простое линейное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:
$6x = 42$
Найдем $x$, разделив обе части уравнения на коэффициент при $x$:
$x = \frac{42}{6}$
$x = 7$
Ответ: 7

б) Рассмотрим уравнение $17x - 5y + 85 = 0$. Подставим в него $y=0$:
$17x - 5 \cdot 0 + 85 = 0$
Упростим выражение:
$17x + 85 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть с противоположным знаком:
$17x = -85$
Найдем $x$, разделив обе части на 17:
$x = \frac{-85}{17}$
$x = -5$
Ответ: -5

в) Рассмотрим уравнение $8x - 35y = 96$. Подставим значение $y=0$:
$8x - 35 \cdot 0 = 96$
После упрощения получаем:
$8x = 96$
Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 8:
$x = \frac{96}{8}$
$x = 12$
Ответ: 12

г) Рассмотрим уравнение $16x + 54y = 64$. Подставим в него $y=0$:
$16x + 54 \cdot 0 = 64$
Упростим левую часть:
$16x = 64$
Найдем $x$, разделив обе части на 16:
$x = \frac{64}{16}$
$x = 4$
Ответ: 4

8.14 a) $4x + 7y - 12 = 0$, если $y = -4$;

б) $23x - 9y + 5 = 0$, если $y = -2$;

в) $5x - 3y - 11 = 0$, если $y = 3$;

г) $2x + 4y + 9 = 0$, если $y = 1$.

а) Для того чтобы найти значение $x$ в уравнении $4x + 7y - 12 = 0$, подставим в него известное значение $y = -4$.
$4x + 7 \cdot (-4) - 12 = 0$
Выполним умножение:
$4x - 28 - 12 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$4x - 40 = 0$
Перенесем $-40$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$4x = 40$
Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 4:
$x = \frac{40}{4}$
$x = 10$
Ответ: $x = 10$.

б) Для того чтобы найти значение $x$ в уравнении $23x - 9y + 5 = 0$, подставим в него известное значение $y = -2$.
$23x - 9 \cdot (-2) + 5 = 0$
Выполним умножение:
$23x + 18 + 5 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$23x + 23 = 0$
Перенесем $23$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$23x = -23$
Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 23:
$x = \frac{-23}{23}$
$x = -1$
Ответ: $x = -1$.

в) Для того чтобы найти значение $x$ в уравнении $5x - 3y - 11 = 0$, подставим в него известное значение $y = 3$.
$5x - 3 \cdot 3 - 11 = 0$
Выполним умножение:
$5x - 9 - 11 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$5x - 20 = 0$
Перенесем $-20$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$5x = 20$
Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 5:
$x = \frac{20}{5}$
$x = 4$
Ответ: $x = 4$.

г) Для того чтобы найти значение $x$ в уравнении $2x + 4y + 9 = 0$, подставим в него известное значение $y = 1$.
$2x + 4 \cdot 1 + 9 = 0$
Выполним умножение:
$2x + 4 + 9 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$2x + 13 = 0$
Перенесем $13$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$2x = -13$
Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:
$x = -\frac{13}{2}$
$x = -6.5$
Ответ: $x = -6.5$.