Страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Что такое координатная прямая? Чем она отличается от обычной прямой?

Что такое координатная прямая?

Координатная прямая, также известная как числовая ось, — это прямая линия, на которой каждой точке поставлено в соответствие уникальное вещественное число. Чтобы обычная геометрическая прямая стала координатной, на ней необходимо задать три ключевых элемента:

• Начало отсчета. Это специально выбранная точка на прямой, которой сопоставляется число $0$. Она служит отправной точкой для всех измерений и обычно обозначается буквой $O$.
• Единичный отрезок. Это отрезок, длина которого принимается за единицу измерения (масштаб). Он определяет расстояние между целыми числами на прямой. Например, расстояние от точки $0$ до точки $1$ равно длине этого единичного отрезка.
• Положительное направление. Это одно из двух возможных направлений на прямой, которое выбирается в качестве направления, в котором числа возрастают. Обычно оно указывается стрелкой на правом конце прямой. Точки, расположенные в этом направлении от начала отсчета, соответствуют положительным числам, а в противоположном — отрицательным.

Эти три компонента устанавливают взаимно-однозначное соответствие между множеством всех точек на прямой и множеством всех вещественных чисел ($\mathbb{R}$). Это означает, что каждой точке на прямой соответствует ровно одно число (ее координата), и каждому вещественному числу соответствует ровно одна точка на прямой.

Ответ: Координатная прямая — это прямая, на которой заданы начало отсчета (точка $0$), единичный отрезок (масштаб) и положительное направление, что позволяет присвоить каждой точке этой прямой уникальную числовую координату.

Чем она отличается от обычной прямой?

Обычная прямая в евклидовой геометрии — это абстрактный объект, представляющий собой бесконечную, идеально ровную линию. Она состоит из множества точек, но сама по себе не имеет никакой дополнительной структуры: все ее точки абсолютно равноправны, у нее нет ни "нуля", ни масштаба, ни выделенного направления.

Координатная прямая отличается от обычной именно наличием этой дополнительной структуры. Вот ключевые различия:

1. Наличие начала отсчета. На обычной прямой нет никаких особенных, выделенных точек. На координатной прямой есть одна такая точка — начало отсчета (нуль), служащая точкой отсчета для всех остальных.
2. Наличие масштаба. Обычная прямая не имеет встроенной единицы измерения. Координатная прямая имеет заданный единичный отрезок, который устанавливает масштаб и позволяет измерять расстояния и определять положение точек численно.
3. Наличие направления. Обычная прямая симметрична в обе стороны. Координатная прямая асимметрична, так как у нее выбрано положительное направление, которое упорядочивает все точки (числа) по возрастанию.
4. Связь с числами. Это фундаментальное отличие. Обычная прямая является чисто геометрическим понятием. Координатная прямая — это алгебраическо-геометрическая модель, которая наглядно представляет множество вещественных чисел и устанавливает мост между геометрией (точками) и алгеброй (числами).

Проще говоря, если обычная прямая — это пустая дорога, то координатная прямая — это та же дорога, но с километровыми столбами, указателем "на север" и четко обозначенным "нулевым километром".

Ответ: Координатная прямая отличается от обычной прямой тем, что она "оснащена" дополнительной структурой: началом отсчета, единичным отрезком (масштабом) и положительным направлением. Эта структура превращает геометрическую линию в числовую ось, где каждая точка имеет свою координату.

2. Как найти координату точки на координатной прямой?

Координата точки на координатной прямой — это число, которое однозначно определяет положение этой точки. Чтобы найти координату, необходимо понимать структуру координатной прямой и следовать простому алгоритму.

Основные элементы координатной прямой

Координатная прямая (или числовая ось) — это прямая, на которой заданы:

• Начало отсчета — точка, которой соответствует число $0$. Обозначается буквой $O$.
• Единичный отрезок — отрезок, длина которого принимается за единицу измерения ($1$). Он задает масштаб на прямой.
• Положительное направление — направление, указываемое стрелкой, в котором откладываются положительные числа. Противоположное направление является отрицательным.

Алгоритм нахождения координаты точки

Чтобы найти координату точки на прямой, нужно последовательно выполнить следующие действия:

1. Найдите на прямой начало отсчета (точку $0$).
2. Определите, в какой стороне от нуля находится ваша точка: в положительном направлении (обычно справа) или в отрицательном (обычно слева). Это определит знак координаты.
3. Посчитайте, сколько единичных отрезков (или их частей) нужно отложить от нуля, чтобы попасть в данную точку. Это число будет абсолютным значением (модулем) координаты.
4. Запишите координату, состоящую из знака (если он отрицательный) и числа, которое вы нашли. Координата точки $A$ записывается как $A(x)$, где $x$ — число-координата.

Например, если точка $M$ находится на расстоянии 4 единичных отрезков справа от точки $O(0)$, то ее координата равна $4$. Запись: $M(4)$. Если точка $K$ находится на расстоянии $2.5$ единичных отрезков слева от точки $O(0)$, ее координата равна $-2.5$. Запись: $K(-2.5)$.

Ответ: Чтобы найти координату точки, нужно определить ее расстояние от начала отсчета ($0$) в единичных отрезках и поставить перед полученным числом знак «+» (который обычно опускается), если точка находится в положительном направлении, или «–», если она находится в отрицательном направлении.

3. Дано число $a$. Как на координатной прямой найти точку с координатой $a$?

Для того чтобы найти на координатной прямой точку с координатой $a$, необходимо выполнить следующую последовательность действий, предполагая, что координатная прямая уже задана, то есть на ней отмечено начало отсчета (точка 0), выбран единичный отрезок и указано положительное направление.

1. Определить, по какую сторону от начала отсчета находится точка. Это определяется знаком числа $a$:

   • Если число $a$ положительное ($a > 0$), то точка будет располагаться в положительном направлении от точки 0 (обычно справа).
   • Если число $a$ отрицательное ($a < 0$), то точка будет располагаться в отрицательном направлении от точки 0 (обычно слева).
   • Если $a = 0$, то точка совпадает с началом отсчета.

2. Определить расстояние от начала отсчета до точки. Это расстояние равно модулю (абсолютной величине) числа $a$, то есть $|a|$. Значение $|a|$ показывает, сколько единичных отрезков нужно отложить от начала отсчета.

3. Отметить точку на прямой. Отложите от начала отсчета (точки 0) расстояние, равное $|a|$ единичных отрезков, в направлении, которое было определено на первом шаге. Конечная точка этого отрезка и будет искомой точкой с координатой $a$.

Например, для нахождения точки с координатой $a = 3.5$: так как $3.5 > 0$, откладываем от точки 0 в положительном направлении расстояние, равное $|3.5| = 3.5$ единичным отрезкам.
Для нахождения точки с координатой $a = -2$: так как $-2 < 0$, откладываем от точки 0 в отрицательном направлении расстояние, равное $|-2| = 2$ единичным отрезкам.

Ответ: Чтобы найти точку с координатой $a$ на координатной прямой, нужно от начала отсчета (точки 0) отложить расстояние, равное модулю числа $|a|$, в положительном направлении, если $a > 0$, или в отрицательном направлении, если $a < 0$. Если $a = 0$, точка совпадает с началом отсчета.

4. Чему на координатной прямой равно расстояние между точками:

a) $A(2)$ и $B(5)$;

б) $C(-3)$ и $D(-7)$;

в) $E(-2)$ и $F(8)$;

г) $M(a)$ и $N(b)$?

Чтобы найти расстояние между двумя точками на координатной прямой, нужно найти модуль разности их координат. Если даны точки $P(x_1)$ и $Q(x_2)$, то расстояние $d$ между ними вычисляется по формуле: $d = |x_2 - x_1|$.

а) Найдём расстояние между точками $A(2)$ и $B(5)$.
Координата точки A равна 2, координата точки B равна 5.
Расстояние $AB = |5 - 2| = |3| = 3$.
Ответ: 3

б) Найдём расстояние между точками $C(-3)$ и $D(-7)$.
Координата точки C равна -3, координата точки D равна -7.
Расстояние $CD = |-3 - (-7)| = |-3 + 7| = |4| = 4$.
Ответ: 4

в) Найдём расстояние между точками $E(-2)$ и $F(8)$.
Координата точки E равна -2, координата точки F равна 8.
Расстояние $EF = |8 - (-2)| = |8 + 2| = |10| = 10$.
Ответ: 10

г) Найдём расстояние между точками $M(a)$ и $N(b)$.
Координата точки M равна $a$, координата точки N равна $b$.
Это общий случай, и расстояние $MN$ вычисляется по формуле модуля разности координат: $|b - a|$.
Ответ: $|b - a|$

5.26 Принадлежит ли промежутку $[8; 12]$ число:

a) 15;

б) $8\frac{1}{3}$;

в) $12\frac{3}{7}$;

г) 25?

Промежуток $[8; 12]$ — это числовой отрезок, который включает все числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $8 \le x \le 12$. Это означает, что число должно быть не меньше 8 и не больше 12. Квадратные скобки показывают, что концы промежутка, числа 8 и 12, также входят в него. Проверим каждое из предложенных чисел.

а) Проверим, принадлежит ли число 15 промежутку $[8; 12]$. Для этого нужно проверить истинность неравенства $8 \le 15 \le 12$.
Первая часть неравенства, $8 \le 15$, верна.
Вторая часть неравенства, $15 \le 12$, неверна, так как 15 больше 12.
Поскольку двойное неравенство не выполняется, число 15 не принадлежит данному промежутку.
Ответ: не принадлежит.

б) Проверим, принадлежит ли число $8\frac{1}{3}$ промежутку $[8; 12]$. Для этого нужно проверить истинность неравенства $8 \le 8\frac{1}{3} \le 12$.
Первая часть неравенства, $8 \le 8\frac{1}{3}$, верна, так как $8\frac{1}{3}$ больше 8.
Вторая часть неравенства, $8\frac{1}{3} \le 12$, также верна.
Поскольку обе части двойного неравенства выполняются, число $8\frac{1}{3}$ принадлежит данному промежутку.
Ответ: принадлежит.

в) Проверим, принадлежит ли число $12\frac{3}{7}$ промежутку $[8; 12]$. Для этого нужно проверить истинность неравенства $8 \le 12\frac{3}{7} \le 12$.
Первая часть неравенства, $8 \le 12\frac{3}{7}$, верна.
Вторая часть неравенства, $12\frac{3}{7} \le 12$, неверна, так как $12\frac{3}{7}$ больше 12.
Поскольку двойное неравенство не выполняется, число $12\frac{3}{7}$ не принадлежит данному промежутку.
Ответ: не принадлежит.

г) Проверим, принадлежит ли число 25 промежутку $[8; 12]$. Для этого нужно проверить истинность неравенства $8 \le 25 \le 12$.
Первая часть неравенства, $8 \le 25$, верна.
Вторая часть неравенства, $25 \le 12$, неверна, так как 25 больше 12.
Поскольку двойное неравенство не выполняется, число 25 не принадлежит данному промежутку.
Ответ: не принадлежит.

5.27 Какие из чисел 4, 3.5, -1, 0, -10, -9, 1, 3, -12 принадлежат промежутку:

а) $ [3; 5] $;

б) $ (-8; 0) $;

в) $ (-12; -9) $;

г) $ (1; +\infty) $?

Чтобы определить, какие из чисел 4, 3.5, -1, 0, -10, -9, 1, 3, -12 принадлежат заданным промежуткам, необходимо проверить, удовлетворяет ли каждое число условиям соответствующего промежутка.

а) [3; 5]

Промежуток $[3; 5]$ представляет собой замкнутый отрезок, включающий все числа $x$, для которых выполняется двойное неравенство $3 \le x \le 5$. Это означает, что число должно быть больше или равно 3 и одновременно меньше или равно 5. Концевые точки 3 и 5 также входят в этот промежуток.
Проверим числа из списка:
• 4: $3 \le 4 \le 5$ – верно.
• 3.5: $3 \le 3.5 \le 5$ – верно.
• -1: неверно, так как $-1 < 3$.
• 0: неверно, так как $0 < 3$.
• -10: неверно, так как $-10 < 3$.
• -9: неверно, так как $-9 < 3$.
• 1: неверно, так как $1 < 3$.
• 3: $3 \le 3 \le 5$ – верно, так как промежуток включает левую границу.
• -12: неверно, так как $-12 < 3$.
Таким образом, промежутку $[3; 5]$ принадлежат числа 4, 3.5, 3.

Ответ: 4, 3.5, 3.

б) (-8; 0)

Промежуток $(-8; 0)$ представляет собой открытый интервал, включающий все числа $x$, для которых выполняется строгое двойное неравенство $-8 < x < 0$. Это означает, что число должно быть строго больше -8 и строго меньше 0. Концевые точки -8 и 0 в этот промежуток не входят.
Проверим числа из списка:
• 4: неверно, так как $4 > 0$.
• 3.5: неверно, так как $3.5 > 0$.
• -1: $-8 < -1 < 0$ – верно.
• 0: неверно, так как промежуток не включает правую границу.
• -10: неверно, так как $-10 < -8$.
• -9: неверно, так как $-9 < -8$.
• 1: неверно, так как $1 > 0$.
• 3: неверно, так как $3 > 0$.
• -12: неверно, так как $-12 < -8$.
Таким образом, промежутку $(-8; 0)$ принадлежит только число -1.

Ответ: -1.

в) (-12; -9)

Промежуток $(-12; -9)$ представляет собой открытый интервал, включающий все числа $x$, для которых выполняется строгое двойное неравенство $-12 < x < -9$. Это означает, что число должно быть строго больше -12 и строго меньше -9. Концевые точки -12 и -9 в этот промежуток не входят.
Проверим числа из списка:
• 4, 3.5, -1, 0, 1, 3: неверно, так как все они больше -9.
• -10: $-12 < -10 < -9$ – верно.
• -9: неверно, так как промежуток не включает правую границу.
• -12: неверно, так как промежуток не включает левую границу.
Таким образом, промежутку $(-12; -9)$ принадлежит только число -10.

Ответ: -10.

г) (1; +∞)

Промежуток $(1; +\infty)$ представляет собой открытый луч, включающий все числа $x$, для которых выполняется строгое неравенство $x > 1$. Это означает, что число должно быть строго больше 1.
Проверим числа из списка:
• 4: $4 > 1$ – верно.
• 3.5: $3.5 > 1$ – верно.
• -1, 0, -10, -9, -12: неверно, так как все они меньше 1.
• 1: неверно, так как неравенство строгое.
• 3: $3 > 1$ – верно.
Таким образом, промежутку $(1; +\infty)$ принадлежат числа 4, 3.5, 3.

Ответ: 4, 3.5, 3.

5.28 Какие из чисел 0, 5, 7, -8, -2, 9, 12 принадлежат промежутку:

а) $ [4; 7) $;

б) $ [5; +\infty) $;

в) $ [-8; +\infty) $;

г) $ (5; 9] $?

Для решения задачи необходимо проверить, удовлетворяет ли каждое из чисел $0, 5, 7, -8, -2, 9, 12$ условиям, которые задает каждый из указанных промежутков.

а) Промежуток $[4; 7)$ включает в себя все числа $x$, для которых выполняется двойное неравенство $4 \le x < 7$. Это означает, что число должно быть больше или равно 4, но строго меньше 7. Проверим каждое число из данного набора:
- $0$: не удовлетворяет условию $4 \le 0$.
- $5$: удовлетворяет условию $4 \le 5 < 7$.
- $7$: не удовлетворяет условию $x < 7$, так как $7=7$.
- $-8$: не удовлетворяет условию $4 \le -8$.
- $-2$: не удовлетворяет условию $4 \le -2$.
- $9$: не удовлетворяет условию $x < 7$.
- $12$: не удовлетворяет условию $x < 7$.
Следовательно, только одно число принадлежит этому промежутку.
Ответ: 5.

б) Промежуток $[5; +\infty)$ включает в себя все числа $x$, для которых выполняется неравенство $x \ge 5$. Это означает, что число должно быть больше или равно 5. Проверим каждое число из данного набора:
- $0$: не удовлетворяет условию $0 \ge 5$.
- $5$: удовлетворяет условию $5 \ge 5$.
- $7$: удовлетворяет условию $7 \ge 5$.
- $-8$: не удовлетворяет условию $-8 \ge 5$.
- $-2$: не удовлетворяет условию $-2 \ge 5$.
- $9$: удовлетворяет условию $9 \ge 5$.
- $12$: удовлетворяет условию $12 \ge 5$.
Этому промежутку принадлежат четыре числа.
Ответ: 5, 7, 9, 12.

в) Промежуток $[-8; +\infty)$ включает в себя все числа $x$, для которых выполняется неравенство $x \ge -8$. Это означает, что число должно быть больше или равно -8. Проверим каждое число из данного набора:
- $0$: удовлетворяет условию $0 \ge -8$.
- $5$: удовлетворяет условию $5 \ge -8$.
- $7$: удовлетворяет условию $7 \ge -8$.
- $-8$: удовлетворяет условию $-8 \ge -8$.
- $-2$: удовлетворяет условию $-2 \ge -8$.
- $9$: удовлетворяет условию $9 \ge -8$.
- $12$: удовлетворяет условию $12 \ge -8$.
Все числа из набора принадлежат этому промежутку.
Ответ: 0, 5, 7, -8, -2, 9, 12.

г) Промежуток $(5; 9]$ включает в себя все числа $x$, для которых выполняется двойное неравенство $5 < x \le 9$. Это означает, что число должно быть строго больше 5 и меньше или равно 9. Проверим каждое число из данного набора:
- $0$: не удовлетворяет условию $5 < 0$.
- $5$: не удовлетворяет условию $5 < x$, так как $5=5$.
- $7$: удовлетворяет условию $5 < 7 \le 9$.
- $-8$: не удовлетворяет условию $5 < -8$.
- $-2$: не удовлетворяет условию $5 < -2$.
- $9$: удовлетворяет условию $5 < 9 \le 9$.
- $12$: не удовлетворяет условию $x \le 9$.
Этому промежутку принадлежат два числа.
Ответ: 7, 9.

5.29 Придумайте три положительных и три отрицательных нецелых числа, принадлежащих промежутку:

a) $(-6; 8)$;

б) $[-10; 15];$

в) $[-3; 6];$

г) $(-10; 4).$

а) Для промежутка $(-6; 8)$ необходимо найти три положительных и три отрицательных нецелых числа. Этот промежуток представляет собой все числа $x$, которые удовлетворяют строгому неравенству $-6 < x < 8$.

Положительные нецелые числа должны находиться в интервале $(0; 8)$. В качестве примера можно выбрать: $1.5$, $4.25$, $7.9$.

Отрицательные нецелые числа должны находиться в интервале $(-6; 0)$. В качестве примера можно выбрать: $-0.5$, $-3.14$, $-5.8$.

Ответ: положительные: $1.5; 4.25; 7.9$; отрицательные: $-0.5; -3.14; -5.8$.

б) Для промежутка $[-10; 15]$ необходимо найти три положительных и три отрицательных нецелых числа. Этот промежуток представляет собой все числа $x$, которые удовлетворяют нестрогому неравенству $-10 \le x \le 15$.

Положительные нецелые числа должны находиться в полуинтервале $(0; 15]$. В качестве примера можно выбрать: $0.8$, $10.5$, $14.9$.

Отрицательные нецелые числа должны находиться в полуинтервале $[-10; 0)$. В качестве примера можно выбрать: $-9.2$, $-5.5$, $-0.3$.

Ответ: положительные: $0.8; 10.5; 14.9$; отрицательные: $-9.2; -5.5; -0.3$.

в) Для промежутка $[-3; 6]$ необходимо найти три положительных и три отрицательных нецелых числа. Этот промежуток представляет собой все числа $x$, которые удовлетворяют нестрогому неравенству $-3 \le x \le 6$.

Положительные нецелые числа должны находиться в полуинтервале $(0; 6]$. В качестве примера можно выбрать: $0.5$, $2.7$, $5.1$.

Отрицательные нецелые числа должны находиться в полуинтервале $[-3; 0)$. В качестве примера можно выбрать: $-2.6$, $-1.8$, $-0.4$.

Ответ: положительные: $0.5; 2.7; 5.1$; отрицательные: $-2.6; -1.8; -0.4$.

г) Для промежутка $(-10; 4)$ необходимо найти три положительных и три отрицательных нецелых числа. Этот промежуток представляет собой все числа $x$, которые удовлетворяют строгому неравенству $-10 < x < 4$.

Положительные нецелые числа должны находиться в интервале $(0; 4)$. В качестве примера можно выбрать: $1.3$, $2.9$, $3.5$.

Отрицательные нецелые числа должны находиться в интервале $(-10; 0)$. В качестве примера можно выбрать: $-9.7$, $-5.4$, $-0.6$.

Ответ: положительные: $1.3; 2.9; 3.5$; отрицательные: $-9.7; -5.4; -0.6$.

5.30 Существует ли целое число, которое принадлежит промежутку:

а) $(0; 1)$;

б) $[3.5; 4]$;

в) $[2; 3)$;

г) $(7.5; 8]$?

а) Рассмотрим промежуток $(0; 1)$. Этот промежуток, называемый открытым интервалом, включает в себя все действительные числа $x$, для которых выполняется строгое неравенство $0 < x < 1$. Целыми числами являются $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$. Между числами 0 и 1 нет других целых чисел. Сами числа 0 и 1 не входят в данный промежуток, так как он ограничен круглыми скобками. Таким образом, в промежутке $(0; 1)$ не содержится ни одного целого числа.
Ответ: нет, не существует.

б) Рассмотрим промежуток $[3,5; 4]$. Этот промежуток, называемый отрезком, включает в себя все действительные числа $x$, для которых выполняется нестрогое неравенство $3,5 \le x \le 4$. Наша задача — найти целое число в этом диапазоне. Ближайшие целые числа — это 3 и 4. Число 3 не принадлежит промежутку, так как $3 < 3,5$. Число 4 принадлежит промежутку, поскольку оно удовлетворяет условию $3,5 \le 4$ и $4 \le 4$. Следовательно, такое целое число существует.
Ответ: да, существует, это число 4.

в) Рассмотрим промежуток $[2; 3)$. Этот промежуток, называемый полуинтервалом, включает в себя все действительные числа $x$, для которых выполняется неравенство $2 \le x < 3$. Квадратная скобка у числа 2 означает, что оно включено в промежуток, а круглая скобка у числа 3 означает, что оно исключено. Число 2 является целым, и оно удовлетворяет условию $2 \le 2 < 3$. Таким образом, мы нашли целое число, принадлежащее данному промежутку.
Ответ: да, существует, это число 2.

г) Рассмотрим промежуток $(7,5; 8]$. Этот промежуток, называемый полуинтервалом, включает в себя все действительные числа $x$, для которых выполняется неравенство $7,5 < x \le 8$. Круглая скобка у числа 7,5 означает, что оно исключено из промежутка, а квадратная скобка у числа 8 означает, что оно включено. Проверим ближайшие целые числа. Число 7 не подходит, так как $7 < 7,5$. Число 8 является целым и удовлетворяет условию $7,5 < 8 \le 8$. Следовательно, такое целое число существует.
Ответ: да, существует, это число 8.

5.31 Сколько целых чисел принадлежит промежутку:

а) $[5; 7]$

б) $(-3; -1)$

в) $(0; 6]$

г) $[-7; 2]$?

Для решения этой задачи нужно определить, какие целые числа находятся внутри каждого заданного промежутка, и сосчитать их количество. Важно обращать внимание на тип скобок: квадратные `[` и `]` означают, что концы промежутка включаются, а круглые `(` и `)` — что не включаются.

а) Промежуток $[5; 7]$

Это отрезок, так как обе скобки квадратные. Это значит, что мы ищем целые числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $5 \le x \le 7$.

Целые числа, принадлежащие этому промежутку: 5, 6, 7.

Всего их 3.

Также можно воспользоваться формулой для количества целых чисел на отрезке $[a, b]$: $N = b - a + 1$.

В нашем случае: $N = 7 - 5 + 1 = 3$.

Ответ: 3.

б) Промежуток $(-3; -1)$

Это интервал, так как обе скобки круглые. Мы ищем целые числа $x$, удовлетворяющие строгому двойному неравенству $-3 < x < -1$.

Единственное целое число, которое строго больше -3 и строго меньше -1, — это -2.

Всего такое число 1.

Формула для количества целых чисел на интервале $(a, b)$: $N = b - a - 1$.

В нашем случае: $N = (-1) - (-3) - 1 = -1 + 3 - 1 = 1$.

Ответ: 1.

в) Промежуток $(0; 6]$

Это полуинтервал. Левая граница (0) не входит в промежуток, а правая (6) входит. Мы ищем целые числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $0 < x \le 6$.

Целые числа, принадлежащие этому промежутку: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Всего их 6.

Формула для количества целых чисел на полуинтервале $(a, b]$: $N = b - a$.

В нашем случае: $N = 6 - 0 = 6$.

Ответ: 6.

г) Промежуток $[-7; 2)$

Это полуинтервал. Левая граница (-7) входит в промежуток, а правая (2) не входит. Мы ищем целые числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $-7 \le x < 2$.

Целые числа, принадлежащие этому промежутку: -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1.

Всего их 9.

Формула для количества целых чисел на полуинтервале $[a, b)$: $N = b - a$.

В нашем случае: $N = 2 - (-7) = 2 + 7 = 9$.

Ответ: 9.

5.32 Сколько натуральных чисел принадлежит промежутку:
a) $ [-2; 1] $;
б) $ (0; \frac{1}{3}) $;
в) $ (0; 1) $;
г) $ [-5; 4] $?

а) Натуральные числа — это целые положительные числа, используемые при счёте предметов: 1, 2, 3, и так далее. Промежуток $[-2; 1]$ представляет собой множество всех чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $-2 \le x \le 1$. Целыми числами, принадлежащими этому промежутку, являются -2, -1, 0, 1. Из этого набора чисел натуральным является только 1. Следовательно, в данном промежутке содержится одно натуральное число.
Ответ: 1.

б) Промежуток $(0; \frac{1}{3})$ — это открытый интервал, содержащий все числа $x$, которые удовлетворяют строгому неравенству $0 < x < \frac{1}{3}$. Наименьшим натуральным числом является 1. Поскольку $1 > \frac{1}{3}$, ни одно натуральное число не попадает в этот промежуток.
Ответ: 0.

в) Промежуток $(0; 1)$ — это открытый интервал, который включает все числа $x$, удовлетворяющие строгому неравенству $0 < x < 1$. Наименьшее натуральное число — это 1. Так как правая граница интервала (число 1) не включается в него (интервал открытый), в данном промежутке нет натуральных чисел.
Ответ: 0.

г) Промежуток $[-5; 4]$ представляет собой множество всех чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $-5 \le x \le 4$. Выпишем все целые числа, которые принадлежат этому промежутку: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. Из них выберем натуральные числа (целые положительные): 1, 2, 3, 4. Всего в данном промежутке 4 натуральных числа.
Ответ: 4.

5.33 Укажите наибольшее число, принадлежащее промежутку:

а) $[-15; -11]$

б) $[5; 7)$

в) $[5; 7]$

г) $(-\infty; 8.2]$

а) Промежуток $[-15; -11]$ является замкнутым (отрезок). Он содержит все числа $x$, для которых выполняется неравенство $-15 \le x \le -11$. Наибольшим числом на отрезке является его правая граница, так как она принадлежит промежутку (на это указывает квадратная скобка).
Ответ: $-11$.

б) Промежуток $[5; 7)$ является полуинтервалом. Он содержит все числа $x$, для которых выполняется неравенство $5 \le x < 7$. Правая граница, число $7$, не принадлежит этому промежутку (на это указывает круглая скобка). Это означает, что для любого числа $a$ из этого промежутка можно найти другое число $b$, которое также принадлежит промежутку и больше $a$ (например, $b = (a+7)/2$). Следовательно, в данном промежутке не существует наибольшего числа.
Ответ: наибольшего числа не существует.

в) Промежуток $[5; 7]$ является замкнутым (отрезок). Он содержит все числа $x$, для которых выполняется неравенство $5 \le x \le 7$. Наибольшим числом в этом промежутке является его правая граница, число $7$, так как она включена в промежуток.
Ответ: $7$.

г) Промежуток $(-\infty; 8,2]$ является числовым лучом. Он содержит все числа $x$, для которых выполняется неравенство $x \le 8,2$. Этот промежуток ограничен сверху числом $8,2$. Так как это число принадлежит промежутку (на это указывает квадратная скобка), оно и является наибольшим.
Ответ: $8,2$.

5.34 Укажите наименьшее целое число, принадлежащее промежутку:

a) $[5; 7]$

б) $(0; +\infty)$

в) $(9,3; 12)$

г) $[5,1; +\infty)$

а) Данный промежуток $[5; 7]$ является отрезком, что означает, что его концы (числа 5 и 7) включены в него. Иными словами, мы ищем целые числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $5 \le x \le 7$. Целые числа, которые принадлежат этому промежутку, — это 5, 6 и 7. Наименьшим из них является 5.

Ответ: 5

б) Промежуток $(0; +\infty)$ — это открытый числовой луч. Он включает в себя все числа, которые строго больше нуля. Это можно записать в виде неравенства $x > 0$. Нам нужно найти наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию. Первое целое число, которое больше нуля, — это 1.

Ответ: 1

в) Промежуток $(9,3; 12)$ — это интервал, его концы не включаются. Мы ищем целые числа $x$, которые удовлетворяют строгому двойному неравенству $9,3 < x < 12$. Целые числа, которые больше 9,3, начинаются с 10. Целые числа, которые меньше 12, заканчиваются на 11. Следовательно, целые числа в этом промежутке — это 10 и 11. Наименьшее из них — 10.

Ответ: 10

г) Промежуток $[5,1; +\infty)$ — это числовой луч, который включает свое начало. Он состоит из всех чисел $x$, которые удовлетворяют неравенству $x \ge 5,1$. Нам нужно найти наименьшее целое число, которое больше или равно 5,1. Первое целое число, которое удовлетворяет этому условию, — это 6.

Ответ: 6

5.35 Принадлежит ли промежутку $(-\infty; 5)$ число 4,98? Укажите два числа, которые больше 4,98 и принадлежат этому промежутку.

Принадлежит ли промежутку $(-\infty; 5)$ число 4,98?

Промежуток $(-\infty; 5)$ представляет собой множество всех действительных чисел, которые строго меньше 5. Условие принадлежности чиcла $x$ этому промежутку можно записать в виде неравенства $x < 5$.
Чтобы определить, принадлежит ли число 4,98 данному промежутку, необходимо сравнить его с верхней границей промежутка, то есть с числом 5.
Так как $4,98 < 5$, то данное число удовлетворяет условию $x < 5$.
Следовательно, число 4,98 принадлежит промежутку $(-\infty; 5)$.

Ответ: да, принадлежит.

Укажите два числа, которые больше 4,98 и принадлежат этому промежутку.

Нам нужно найти два числа, обозначим их $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям:

1. Число должно быть больше 4,98, то есть $x > 4,98$.
2. Число должно принадлежать промежутку $(-\infty; 5)$, то есть $x < 5$.

Объединив эти два условия, получаем двойное неравенство: $4,98 < x < 5$.
Необходимо выбрать любые два числа, находящиеся в интервале $(4,98; 5)$. Существует бесконечное множество таких чисел.
В качестве примера возьмем числа 4,99 и 4,995.
Проверим, удовлетворяют ли они условию:

• Для числа 4,99: $4,98 < 4,99 < 5$. Неравенство верное.
• Для числа 4,995: $4,98 < 4,995 < 5$. Неравенство верное.

Оба числа больше 4,98 и принадлежат заданному промежутку.

Ответ: 4,99 и 4,995.

5.36 Интервал $(a - r; a + r)$, где $r$ — положительное число, называют окрестностью точки $a$, а число $r$ — радиусом окрестности. Укажите окрестность точки $a$ радиуса $r$, если:

а) $a = 0, r = 3;$

б) $a = 1, r = 4;$

в) $a = 4, r = 4;$

г) $a = -3, r = 5.$

Согласно определению, окрестностью точки $a$ радиуса $r$ является интервал $(a - r; a + r)$. Для решения задачи необходимо для каждого пункта подставить заданные значения $a$ и $r$ в эту формулу и вычислить границы интервала.

а) Даны значения: центр окрестности $a = 0$ и радиус $r = 3$.
Найдем левую границу интервала: $a - r = 0 - 3 = -3$.
Найдем правую границу интервала: $a + r = 0 + 3 = 3$.
Следовательно, искомая окрестность — это интервал $(-3; 3)$.
Ответ: $(-3; 3)$.

б) Даны значения: центр окрестности $a = 1$ и радиус $r = 4$.
Найдем левую границу интервала: $a - r = 1 - 4 = -3$.
Найдем правую границу интервала: $a + r = 1 + 4 = 5$.
Следовательно, искомая окрестность — это интервал $(-3; 5)$.
Ответ: $(-3; 5)$.

в) Даны значения: центр окрестности $a = 4$ и радиус $r = 4$.
Найдем левую границу интервала: $a - r = 4 - 4 = 0$.
Найдем правую границу интервала: $a + r = 4 + 4 = 8$.
Следовательно, искомая окрестность — это интервал $(0; 8)$.
Ответ: $(0; 8)$.

г) Даны значения: центр окрестности $a = -3$ и радиус $r = 5$.
Найдем левую границу интервала: $a - r = -3 - 5 = -8$.
Найдем правую границу интервала: $a + r = -3 + 5 = 2$.
Следовательно, искомая окрестность — это интервал $(-8; 2)$.
Ответ: $(-8; 2)$.