Страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

4.17 Для приготовления рассола при засолке огурцов берут соли и воды в отношении $2 : 16$ соответственно. Сколько граммов соли необходимо для приготовления $360$ г рассола?

Для решения задачи сначала определим общее количество частей в рассоле. Согласно условию, соотношение соли и воды составляет $2:16$. Это означает, что рассол состоит из 2 частей соли и 16 частей воды.

1. Найдем общее количество частей в смеси, сложив части соли и воды: $2 + 16 = 18$ (частей).

2. Общая масса рассола, 360 г, соответствует этим 18 частям. Теперь найдем, какая масса приходится на одну часть, разделив общую массу на количество частей: $360 \text{ г} \div 18 = 20 \text{ г}$. Следовательно, масса одной части составляет 20 граммов.

3. Для приготовления рассола требуется 2 части соли. Чтобы найти необходимую массу соли, умножим массу одной части на количество частей соли: $20 \text{ г/часть} \times 2 \text{ части} = 40 \text{ г}$.

Ответ: 40 г.

4.18 В железной руде содержатся железо и примеси в отношении $7 : 2$. Сколько тонн железа получится из 189 т руды?

В данной задаче указано, что в железной руде содержится железо и примеси в соотношении 7:2. Это означает, что на каждые 7 частей железа приходится 2 части примесей. Вся руда, таким образом, состоит из нескольких равных частей.

1. Сначала найдем общее количество частей в руде, сложив части железа и части примесей:

$7 + 2 = 9$ (частей)

Следовательно, вся масса руды состоит из 9 равных по массе частей.

2. Общая масса руды равна 189 тонн. Зная это, мы можем вычислить, сколько тонн приходится на одну часть, разделив общую массу на количество частей:

$189 \text{ т} \div 9 = 21 \text{ т}$

Таким образом, масса одной части составляет 21 тонну.

3. Согласно условию, железо составляет 7 частей от всей руды. Чтобы найти массу чистого железа, нужно массу одной части умножить на количество частей, приходящихся на железо:

$21 \text{ т/часть} \times 7 \text{ частей} = 147 \text{ т}$

Значит, из 189 тонн железной руды можно получить 147 тонн железа.

Ответ: 147 тонн.

4.19 Цена персиков на 20 р. выше, чем цена абрикосов. Для консервирования компота купили 3 кг персиков и 5 кг абрикосов. По какой цене покупали фрукты, если вся покупка обошлась в 620 р.?

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть цена 1 кг абрикосов составляет $x$ рублей.

Согласно условию, цена персиков на 20 рублей выше, чем цена абрикосов. Значит, цена 1 кг персиков будет равна $(x + 20)$ рублей.

Для консервирования купили 3 кг персиков, их стоимость составила $3 \cdot (x + 20)$ рублей. Также купили 5 кг абрикосов, их стоимость составила $5 \cdot x$ рублей.

Общая стоимость всей покупки равна 620 рублей. Мы можем составить уравнение, сложив стоимость персиков и абрикосов:

$3(x + 20) + 5x = 620$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $x$:

1. Раскроем скобки:

$3x + 60 + 5x = 620$

2. Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$8x + 60 = 620$

3. Перенесем число 60 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$8x = 620 - 60$

$8x = 560$

4. Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 8:

$x = \frac{560}{8}$

$x = 70$

Таким образом, цена 1 кг абрикосов составляет 70 рублей.

Теперь найдем цену 1 кг персиков:

$x + 20 = 70 + 20 = 90$ рублей.

Проверим правильность решения:

Стоимость 3 кг персиков: $3 \cdot 90 = 270$ рублей.

Стоимость 5 кг абрикосов: $5 \cdot 70 = 350$ рублей.

Общая стоимость покупки: $270 + 350 = 620$ рублей. Расчеты верны.

Ответ: цена абрикосов — 70 рублей за кг, цена персиков — 90 рублей за кг.

4.20 Из пунктов А и В, расстояние между которыми 350 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля и встретились через 2 ч 20 мин. С какой скоростью двигался каждый автомобиль, если скорость одного из них на 30 км/ч больше скорости другого?

Для решения задачи обозначим скорость одного автомобиля через $v$, тогда скорость второго автомобиля, согласно условию, будет $(v + 30)$ км/ч.

Автомобили движутся навстречу друг другу. Скорость их сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v + (v + 30) = 2v + 30$ км/ч.

Расстояние между пунктами А и В составляет $S = 350$ км. Автомобили встретились через время $t = 2$ ч 20 мин. Прежде чем использовать это значение в формулах, переведем его в часы. Так как в одном часе 60 минут, то 20 минут составляют $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ часа. Следовательно, время движения до встречи: $t = 2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ часа.

Расстояние, пройденное объектами при движении навстречу до их встречи, равно произведению скорости сближения на время движения: $S = v_{сбл} \times t$. Подставим известные значения в эту формулу и составим уравнение: $350 = (2v + 30) \times \frac{7}{3}$

Теперь решим это уравнение. Для начала разделим обе части на $\frac{7}{3}$ (что то же самое, что умножить на $\frac{3}{7}$): $2v + 30 = 350 \div \frac{7}{3}$ $2v + 30 = 350 \times \frac{3}{7}$ $2v + 30 = \frac{1050}{7}$ $2v + 30 = 150$

Теперь найдем $v$: $2v = 150 - 30$ $2v = 120$ $v = \frac{120}{2}$ $v = 60$ км/ч.

Итак, мы нашли скорость одного автомобиля. Теперь найдем скорость второго автомобиля: $v + 30 = 60 + 30 = 90$ км/ч.

Ответ: скорость одного автомобиля 60 км/ч, а другого — 90 км/ч.

4.21 Две бригады были заняты на уборке картофеля. Первая бригада за 5 ч работы убрала картофеля столько же, сколько вторая бригада за 7 ч. Сколько центнеров картофеля убрала первая бригада, если за 1 ч она убирала на 16 ц больше, чем вторая бригада?

Для решения задачи введем переменную. Пусть производительность второй бригады равна $x$ центнеров в час (ц/ч). Из условия известно, что первая бригада убирала за 1 час на 16 центнеров больше, следовательно, ее производительность составляет $(x + 16)$ ц/ч.

Первая бригада работала 5 часов и за это время убрала $5 \cdot (x + 16)$ центнеров картофеля.

Вторая бригада работала 7 часов и убрала $7 \cdot x$ центнеров картофеля.

По условию, за указанное время обе бригады убрали одинаковое количество картофеля. Это позволяет нам составить и решить уравнение:

$5 \cdot (x + 16) = 7x$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$5x + 80 = 7x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$80 = 7x - 5x$

$80 = 2x$

Теперь найдем значение $x$:

$x = \frac{80}{2}$

$x = 40$

Таким образом, производительность второй бригады составляет 40 ц/ч.

Производительность первой бригады:

$40 + 16 = 56$ ц/ч.

Основной вопрос задачи — сколько центнеров картофеля убрала первая бригада. Для этого умножим ее производительность на время работы (5 часов):

$56 \text{ ц/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 280$ центнеров.

Для проверки можно вычислить, сколько убрала вторая бригада:

$40 \text{ ц/ч} \cdot 7 \text{ ч} = 280$ центнеров.

Результаты совпадают, следовательно, задача решена верно.

Ответ: 280 центнеров.

4.22 В одной корзине в 3 раза больше огурцов, чем в другой. Если из неё взять 15 штук огурцов, а в другую корзину добавить 25 штук, то в обеих корзинах огурцов станет поровну. Сколько огурцов было первоначально в каждой корзине?

Для решения этой задачи введём переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ — это количество огурцов, которое было первоначально во второй корзине (в той, где их было меньше).

По условию, в первой корзине было в 3 раза больше огурцов, чем во второй. Следовательно, количество огурцов в первой корзине можно выразить как $3x$.

Далее, из первой корзины (в которой было $3x$ огурцов) взяли 15 штук. Количество огурцов в ней стало: $3x - 15$.

Во вторую корзину (в которой было $x$ огурцов) добавили 25 штук. Количество огурцов в ней стало: $x + 25$.

После этих действий количество огурцов в обеих корзинах стало равным. На основании этого мы можем составить уравнение:

$3x - 15 = x + 25$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$.

Сначала перенесём все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую. При переносе знак слагаемого меняется на противоположный.

$3x - x = 25 + 15$

Упростим обе части уравнения:

$2x = 40$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{40}{2}$

$x = 20$

Итак, мы нашли, что первоначально во второй корзине было 20 огурцов.

Теперь найдём, сколько огурцов было в первой корзине. Их было в 3 раза больше, чем во второй:

$3 \cdot x = 3 \cdot 20 = 60$

Значит, в первой корзине было 60 огурцов.

Выполним проверку:

Изначально: 60 огурцов в первой корзине и 20 во второй. $60 = 3 \cdot 20$, что соответствует условию.

После изменений:

• В первой корзине: $60 - 15 = 45$ огурцов.
• Во второй корзине: $20 + 25 = 45$ огурцов.

Количество огурцов стало равным ($45 = 45$), значит, задача решена верно.

Ответ: Первоначально в первой корзине было 60 огурцов, а во второй — 20 огурцов.

4.23 Когда ученик прочитал $ \frac{2}{5} $ всей книги, ему осталось прочитать ещё 240 страниц. Сколько страниц в книге?

Для решения задачи сначала определим, какая часть книги осталась непрочитанной. Вся книга представляет собой единицу, или $1$. Ученик прочитал $\frac{2}{5}$ книги.

Найдем оставшуюся часть:

$1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$

Таким образом, ученику осталось прочитать $\frac{3}{5}$ всей книги.

Из условия мы знаем, что эта оставшаяся часть составляет 240 страниц. Значит, $\frac{3}{5}$ книги — это 240 страниц.

Теперь можно найти общее количество страниц в книге. Если $\frac{3}{5}$ книги равны 240, то сначала найдем, сколько страниц составляет $\frac{1}{5}$ книги:

$240 \div 3 = 80$ страниц.

Поскольку вся книга — это $\frac{5}{5}$, то для нахождения общего количества страниц нужно умножить количество страниц в одной части на 5:

$80 \cdot 5 = 400$ страниц.

Другой способ — составить уравнение, где $x$ — общее количество страниц в книге:

$\frac{3}{5} \cdot x = 240$

$x = 240 \div \frac{3}{5}$

$x = 240 \cdot \frac{5}{3}$

$x = \frac{1200}{3} = 400$

Ответ: 400 страниц.

4.24 Когда спортсмен пробежал $\frac{3}{8}$ дистанции, ему осталось пробежать ещё 3125 м. Определите длину дистанции.

Пусть вся дистанция составляет 1 (одну целую часть).

1. Сначала определим, какая часть дистанции осталась непройденной. Если спортсмен пробежал $ \frac{3}{8} $ дистанции, то ему осталось пробежать:

$ 1 - \frac{3}{8} = \frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8} $

2. Из условия задачи мы знаем, что эта оставшаяся часть дистанции равна 3125 м. Следовательно, $ \frac{5}{8} $ от всей дистанции составляют 3125 м.

3. Теперь мы можем найти общую длину дистанции. Если 3125 м — это $ \frac{5}{8} $ от целого, то чтобы найти целое (всю дистанцию), нужно это число разделить на соответствующую ему дробь:

$ 3125 \div \frac{5}{8} = 3125 \times \frac{8}{5} $

4. Выполним вычисление:

$ \frac{3125 \times 8}{5} = 625 \times 8 = 5000 $ м.

Таким образом, общая длина дистанции составляет 5000 метров.

Ответ: 5000 м.

4.25 Масса двух моторов равна 52 кг. Масса одного из них в $2\frac{5}{7}$ раза больше другого. Найдите массу каждого мотора.

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть масса одного, более легкого, мотора равна $x$ кг.

Согласно условию, масса второго мотора в $2\frac{5}{7}$ раза больше. Следовательно, его масса составляет $(2\frac{5}{7}) \cdot x$ кг.

Суммарная масса двух моторов равна 52 кг. Мы можем составить уравнение, сложив массы обоих моторов:

$x + (2\frac{5}{7})x = 52$

Для решения уравнения сначала преобразуем смешанное число $2\frac{5}{7}$ в неправильную дробь:

$2\frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{14 + 5}{7} = \frac{19}{7}$

Теперь подставим полученную дробь обратно в уравнение:

$x + \frac{19}{7}x = 52$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(1 + \frac{19}{7}) = 52$

Выполним сложение в скобках, представив 1 как $\frac{7}{7}$:

$x(\frac{7}{7} + \frac{19}{7}) = 52$

$x(\frac{26}{7}) = 52$

Чтобы найти $x$, нужно разделить 52 на дробь $\frac{26}{7}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$x = 52 : \frac{26}{7} = 52 \cdot \frac{7}{26}$

Сократим 52 и 26 (так как $52 = 2 \cdot 26$):

$x = 2 \cdot 7 = 14$

Таким образом, масса первого (более легкого) мотора равна 14 кг.

Теперь найдем массу второго, более тяжелого, мотора. Для этого можно вычесть массу легкого мотора из общей массы:

$52 - 14 = 38$ кг.

Проверим, действительно ли масса второго мотора в $2\frac{5}{7}$ раза больше массы первого:

$\frac{38}{14} = \frac{19}{7} = 2\frac{5}{7}$

Соотношение верное.

Ответ: масса одного мотора 14 кг, масса другого мотора 38 кг.

4.26 Поезд прошёл первый перегон за 2 ч, а второй — за 3 ч. Всего за это время он прошёл расстояние 330 км. Найдите скорость поезда на каждом перегоне, если на втором перегоне она была на 10 км/ч больше, чем на первом.

Для решения задачи введём переменную. Пусть скорость поезда на первом перегоне составляет $v$ км/ч.

Согласно условию задачи, на втором перегоне скорость была на 10 км/ч больше, следовательно, скорость на втором перегоне равна $(v + 10)$ км/ч.

Время движения на первом перегоне — 2 часа. Расстояние, пройденное за это время ($S_1$), равно произведению скорости на время:
$S_1 = 2 \cdot v$ км.

Время движения на втором перегоне — 3 часа. Расстояние, пройденное за это время ($S_2$):
$S_2 = 3 \cdot (v + 10)$ км.

Общее расстояние, пройденное поездом, составляет 330 км. Это расстояние является суммой расстояний, пройденных на первом и втором перегонах: $S_1 + S_2 = 330$.

Составим и решим уравнение:
$2v + 3(v + 10) = 330$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$2v + 3v + 30 = 330$
Приведём подобные слагаемые:
$5v + 30 = 330$
Перенесём 30 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$5v = 330 - 30$
$5v = 300$
Найдём $v$, разделив обе части уравнения на 5:
$v = \frac{300}{5}$
$v = 60$

Таким образом, скорость поезда на первом перегоне равна 60 км/ч.

Теперь найдём скорость на втором перегоне, которая на 10 км/ч больше:
$60 + 10 = 70$ км/ч.

Выполним проверку:
1. Расстояние, пройденное на первом перегоне: $60 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 120$ км.
2. Расстояние, пройденное на втором перегоне: $70 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 210$ км.
3. Общее расстояние: $120 \text{ км} + 210 \text{ км} = 330$ км.
Результат проверки совпадает с условием задачи, следовательно, решение верное.

Ответ: скорость поезда на первом перегоне — 60 км/ч, на втором перегоне — 70 км/ч.