Страница 41, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

7.35 Длина стороны квадрата $ABCD$ равна 6, а координаты вершины $A$ равны $(-2; 3)$. Найдите координаты остальных вершин, зная, что сторона $AB$ квадрата параллельна оси ординат и что начало координат лежит внутри квадрата.

По условию, сторона квадрата $ABCD$ равна 6, вершина $A$ имеет координаты $(-2; 3)$, а сторона $AB$ параллельна оси ординат ($Oy$). Это означает, что точки $A$ и $B$ лежат на одной вертикальной прямой, поэтому их абсциссы (координаты $x$) равны. Следовательно, абсцисса точки $B$ также равна -2.

Длина стороны $AB$ равна 6. Расстояние между точками $A(-2; 3)$ и $B(-2; y_B)$ равно $|y_B - 3|$. Таким образом, получаем уравнение:

$|y_B - 3| = 6$

Это уравнение имеет два возможных решения для ординаты точки $B$:

1. $y_B - 3 = 6 \implies y_B = 9$. Координаты $B$ равны $(-2; 9)$.

2. $y_B - 3 = -6 \implies y_B = -3$. Координаты $B$ равны $(-2; -3)$.

Рассмотрим оба случая, учитывая, что стороны квадрата, смежные со стороной $AB$ (то есть $AD$ и $BC$), должны быть ей перпендикулярны. Так как $AB$ параллельна оси $Oy$, то $AD$ и $BC$ должны быть параллельны оси абсцисс ($Ox$).

Случай 1: Координаты вершины B равны (-2; -3).

Стороны $AD$ и $BC$ параллельны оси $Ox$ и имеют длину 6. Это означает, что ординаты точек $A$ и $D$ равны, а ординаты точек $B$ и $C$ также равны. То есть $y_D = y_A = 3$ и $y_C = y_B = -3$.

Длина стороны $AD$ равна 6, значит $|x_D - x_A| = |x_D - (-2)| = 6$. Отсюда $x_D$ может быть равен $4$ или $-8$.

а) Если $x_D = 4$, то координаты вершины $D$ — $(4; 3)$. Тогда и абсцисса вершины $C$ будет равна 4, то есть $C(4; -3)$. Получаем квадрат с вершинами $A(-2; 3), B(-2; -3), C(4; -3), D(4; 3)$. Проверим, лежит ли начало координат $(0; 0)$ внутри этого квадрата. Координаты $x$ вершин изменяются от -2 до 4, а координаты $y$ — от -3 до 3. Условия $-2 < 0 < 4$ и $-3 < 0 < 3$ выполняются. Следовательно, этот вариант подходит.

б) Если $x_D = -8$, то координаты вершины $D$ — $(-8; 3)$. Тогда и абсцисса вершины $C$ будет равна -8, то есть $C(-8; -3)$. В этом случае координаты $x$ вершин квадрата изменяются от -8 до -2. Условие $-8 < 0 < -2$ не выполняется, поэтому начало координат не лежит внутри этого квадрата. Этот вариант не подходит.

Случай 2: Координаты вершины B равны (-2; 9).

Аналогично первому случаю, $y_D = y_A = 3$ и $y_C = y_B = 9$.

Из $|x_D - x_A| = 6$ снова получаем $x_D = 4$ или $x_D = -8$.

а) Если $x_D = 4$, то $D(4; 3)$ и $C(4; 9)$. Координаты $y$ вершин квадрата изменяются от 3 до 9. Условие $3 < 0 < 9$ не выполняется. Вариант не подходит.

б) Если $x_D = -8$, то $D(-8; 3)$ и $C(-8; 9)$. Координаты $x$ вершин квадрата изменяются от -8 до -2. Условие $-8 < 0 < -2$ не выполняется. Вариант не подходит.

Таким образом, единственно возможным решением является квадрат, найденный в первом случае (а).

Ответ: Координаты остальных вершин: $B(-2; -3)$, $C(4; -3)$, $D(4; 3)$.

7.36 Квадрат со стороной 8 расположен так, что центр его находится в начале координат, а стороны параллельны осям координат. Определите координаты вершин квадрата.

На координатной плоскости постройте точки по заданным координатам и последовательно соедините их отрезками. Какая фигура при этом получится?

По условию задачи, центр квадрата совпадает с началом координат, точкой $O(0, 0)$. Сторона квадрата равна 8, а его стороны параллельны осям координат. Это означает, что квадрат симметричен относительно осей $Ox$ и $Oy$.

Расстояние от центра квадрата до любой из его сторон равно половине длины стороны: $8 / 2 = 4$.

Поскольку стороны параллельны осям, то вертикальные стороны будут располагаться на расстоянии 4 единицы слева и справа от оси $Oy$, то есть это прямые $x = -4$ и $x = 4$. Горизонтальные стороны будут располагаться на расстоянии 4 единицы сверху и снизу от оси $Ox$, то есть это прямые $y = -4$ и $y = 4$.

Вершины квадрата — это точки пересечения этих прямых. Таким образом, мы получаем четыре вершины с координатами, у которых модуль абсциссы и модуль ординаты равны 4. Координаты вершин:

• Вершина в I четверти: $(4, 4)$
• Вершина во II четверти: $(-4, 4)$
• Вершина в III четверти: $(-4, -4)$
• Вершина в IV четверти: $(4, -4)$

Ответ: $(4, 4)$, $(-4, 4)$, $(-4, -4)$, $(4, -4)$.

Для второго задания используются координаты, найденные выше: $A(4, 4)$, $B(-4, 4)$, $C(-4, -4)$ и $D(4, -4)$. Построим эти точки на координатной плоскости и последовательно соединим их отрезками: A с B, B с C, C с D и D с A.

В результате мы получаем замкнутую фигуру. Проанализируем ее свойства:

• Длина стороны AB, соединяющей точки $(4, 4)$ и $(-4, 4)$, равна $|4 - (-4)| = 8$. Эта сторона параллельна оси $Ox$.
• Длина стороны BC, соединяющей точки $(-4, 4)$ и $(-4, -4)$, равна $|4 - (-4)| = 8$. Эта сторона параллельна оси $Oy$.
• Длина стороны CD, соединяющей точки $(-4, -4)$ и $(4, -4)$, равна $|4 - (-4)| = 8$. Эта сторона параллельна оси $Ox$.
• Длина стороны DA, соединяющей точки $(4, -4)$ и $(4, 4)$, равна $|4 - (-4)| = 8$. Эта сторона параллельна оси $Oy$.

Все стороны фигуры равны 8. Так как стороны поочередно параллельны осям координат, которые перпендикулярны друг другу, все углы фигуры прямые. Четырехугольник с равными сторонами и прямыми углами является квадратом.

Ответ: Получится квадрат.

7.37 a) $1(-1; 5)$, $2(-3; 5)$, $3(-3; 9)$, $4(-2; 10)$, $5(3; 10)$, $6(3; 4)$, $7(0; 1)$, $8(3; 1)$, $9(3; -1)$, $10(-3; -1)$, $11(-3; 1)$, $12(1; 5)$, $13(1; 8)$, $14(-1; 8)$;

б) $1(0; 7)$, $2(-1; 0)$, $3(0; 0)$, $4(0; 2)$, $5(2; 2)$, $6(2; 0)$, $7(3; 0)$, $8(3; -2)$, $9(2; -2)$, $10(2; -4)$, $11(0; -4)$, $12(0; -2)$, $13(-3; -2)$, $14(-3; 0)$, $15(-2; 7)$.

а) Для решения задачи необходимо нанести на координатную плоскость заданные точки и последовательно соединить их отрезками в соответствии с нумерацией. Точки имеют следующие координаты: $1(-1; 5)$, $2(-3; 5)$, $3(-3; 9)$, $4(-2; 10)$, $5(3; 10)$, $6(3; 4)$, $7(0; 1)$, $8(3; 1)$, $9(3; -1)$, $10(-3; -1)$, $11(-3; 1)$, $12(1; 5)$, $13(1; 8)$, $14(-1; 8)$.

Процесс построения можно разбить на этапы:

1. Сначала соединяем точки с 1-й по 11-ю. Эта последовательность точек образует контур чашки или кружки.

• Ломаная линия $1-2-3-4-5-6$ формирует левую часть, верхний край и правую стенку чашки.
• Ломаная линия $6-7-8$ образует ручку чашки.
• Ломаная линия $8-9-10-11$ является основанием и нижней частью левой стенки.

2. Далее, от точки $11(-3; 1)$ проводится линия к точке $12(1; 5)$, а затем продолжается ломаной $12-13-14$. Эта линия, выходящая из чашки, изображает поднимающийся от горячего напитка пар.

В результате всех построений на координатной плоскости получается изображение чашки с паром.

Ответ: Рисунок, изображающий чашку (кружку) с паром.

б) В этой задаче также требуется построить изображение по координатам точек. Для получения завершенного рисунка соединим точки последовательно от 1-й до 15-й, а затем соединим последнюю точку с первой.

Координаты точек: $1(0; 7)$, $2(-1; 0)$, $3(0; 0)$, $4(0; 2)$, $5(2; 2)$, $6(2; 0)$, $7(3; 0)$, $8(3; -2)$, $9(2; -2)$, $10(2; -4)$, $11(0; -4)$, $12(0; -2)$, $13(-3; -2)$, $14(-3; 0)$, $15(-2; 7)$.

Соединяем точки в указанном порядке от $1$ до $15$, а затем соединяем точку $15$ с точкой $1$. В результате получается замкнутая фигура, которая представляет собой ключ.

• Головка ключа (ушко) образована ломаной линией, проходящей через точки $1-2$, $14-15$ и замыкающим отрезком $15-1$.
• Стержень и бородка ключа с фигурными вырезами образованы ломаной линией, проходящей через точки $2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14$.

Таким образом, итоговый рисунок — это ключ.

Ответ: Рисунок, изображающий ключ.

7.38 a) 1$(4; 2)$, 2$(4; 4)$, 3$(3; 5)$, 4$(-1; 5)$, 5$(-2; 4)$, 6$(-2; -5)$, 7$(-1; -6)$, 8$(3; -6)$, 9$(4; -5)$, 10$(4; -1)$, 11$(3; 0)$, 12$(0; 0)$, 13$(0; 3)$, 14$(2; 3)$, 15$(2; 2)$, 16$(2; -2)$, 17$(2; -4)$, 18$(0; -4)$, 19$(0; -2)$;

б) 1$(-1; 3)$, 2$(-3; 3)$, 3$(-3; 5)$, 4$(-2; 6)$, 5$(2; 6)$, 6$(3; 5)$, 7$(3; 2)$, 8$(-1; -5)$, 9$(-3; -5)$, 10$(1; 2)$, 11$(1; 4)$, 12$(-1; 4)$.

а) Для решения задачи необходимо в декартовой системе координат отметить точки с заданными координатами (от 1 до 19) и последовательно соединить их отрезками в соответствии с нумерацией.

При выполнении построения получится узнаваемая фигура. Проанализируем ее части, которые образуются при последовательном соединении точек:
• Отрезки между точками с 1-й ($4; 2$) по 10-ю ($4; -1$) формируют контур рукоятки и стержня.
• Отрезки между точками с 10-й по 15-ю ($2; 2$) образуют отверстие в рукоятке.
• Отрезки между точками с 15-й по 19-ю ($0; -2$) создают бородку (рабочую часть) ключа.
Таким образом, в результате построения получается изображение ключа.

Ответ: изображение ключа.

б) По аналогии с предыдущим заданием, необходимо последовательно соединить отрезками точки с 1-й по 12-ю на координатной плоскости.

Полученный рисунок можно разбить на следующие элементы:
• Отрезки между точками с 1-й ($-1; 3$) по 7-ю ($3; 2$) формируют шляпку гриба.
• Отрезки между точками с 7-й по 10-ю ($1; 2$) образуют ножку гриба.
• Отрезки между точками с 10-й по 12-ю ($-1; 4$) изображают пластинки под шляпкой.
В результате построения получается рисунок гриба.

Ответ: изображение гриба.

7.39 a) $1(8; 2)$, $2(11; 2)$, $3(8; 9)$, $4(4; 10)$, $5(2; 9)$, $6(-1; 13)$, $7(-8; 10)$, $8(-9; 9)$, $9(-8; 7)$, $10(-12; 7)$, $11(-11; 10)$, $12(-15; 12)$, $13(-19; 11)$, $14(-15; 9)$, $15(-14; 3)$, $16(-7; 5)$, $17(-5; -3)$, $18(-6; -6)$, $19(-2; -6)$, $20(-3; -4)$, $21(-3; 3)$, $22(4; 3)$, $23(5; -3)$, $24(3; -5)$, $25(3; -6)$, $26(7; -6)$, $27(6; -5)$, $28(8; 7)$;

б) $1(0; -7)$, $2(3; 2)$, $3(6; 2)$, $4(7; 5)$, $5(7; 10)$, $6(6; 16)$, $7(9; 16)$, $8(5; 18)$, $9(2; 11)$, $10(1; 13)$, $11(-9; 11)$, $12(-10; 11)$, $13(-9; 7)$, $14(-8; 7)$, $15(-9; 5)$, $16(-4; 1)$, $17(-2; 2)$, $18(-2; -10)$, $19(4; -10)$.

а)

Для решения этой задачи необходимо нанести на декартову систему координат точки с заданными координатами и последовательно соединить их отрезками в указанном порядке, начиная с точки 1$(8; 2)$ и заканчивая точкой 28$(8; 7)$.

Когда все 28 точек будут отмечены и соединены в правильной последовательности, на плоскости появится контурное изображение дракона. Левая часть фигуры (точки 6-15) образует крыло, правая часть (точки 1-5, 28) — голову, а центральная и нижняя части (точки 16-27) — тело и лапы.

Ответ: дракон.

б)

Аналогично предыдущему пункту, необходимо последовательно отметить на координатной плоскости точки с заданными координатами и соединить их отрезками в порядке от 1 до 19.

В результате соединения точек, начиная с 1$(0; -7)$ и заканчивая 19$(4; -10)$, получится рисунок парусного корабля. Точки 1, 18 и 19 формируют корпус судна, а остальные точки образуют две мачты с парусами и флажок на вершине главной мачты (точка 8$(5; 18)$).

Ответ: кораблик.

7.40 a) $1(-3; 5)$, $2(-3; 3)$, $3(-1; 3,5)$, $4(-2,5; 2)$, $5(-8,5; 2)$, $6(-1; 0)$, $7(0; 0)$, $8(-3; -4)$, $9(-1; -6,5)$, $10(-2,5; -7)$, $11(0; -7)$, $12(-1; -3)$, $13(1; -2,5)$, $14(3; -2,5)$, $15(3; -3)$, $16(7; -3)$, $17(8; -5)$, $18(8; -3)$, $19(4; -1)$, $20(0; 2)$, $21(0; 3)$, $22(4; 3,5)$, $23(0; 4,5)$, $24(-1; 3,5)$;

б) $1(5; 5,5)$, $2(2,5; 8,5)$, $3(1; 8)$, $4(0,5; 5)$, $5(1,5; 3,5)$, $6(0,5; 4)$, $7(-2; 3,5)$, $8(-4,5; 1)$, $9(-5; 0,5)$, $10(-5,5; -5)$, $11(-3,5; -1,5)$, $12(-4; -3,5)$, $13(-2,5; -2)$, $14(-2; -3,5)$, $15(-2,5; -3,5)$, $16(-0,5; -8,5)$, $17(-1; -10)$, $18(1,5; -10)$, $19(-0,5; -8,5)$, $20(-0,5; -0,5)$, $21(3; 2,5)$, $22(2; 5,5)$, $23(2,5; 6,5)$.

а)

Для решения этой задачи необходимо последовательно отметить на координатной плоскости точки с заданными координатами и соединить их отрезками в указанном порядке. Координаты точек:

1$(-3; 5)$, 2$(-3; 3)$, 3$(-1; 3,5)$, 4$(-2,5; 2)$, 5$(-8,5; 2)$, 6$(-1; 0)$, 7$(0; 0)$, 8$(-3; -4)$, 9$(-1; -6,5)$, 10$(-2,5; -7)$, 11$(0; -7)$, 12$(-1; -3)$, 13$(1; -2,5)$, 14$(3; -2,5)$, 15$(3; -3)$, 16$(7; -3)$, 17$(8; -5)$, 18$(8; -3)$, 19$(4; -1)$, 20$(0; 2)$, 21$(0; 3)$, 22$(4; 3,5)$, 23$(0; 4,5)$, 24$(-1; 3,5)$.

Процесс построения:

1. Начертим систему координат $Oxy$.
2. Отметим точку 1 с координатами $(-3; 5)$.
3. Отметим точку 2 с координатами $(-3; 3)$ и соединим её отрезком с точкой 1.
4. Продолжим процесс, последовательно отмечая точки с 3 по 24 и соединяя каждую следующую точку с предыдущей.

Важно заметить, что точка 24 имеет те же координаты, что и точка 3: $(-1; 3,5)$. Это означает, что ломаная линия в этой точке пересекает саму себя. Отрезок, соединяющий точку 23 с точкой 24, фактически соединяет точку 23 с точкой 3.

Вся фигура представляет собой одну непрерывную ломаную линию. Она начинается с отрезка 1-2, который присоединен к большой петле, начинающейся в точке 3, проходящей через точки 4, 5, ..., 23 и возвращающейся в точку 3 (как точка 24).

В результате соединения всех точек в заданной последовательности на координатной плоскости получится изображение летящего птеродактиля.

• Отрезок 1-2 и петля, создаваемая точками 2-3-22-23-24(3), образуют голову с гребнем.
• Длинный отрезок 4-5 изображает левое крыло.
• Последовательность точек 13-18 образует правое крыло.
• Точки в нижней части (например, 8-12) формируют ноги.

Ответ: В результате построения получается изображение птеродактиля.

б)

Аналогично пункту а), построим на координатной плоскости точки и соединим их последовательно отрезками. Координаты точек:

1$(5; 5,5)$, 2$(2,5; 8,5)$, 3$(1; 8)$, 4$(0,5; 5)$, 5$(1,5; 3,5)$, 6$(0,5; 4)$, 7$(-2; 3,5)$, 8$(-4,5; 1)$, 9$(-5; 0,5)$, 10$(-5,5; -5)$, 11$(-3,5; -1,5)$, 12$(-4; -3,5)$, 13$(-2,5; -2)$, 14$(-2; -3,5)$, 15$(-2,5; -3,5)$, 16$(-0,5; -8,5)$, 17$(-1; -10)$, 18$(1,5; -10)$, 19$(-0,5; -8,5)$, 20$(-0,5; -0,5)$, 21$(3; 2,5)$, 22$(2; 5,5)$, 23$(2,5; 6,5)$.

Выполняем построение:

1. Начертим новую систему координат $Oxy$.
2. Последовательно отмечаем точки от 1 до 23 и соединяем их отрезками, т.е. точку 1 с точкой 2, точку 2 с точкой 3 и так далее.

В этой последовательности точка 19 имеет те же координаты, что и точка 16: $(-0,5; -8,5)$. Это означает, что ломаная линия образует петлю. Отрезки 16-17, 17-18 и 18-19(16) формируют небольшой треугольник в нижней части рисунка. После этого ломаная продолжается от точки 19 (которая совпадает с 16) к точке 20.

В результате последовательного соединения точек получается изображение старинного, узорчатого ключа.

• Точки с 1 по 9 образуют узорчатую головку (ушко) ключа.
• Часть ломаной от точки 9 до точки 15 формирует стержень ключа.
• Точки с 10 по 19 образуют бородку ключа (рабочую часть с вырезами). Треугольная петля 16-17-18-19 является частью этой бородки.
• Отрезок 19-20 представляет собой линию, идущую вдоль стержня.
• Точки 20-23 формируют внутренний узор на головке ключа.

Ответ: В результате построения получается изображение ключа.