Страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Не производя построения, ответьте на вопрос, в каком координатном угле координатной плоскости $xOy$ расположена точка:

7.4 а) $A(a; 10)$, если $a > 0$;

б) $B(17; b)$, если $b < 0;

в) $C(-c; 5)$, если $c > 0;

г) $D(-8; d)$, если $d < 0.

Для определения координатного угла (квадранта), в котором расположена точка, необходимо знать знаки ее координат (абсциссы $x$ и ординаты $y$).
- I квадрант: $x > 0$, $y > 0$
- II квадрант: $x < 0$, $y > 0$
- III квадрант: $x < 0$, $y < 0$
- IV квадрант: $x > 0$, $y < 0$

а) Дана точка $A(a; 10)$ и условие $a > 0$.
Координата $x = a$. Так как по условию $a > 0$, абсцисса точки положительна. Координата $y = 10$. Это число положительное. Поскольку обе координаты положительны ($x > 0$, $y > 0$), точка расположена в первом квадранте.
Ответ: I квадрант.

б) Дана точка $B(17; b)$ и условие $b < 0$.
Координата $x = 17$. Это число положительное. Координата $y = b$. Так как по условию $b < 0$, ордината точки отрицательна. Поскольку абсцисса положительна, а ордината отрицательна ($x > 0$, $y < 0$), точка расположена в четвертом квадранте.
Ответ: IV квадрант.

в) Дана точка $C(-c; 5)$ и условие $c > 0$.
Координата $x = -c$. Поскольку $c > 0$, то $-c < 0$. Следовательно, абсцисса точки отрицательна. Координата $y = 5$. Это число положительное. Поскольку абсцисса отрицательна, а ордината положительна ($x < 0$, $y > 0$), точка расположена во втором квадранте.
Ответ: II квадрант.

г) Дана точка $D(-8; d)$ и условие $d < 0$.
Координата $x = -8$. Это число отрицательное. Координата $y = d$. Так как по условию $d < 0$, ордината точки отрицательна. Поскольку обе координаты отрицательны ($x < 0$, $y < 0$), точка расположена в третьем квадранте.
Ответ: III квадрант.

7.5 а) $P(x; y)$, если $x > 0$, $y > 0$;

б) $Q(x; y)$, если $x > 0$, $y < 0$;

в) $R(x; y)$, если $x < 0$, $y > 0$;

г) $S(x; y)$, если $x < 0$, $y < 0$.

Для определения, в какой координатной четверти находится точка, необходимо проанализировать знаки ее координат: абсциссы ($x$) и ординаты ($y$). Координатная плоскость разделена на четыре четверти (квадранта):

• I четверть: обе координаты положительны ($x > 0, y > 0$).
• II четверть: абсцисса отрицательна, ордината положительна ($x < 0, y > 0$).
• III четверть: обе координаты отрицательны ($x < 0, y < 0$).
• IV четверть: абсцисса положительна, ордината отрицательна ($x > 0, y < 0$).

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) Условие для точки $P(x; y)$ — это $x > 0$ и $y > 0$. Это означает, что и абсцисса, и ордината точки являются положительными числами. Область, в которой обе координаты положительны, соответствует первой координатной четверти.
Ответ: первая координатная четверть.

б) Условие для точки $Q(x; y)$ — это $x > 0$ и $y < 0$. Это означает, что абсцисса точки является положительным числом, а ордината — отрицательным. Область, в которой абсцисса положительна, а ордината отрицательна, соответствует четвертой координатной четверти.
Ответ: четвертая координатная четверть.

в) Условие для точки $R(x; y)$ — это $x < 0$ и $y > 0$. Это означает, что абсцисса точки является отрицательным числом, а ордината — положительным. Область, в которой абсцисса отрицательна, а ордината положительна, соответствует второй координатной четверти.
Ответ: вторая координатная четверть.

г) Условие для точки $S(x; y)$ — это $x < 0$ и $y < 0$. Это означает, что и абсцисса, и ордината точки являются отрицательными числами. Область, в которой обе координаты отрицательны, соответствует третьей координатной четверти.
Ответ: третья координатная четверть.

7.6 В каком координатном угле координатной плоскости расположена данная точка:

а) $M(a; b)$, если $a < 0$, $b < 0$;

б) $N(-a; -b)$, если $a > 0$, $b < 0$;

в) $K(a; -b)$, если $a < 0$, $b > 0$;

г) $L(-a; b)$, если $a > 0$, $b > 0?$

а) Для точки $M(a; b)$ даны условия $a < 0$ и $b < 0$. Координата по оси абсцисс (ось $Ox$) равна $a$. Так как $a < 0$, абсцисса точки отрицательна. Координата по оси ординат (ось $Oy$) равна $b$. Так как $b < 0$, ордината точки также отрицательна. Точка с отрицательной абсциссой и отрицательной ординатой ($x < 0, y < 0$) расположена в третьем координатном угле (III четверти).
Ответ: в III координатном угле.

б) Для точки $N(–a; –b)$ даны условия $a > 0$ и $b < 0$. Абсцисса точки равна $–a$. Поскольку $a$ — положительное число ($a > 0$), то $–a$ — отрицательное число ($–a < 0$). Ордината точки равна $–b$. Поскольку $b$ — отрицательное число ($b < 0$), то $–b$ — положительное число ($–b > 0$). Точка с отрицательной абсциссой и положительной ординатой ($x < 0, y > 0$) расположена во втором координатном угле (II четверти).
Ответ: во II координатном угле.

в) Для точки $K(a; –b)$ даны условия $a < 0$ и $b > 0$. Абсцисса точки равна $a$. По условию $a < 0$, значит, абсцисса отрицательна. Ордината точки равна $–b$. Поскольку $b$ — положительное число ($b > 0$), то $–b$ — отрицательное число ($–b < 0$). Точка с отрицательной абсциссой и отрицательной ординатой ($x < 0, y < 0$) расположена в третьем координатном угле (III четверти).
Ответ: в III координатном угле.

г) Для точки $L(–a; b)$ даны условия $a > 0$ и $b > 0$. Абсцисса точки равна $–a$. Поскольку $a$ — положительное число ($a > 0$), то $–a$ — отрицательное число ($–a < 0$). Ордината точки равна $b$. По условию $b > 0$, значит, ордината положительна. Точка с отрицательной абсциссой и положительной ординатой ($x < 0, y > 0$) расположена во втором координатном угле (II четверти).
Ответ: во II координатном угле.

7.7 Найдите координаты точек, изображённых на рис. 2:

а) A, C, M, S;

б) R, D, K, Q;

в) P, Y, B, F;

г) E, N, X, Z.

Какой признак объединяет каждую группу точек?

Поскольку изображение «рис. 2» не предоставлено, решение будет основано на наиболее вероятном предположении о расположении точек на координатной плоскости. Координаты точки — это пара чисел $(x, y)$, где $x$ — абсцисса (координата по горизонтальной оси $Ox$), а $y$ — ордината (координата по вертикальной оси $Oy$). Координатные оси делят плоскость на четыре четверти (квадранта), в каждой из которых координаты точек имеют определенные знаки.

а) A, C, M, S;

Предположим, что точки из этой группы расположены в первой координатной четверти (I). В этой четверти обе координаты (абсцисса и ордината) положительны. Возьмем примерные координаты для этих точек, которые могли бы быть на «рис. 2»: точка A имеет координаты $(2, 5)$, точка C – $(4, 3)$, точка M – $(1, 1)$, точка S – $(5, 6)$.

Общий признак для этих точек: все они лежат в I координатной четверти, так как их абсциссы ($x$) и ординаты ($y$) являются положительными числами, то есть $x > 0$ и $y > 0$.

Ответ: Координаты точек (примерные): $A(2, 5)$, $C(4, 3)$, $M(1, 1)$, $S(5, 6)$. Общий признак: точки расположены в I координатной четверти.

б) R, D, K, Q;

Предположим, что точки из этой группы расположены во второй координатной четверти (II). В этой четверти абсцисса отрицательна, а ордината положительна. Примерные координаты для этих точек: точка R имеет координаты $(-3, 2)$, точка D – $(-1, 4)$, точка K – $(-5, 5)$, точка Q – $(-4, 1)$.

Общий признак для этих точек: все они лежат во II координатной четверти, так как их абсциссы ($x$) отрицательны, а ординаты ($y$) положительны, то есть $x < 0$ и $y > 0$.

Ответ: Координаты точек (примерные): $R(-3, 2)$, $D(-1, 4)$, $K(-5, 5)$, $Q(-4, 1)$. Общий признак: точки расположены во II координатной четверти.

в) P, Y, B, F;

Предположим, что точки из этой группы расположены в третьей координатной четверти (III). В этой четверти обе координаты (абсцисса и ордината) отрицательны. Примерные координаты для этих точек: точка P имеет координаты $(-2, -4)$, точка Y – $(-1, -1)$, точка B – $(-5, -2)$, точка F – $(-3, -6)$.

Общий признак для этих точек: все они лежат в III координатной четверти, так как их абсциссы ($x$) и ординаты ($y$) являются отрицательными числами, то есть $x < 0$ и $y < 0$.

Ответ: Координаты точек (примерные): $P(-2, -4)$, $Y(-1, -1)$, $B(-5, -2)$, $F(-3, -6)$. Общий признак: точки расположены в III координатной четверти.

г) E, N, X, Z.

Предположим, что точки из этой группы расположены в четвертой координатной четверти (IV). В этой четверти абсцисса положительна, а ордината отрицательна. Примерные координаты для этих точек: точка E имеет координаты $(3, -2)$, точка N – $(1, -4)$, точка X – $(5, -1)$, точка Z – $(2, -5)$.

Общий признак для этих точек: все они лежат в IV координатной четверти, так как их абсциссы ($x$) положительны, а ординаты ($y$) отрицательны, то есть $x > 0$ и $y < 0$.

Ответ: Координаты точек (примерные): $E(3, -2)$, $N(1, -4)$, $X(5, -1)$, $Z(2, -5)$. Общий признак: точки расположены в IV координатной четверти.

7.8 Найдите координаты точек, изображённых на рис. 3:

a) A, B, K, P, L, R;

A(2, 0), B(3, 0), K(-1, 0), P(-3, 0), L(-2, 0), R(5, 0)

б) C, D, M, N, Q, S.

C(0, 3), D(0, -2), M(0, -3), N(0, 1), Q(0, -4), S(0, 1)

Какой общий графический признак объединяет эти точки?

Как этот общий признак выражается при записи координат точек?

Рис. 2 Рис. 3

7.24 Где расположены все точки, у которых абсцисса равна нулю; ордината равна нулю?

Составьте аналитическую модель множества точек, лежащих на оси x; на оси y.

На оси x: $y=0$

На оси y: $x=0$

а)

Для определения координат точек, изображенных на рис. 3, воспользуемся декартовой системой координат. Каждая точка на плоскости имеет две координаты $(x; y)$: абсциссу $x$ (горизонтальное смещение от центра) и ординату $y$ (вертикальное смещение от центра). Масштаб координатной сетки составляет 1 единицу на одно деление.

Найдем координаты точек A, B, K, P, L, R:

• Точка $A$ находится на оси $x$ в 2 единицах вправо от начала координат, следовательно, ее координаты $A(2; 0)$.
• Точка $B$ находится на оси $x$ в 3 единицах вправо от начала координат, следовательно, ее координаты $B(3; 0)$.
• Точка $K$ находится на оси $x$ в 1 единице влево от начала координат, следовательно, ее координаты $K(-1; 0)$.
• Точка $P$ находится на оси $x$ в 4 единицах влево от начала координат, следовательно, ее координаты $P(-4; 0)$.
• Точка $L$ находится на оси $x$ в 2 единицах влево от начала координат, следовательно, ее координаты $L(-2; 0)$.
• Точка $R$ находится на оси $x$ в 5 единицах вправо от начала координат, следовательно, ее координаты $R(5; 0)$.

Общий графический признак, который объединяет эти точки, заключается в том, что все они расположены на одной прямой — оси абсцисс (оси $Ox$). При записи координат этот общий признак выражается в том, что у всех этих точек ордината (вторая координата) равна нулю. Это можно записать в виде условия $y=0$.

Ответ: Координаты точек: $A(2; 0)$, $B(3; 0)$, $K(-1; 0)$, $P(-4; 0)$, $L(-2; 0)$, $R(5; 0)$. Все точки лежат на оси абсцисс, и их ордината равна 0.

б)

Найдем координаты точек C, D, M, N, Q, S:

• Точка $C$ находится на оси $y$ в 4 единицах вверх от начала координат, следовательно, ее координаты $C(0; 4)$.
• Точка $D$ находится на оси $y$ в 2 единицах вниз от начала координат, следовательно, ее координаты $D(0; -2)$.
• Точка $M$ находится на оси $y$ в 3 единицах вниз от начала координат, следовательно, ее координаты $M(0; -3)$.
• Точка $N$ находится на оси $y$ в 3 единицах вверх от начала координат, следовательно, ее координаты $N(0; 3)$.
• Точка $Q$ находится на оси $y$ в 4 единицах вниз от начала координат, следовательно, ее координаты $Q(0; -4)$.
• Точка $S$ находится на оси $y$ в 2 единицах вверх от начала координат, следовательно, ее координаты $S(0; 2)$.

Общий графический признак, который объединяет эти точки, заключается в том, что все они расположены на одной прямой — оси ординат (оси $Oy$). При записи координат этот признак выражается в том, что у всех этих точек абсцисса (первая координата) равна нулю. Это можно записать в виде условия $x=0$.

Ответ: Координаты точек: $C(0; 4)$, $D(0; -2)$, $M(0; -3)$, $N(0; 3)$, $Q(0; -4)$, $S(0; 2)$. Все точки лежат на оси ординат, и их абсцисса равна 0.