Страница 29, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

По названию числового промежутка запишите его обозначение, постройте геометрическую и аналитическую модели:

5.15 а) Открытый луч с началом в точке 5;

б) луч с началом в точке –2;

в) интервал с началом в точке 1 и концом в точке 3;

г) полуинтервал с началом в точке 6 и концом в точке 10 (рассмотрите два случая).

а) Открытый луч с началом в точке 5;

Данный числовой промежуток представляет собой множество всех чисел, которые строго больше 5.

Обозначение: Так как луч "открытый", начальная точка 5 не включается, что обозначается круглой скобкой. Промежуток уходит в положительную бесконечность. Обозначение: $(5; +\infty)$.

Геометрическая модель: На числовой прямой отмечаем точку 5. Поскольку она не входит в промежуток, мы изображаем ее "выколотой" (в виде пустого кружка). Затем заштриховываем часть прямой, расположенную правее точки 5.

Аналитическая модель: Этот промежуток задается строгим неравенством: $x > 5$.

Ответ: Обозначение: $(5; +\infty)$, аналитическая модель: $x > 5$.

б) луч с началом в точке -2;

Промежуток "луч" без слова "открытый" означает, что начальная точка включается в него. Если направление не указано, луч направлен в сторону положительной бесконечности.

Обозначение: Начальная точка -2 включается, что обозначается квадратной скобкой. Обозначение: $[-2; +\infty)$.

Геометрическая модель: На числовой прямой отмечаем точку -2. Поскольку она входит в промежуток, мы изображаем ее "закрашенной" (в виде заполненного кружка). Затем заштриховываем часть прямой, расположенную правее точки -2.

Аналитическая модель: Этот промежуток задается нестрогим неравенством: $x \ge -2$.

Ответ: Обозначение: $[-2; +\infty)$, аналитическая модель: $x \ge -2$.

в) интервал с началом в точке 1 и концом в точке 3;

Термин "интервал" означает, что обе граничные точки не включаются в промежуток. Это открытый промежуток.

Обозначение: Обе точки, 1 и 3, не включаются, что обозначается круглыми скобками. Обозначение: $(1; 3)$.

Геометрическая модель: На числовой прямой отмечаем точки 1 и 3. Обе точки "выколотые" (пустые кружки). Заштриховываем часть прямой между этими точками.

Аналитическая модель: Этот промежуток задается двойным строгим неравенством: $1 < x < 3$.

Ответ: Обозначение: $(1; 3)$, аналитическая модель: $1 < x < 3$.

г) полуинтервал с началом в точке 6 и концом в точке 10 (рассмотрите два случая).

"Полуинтервал" означает, что одна из граничных точек включается в промежуток, а другая — нет. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Начальная точка 6 включена, а конечная точка 10 — нет.

Обозначение: $[6; 10)$.

Геометрическая модель: Точка 6 "закрашенная", точка 10 "выколотая". Заштрихована область между ними.

Аналитическая модель: $6 \le x < 10$.

Случай 2: Начальная точка 6 не включена, а конечная точка 10 — включена.

Обозначение: $(6; 10]$.

Геометрическая модель: Точка 6 "выколотая", точка 10 "закрашенная". Заштрихована область между ними.

Аналитическая модель: $6 < x \le 10$.

Ответ: Возможны два случая: 1) Обозначение: $[6; 10)$, аналитическая модель: $6 \le x < 10$. 2) Обозначение: $(6; 10]$, аналитическая модель: $6 < x \le 10$.

5.16 a) Отрезок с началом в точке -2 и концом в точке 0;

б) открытый луч с концом в точке 7;

в) полуинтервал с началом в точке 4 и концом в точке 9 (точка 9 не входит в полуинтервал);

г) луч с концом в точке 12.

По данной аналитической модели назовите соответствующий числовой промежуток, запишите его обозначение, постройте геометрическую модель:

а) Отрезок с началом в точке –2 и концом в точке 0.

Решение:

Данный числовой промежуток — это отрезок. Отрезок включает в себя все точки между его началом и концом, включая сами концы.Начало отрезка — точка -2, конец — точка 0. Это означает, что промежуток содержит все числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $-2 \le x \le 0$.Обозначение для отрезка использует квадратные скобки, которые показывают, что концы промежутка включены. Таким образом, обозначение этого отрезка: $[-2; 0]$.Геометрическая модель отрезка на числовой прямой — это часть прямой между точками -2 и 0. Точки -2 и 0 отмечаются закрашенными (сплошными) кружками, так как они принадлежат отрезку.

Ответ: числовой промежуток — отрезок; обозначение: $[-2; 0]$; геометрическая модель представлена выше.

б) открытый луч с концом в точке 7;

Решение:

Данный числовой промежуток — это открытый луч. Слово "открытый" означает, что его конечная точка (в данном случае, 7) не включается в промежуток. "Луч" означает, что промежуток простирается до бесконечности в одном из направлений. Если направление не указано, по умолчанию считается, что луч направлен вправо (в сторону положительной бесконечности).Таким образом, промежуток включает все числа $x$, которые строго больше 7, то есть $x > 7$.Обозначение для открытого луча использует круглую скобку для конечной точки, чтобы показать, что она не включена. Обозначение этого луча: $(7; +\infty)$.Геометрическая модель на числовой прямой — это часть прямой, начинающаяся от точки 7 и идущая вправо. Точка 7 отмечается "выколотым" (пустым) кружком, так как она не принадлежит лучу.

Ответ: числовой промежуток — открытый луч; обозначение: $(7; +\infty)$; геометрическая модель представлена выше.

в) полуинтервал с началом в точке 4 и концом в точке 9 (точка 9 не входит в полуинтервал);

Решение:

Данный числовой промежуток — это полуинтервал. Это значит, что один из его концов включен в промежуток, а другой — нет.По условию, начало в точке 4, а конец в точке 9. Точка 9 явно не входит в полуинтервал. Если для точки начала (4) не указано иное, она считается включенной. Следовательно, промежуток содержит все числа $x$, для которых выполняется неравенство $4 \le x < 9$.Обозначение для полуинтервала использует квадратную скобку для включенной точки (4) и круглую для невключенной (9). Обозначение: $[4; 9)$.Геометрическая модель на числовой прямой — это часть прямой между точками 4 и 9. Точка 4 отмечается закрашенным кружком, а точка 9 — выколотым.

Ответ: числовой промежуток — полуинтервал; обозначение: $[4; 9)$; геометрическая модель представлена выше.

г) луч с концом в точке 12.

Решение:

Данный числовой промежуток — это луч. В отличие от открытого луча, его конечная точка (12) включается в промежуток. По умолчанию, луч направлен вправо, к положительной бесконечности.Таким образом, промежуток включает все числа $x$, которые больше или равны 12, то есть $x \ge 12$.Обозначение для луча использует квадратную скобку для конечной точки, чтобы показать, что она включена. Обозначение этого луча: $[12; +\infty)$.Геометрическая модель на числовой прямой — это часть прямой, начинающаяся от точки 12 и идущая вправо. Точка 12 отмечается закрашенным кружком, так как она принадлежит лучу.

Ответ: числовой промежуток — луч; обозначение: $[12; +\infty)$; геометрическая модель представлена выше.

5.17 a) $x > 3$;

б) $x \ge 3$;

в) $x < 3$;

г) $x \le 3$.

а) $x > 3$

Это строгое неравенство, которое читается как «икс строго больше трёх». Решением этого неравенства является множество всех действительных чисел, которые находятся на числовой прямой правее числа 3. Само число 3 в это множество не входит. На числовой прямой это множество изображается как открытый луч, начинающийся в точке 3 (точка 3 при этом "выколота", то есть не входит в решение) и идущий в сторону положительной бесконечности.

Множество решений в виде числового промежутка записывается с использованием круглой скобки, которая указывает на то, что граничное значение не включается в интервал.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

б) $x \geq 3$

Это нестрогое неравенство, которое читается как «икс больше или равен трём». Его решением является множество всех действительных чисел, которые не меньше числа 3. В это множество входит как само число 3, так и все числа, которые больше него. На числовой прямой это множество изображается как луч, начинающийся в точке 3 (точка 3 при этом закрашена, то есть входит в решение) и идущий в сторону положительной бесконечности.

Множество решений в виде числового промежутка записывается с использованием квадратной скобки, которая указывает на то, что граничное значение включается в интервал.

Ответ: $x \in [3; +\infty)$.

в) $x < 3$

Это строгое неравенство, которое читается как «икс строго меньше трёх». Решением является множество всех действительных чисел, которые на числовой прямой расположены левее числа 3. Само число 3 решением не является. На числовой прямой это множество изображается как открытый луч, идущий от минус бесконечности до точки 3 (точка 3 при этом "выколота").

Множество решений в виде числового промежутка записывается с использованием круглой скобки, показывающей, что граница не включена.

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

г) $x \leq 3$

Это нестрогое неравенство, которое читается как «икс меньше или равен трём». Его решением является множество всех действительных чисел, которые не превышают число 3. В это множество входит как само число 3, так и все числа, которые меньше него. На числовой прямой это множество изображается как луч, идущий от минус бесконечности до точки 3 (точка 3 при этом закрашена).

Множество решений в виде числового промежутка записывается с использованием квадратной скобки, чтобы показать, что число 3 включено в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; 3]$.

5.18 a) $2 < x < 4;$

б) $3 \le x < 5;$

в) $0 \le x \le 7;$

г) $5 < x \le 8.$

а) Данное двойное неравенство $2 < x < 4$ означает, что переменная $x$ принимает значения, которые строго больше 2 и одновременно строго меньше 4. Такое множество чисел называется открытым числовым промежутком (или интервалом), так как концы промежутка, числа 2 и 4, не включаются в него. В виде интервальной записи это обозначается с помощью круглых скобок.
Ответ: $(2; 4)$.

б) Неравенство $3 \le x < 5$ означает, что переменная $x$ принимает значения, которые больше или равны 3 и одновременно строго меньше 5. Этот промежуток является полуинтервалом (или полуотрезком). Левая граница, число 3, включается в промежуток (нестрогий знак $\le$), а правая граница, число 5, не включается (строгий знак $<$). Включение границы обозначается квадратной скобкой, а исключение — круглой.
Ответ: $[3; 5)$.

в) Неравенство $0 \le x \le 7$ означает, что переменная $x$ принимает значения, которые больше или равны 0 и одновременно меньше или равны 7. Такой промежуток называется замкнутым числовым промежутком (или отрезком), так как обе его границы, числа 0 и 7, включаются в него (оба знака неравенства нестрогие). В интервальной записи это обозначается с помощью квадратных скобок с обеих сторон.
Ответ: $[0; 7]$.

г) Неравенство $5 < x \le 8$ означает, что переменная $x$ принимает значения, которые строго больше 5 и одновременно меньше или равны 8. Это также полуинтервал. Левая граница, число 5, не включается в промежуток (строгий знак $<$), а правая граница, число 8, включается (нестрогий знак $\le$).
Ответ: $(5; 8]$.

5.19 a) $x \geq 2$;

б) $-5 < x < -2$;

в) $x < 0$;

г) $4 \leq x < 8$.

a) Данное неравенство $x \geq 2$ является нестрогим. Это означает, что переменная $x$ может принимать значение 2, а также любые значения, которые больше 2. На числовой прямой это соответствует лучу, который начинается в точке 2 (включая эту точку) и уходит вправо в положительную бесконечность. В виде числового промежутка это записывается с использованием квадратной скобки, так как знак неравенства "больше или равно" включает граничное значение.
Ответ: $[2, +\infty)$

б) Двойное неравенство $-5 < x < -2$ является строгим с обеих сторон. Это означает, что переменная $x$ принимает значения, которые строго больше -5 и одновременно строго меньше -2. Границы промежутка, числа -5 и -2, в решение не входят. Такой промежуток называется интервалом и при его записи используются круглые скобки, так как неравенство строгое.
Ответ: $(-5, -2)$

в) Неравенство $x < 0$ является строгим. Это означает, что переменная $x$ может принимать любые значения, которые меньше 0, но не само значение 0. На числовой прямой это соответствует лучу, который идет от минус бесконечности до точки 0 (не включая эту точку). В виде числового промежутка это записывается с использованием круглой скобки, так как знак неравенства "меньше" не включает граничное значение.
Ответ: $(-\infty, 0)$

г) Двойное неравенство $4 \leq x < 8$ является нестрогим слева и строгим справа. Это означает, что переменная $x$ принимает значения, которые больше или равны 4 ($x \geq 4$) и одновременно строго меньше 8 ($x < 8$). Левая граница, число 4, включается в решение, что обозначается квадратной скобкой. Правая граница, число 8, не включается в решение, что обозначается круглой скобкой. Такой промежуток называется полуинтервалом.
Ответ: $[4, 8)$

5.20 a) $1 \le x \le 3;$

B) $x \le 1;$

б) $6 < x \le 7;$

Г) $-6 < x < -2.$

а)

Дано двойное неравенство $1 \le x \le 3$. Оно означает, что переменная $x$ принимает значения, которые одновременно больше или равны 1 и меньше или равны 3.

Знаки неравенства $\le$ (меньше или равно) являются нестрогими. Это означает, что граничные значения, то есть числа 1 и 3, включаются в рассматриваемый промежуток.

Для записи такого промежутка в виде числового множества (интервала) используются квадратные скобки, которые показывают, что концы интервала принадлежат ему.

Ответ: $x \in [1; 3]$.

б)

Дано двойное неравенство $6 < x \le 7$. Оно означает, что переменная $x$ принимает значения, которые строго больше 6 и одновременно меньше или равны 7.

Знак $<$ (меньше) является строгим, поэтому левая граница, число 6, не включается в промежуток. Для её обозначения в интервальной записи используется круглая скобка.

Знак $\le$ (меньше или равно) является нестрогим, поэтому правая граница, число 7, включается в промежуток. Для её обозначения используется квадратная скобка.

Такой промежуток называется полуинтервалом.

Ответ: $x \in (6; 7]$.

в)

Дано неравенство $x \le 1$. Оно означает, что переменная $x$ принимает значения, которые меньше или равны 1.

Это множество включает число 1 и все числа, которые меньше его, то есть уходит в минус бесконечность. Такой промежуток называется числовым лучом.

Поскольку знак неравенства $\le$ нестрогий, число 1 включается в промежуток, что обозначается квадратной скобкой. Символ бесконечности $(-\infty)$ всегда записывается с круглой скобкой, так как бесконечность не является конкретным числом.

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

г)

Дано двойное неравенство $-6 < x < -2$. Оно означает, что переменная $x$ принимает значения, которые строго больше -6 и строго меньше -2.

Оба знака неравенства $<$ (меньше) являются строгими. Это означает, что граничные значения, числа -6 и -2, не включаются в рассматриваемый промежуток.

Для записи такого промежутка, который называется интервалом, используются круглые скобки с обеих сторон.

Ответ: $x \in (-6; -2)$.

5.21 Принадлежит ли промежутку $(-8; 4)$ число:

а) $-6$;

б) $-8$;

в) $0$;

г) $4$?

Промежуток $(-8; 4)$ — это множество всех чисел $x$, которые удовлетворяют строгому двойному неравенству $-8 < x < 4$. Это означает, что число должно быть строго больше $-8$ и строго меньше $4$. Круглые скобки указывают на то, что концы промежутка, числа $-8$ и $4$, в него не включаются. Такой промежуток называется открытым.

а) -6;
Чтобы определить, принадлежит ли число $-6$ промежутку $(-8; 4)$, нужно проверить, выполняется ли для него неравенство $-8 < -6 < 4$.
Сравним $-6$ с границами промежутка:

• $-8 < -6$ — это верное неравенство.
• $-6 < 4$ — это также верное неравенство.

Поскольку оба условия выполняются, число $-6$ находится внутри промежутка.
Ответ: да, принадлежит.

б) -8;
Проверим, выполняется ли неравенство $-8 < -8 < 4$.
Первая часть неравенства, $-8 < -8$, является ложной, так как число $-8$ равно самому себе, а не строго больше. Число $-8$ является левой границей промежутка и не входит в него.
Ответ: нет, не принадлежит.

в) 0;
Проверим, выполняется ли для числа $0$ неравенство $-8 < 0 < 4$.
Сравним $0$ с границами промежутка:

• $-8 < 0$ — это верное неравенство.
• $0 < 4$ — это также верное неравенство.

Оба условия выполняются, следовательно, число $0$ принадлежит данному промежутку.
Ответ: да, принадлежит.

г) 4?
Проверим, выполняется ли неравенство $-8 < 4 < 4$.
Вторая часть неравенства, $4 < 4$, является ложной, так как число $4$ равно самому себе, а не строго меньше. Число $4$ является правой границей промежутка и не входит в него.
Ответ: нет, не принадлежит.

5.22 Принадлежит ли промежутку $(2; 6]$ число:

а) $-4$;

б) 2;

в) 6;

г) 5?

Для того чтобы определить, принадлежит ли число промежутку $(2; 6]$, необходимо проверить, удовлетворяет ли это число двойному неравенству $2 < x \le 6$. Это означает, что число $x$ должно быть строго больше 2 и одновременно меньше или равно 6. Рассмотрим каждый случай.

а) Проверим, принадлежит ли число -4 промежутку $(2; 6]$. Для этого подставим -4 в неравенство: $2 < -4 \le 6$. Левая часть этого двойного неравенства, $2 < -4$, является ложной. Следовательно, число -4 не принадлежит данному промежутку.
Ответ: нет.

б) Проверим, принадлежит ли число 2 промежутку $(2; 6]$. Подставим 2 в неравенство: $2 < 2 \le 6$. Левая часть, $2 < 2$, является ложной. Круглая скобка в обозначении промежутка $(2; 6]$ означает, что его левая граница, число 2, не включается в промежуток (неравенство строгое).
Ответ: нет.

в) Проверим, принадлежит ли число 6 промежутку $(2; 6]$. Подставим 6 в неравенство: $2 < 6 \le 6$. Это неравенство является истинным, так как обе его части верны: $2 < 6$ и $6 \le 6$. Квадратная скобка в обозначении $(2; 6]$ означает, что его правая граница, число 6, включается в промежуток (неравенство нестрогое).
Ответ: да.

г) Проверим, принадлежит ли число 5 промежутку $(2; 6]$. Подставим 5 в неравенство: $2 < 5 \le 6$. Это неравенство является истинным, так как обе его части верны: $2 < 5$ и $5 \le 6$. Следовательно, число 5 принадлежит данному промежутку.
Ответ: да.

5.23 Принадлежит ли промежутку $[3; 7)$ число:

а) 3;

б) 5;

в) 7;

г) 6,5?

Промежуток, заданный в виде $[3; 7)$, представляет собой множество всех чисел $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $3 \le x < 7$. Квадратная скобка возле числа 3 означает, что 3 включается в промежуток. Круглая скобка возле числа 7 означает, что 7 не включается в промежуток. Проверим каждое из предложенных чисел.

а) Проверим, принадлежит ли число 3 промежутку $[3; 7)$.

Для этого подставим число 3 в двойное неравенство $3 \le x < 7$:

$3 \le 3 < 7$

Это неравенство можно разбить на два: $3 \le 3$ (верно) и $3 < 7$ (верно). Поскольку оба условия выполняются, число 3 принадлежит данному промежутку.

Ответ: да, принадлежит.

б) Проверим, принадлежит ли число 5 промежутку $[3; 7)$.

Подставим число 5 в двойное неравенство $3 \le x < 7$:

$3 \le 5 < 7$

Это неравенство можно разбить на два: $3 \le 5$ (верно) и $5 < 7$ (верно). Поскольку оба условия выполняются, число 5 принадлежит данному промежутку.

Ответ: да, принадлежит.

в) Проверим, принадлежит ли число 7 промежутку $[3; 7)$.

Подставим число 7 в двойное неравенство $3 \le x < 7$:

$3 \le 7 < 7$

Это неравенство можно разбить на два: $3 \le 7$ (верно) и $7 < 7$ (неверно, так как 7 не может быть строго меньше 7). Поскольку одно из условий не выполняется, число 7 не принадлежит данному промежутку.

Ответ: нет, не принадлежит.

г) Проверим, принадлежит ли число 6,5 промежутку $[3; 7)$.

Подставим число 6,5 в двойное неравенство $3 \le x < 7$:

$3 \le 6,5 < 7$

Это неравенство можно разбить на два: $3 \le 6,5$ (верно) и $6,5 < 7$ (верно). Поскольку оба условия выполняются, число 6,5 принадлежит данному промежутку.

Ответ: да, принадлежит.

5.24 Принадлежит ли промежутку $(3; +\infty)$ число:

а) 6;

б) 125;

в) 10365;

г) 3?

Заданный промежуток $(3; +\infty)$ включает в себя все числа, которые строго больше 3. Это можно записать в виде строгого неравенства: $x > 3$. Круглая скобка `(` у числа 3 означает, что сама граница, то есть число 3, не входит в этот промежуток. Проанализируем каждое число.

а) 6;
Проверяем, удовлетворяет ли число 6 условию $x > 3$.
Неравенство $6 > 3$ является верным. Значит, число 6 принадлежит промежутку $(3; +\infty)$.
Ответ: да, принадлежит.

б) 125;
Проверяем, удовлетворяет ли число 125 условию $x > 3$.
Неравенство $125 > 3$ является верным. Значит, число 125 принадлежит промежутку $(3; +\infty)$.
Ответ: да, принадлежит.

в) 10365;
Проверяем, удовлетворяет ли число 10365 условию $x > 3$.
Неравенство $10365 > 3$ является верным. Значит, число 10365 принадлежит промежутку $(3; +\infty)$.
Ответ: да, принадлежит.

г) 3?
Проверяем, удовлетворяет ли число 3 условию $x > 3$.
Неравенство $3 > 3$ является неверным, так как 3 равно 3, а не строго больше 3.
Так как граница промежутка не включается (строгое неравенство), число 3 не принадлежит промежутку $(3; +\infty)$.
Ответ: нет, не принадлежит.

5.25 Принадлежит ли промежутку $(-\infty; 12)$ число:

а) -8;

б) -250;

в) 0;

г) 12?

Чтобы определить, принадлежит ли число промежутку $(-\infty; 12)$, нужно проверить, выполняется ли для этого числа строгое неравенство $x < 12$. Промежуток $(-\infty; 12)$ включает в себя все числа, которые строго меньше 12. Круглая скобка возле числа 12 означает, что само число 12 не входит в данный промежуток.

а) -8

Проверим, удовлетворяет ли число -8 условию $x < 12$.

Подставим -8 в неравенство: $-8 < 12$.

Это неравенство является верным, так как любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Ответ: да, принадлежит.

б) -250

Проверим, удовлетворяет ли число -250 условию $x < 12$.

Подставим -250 в неравенство: $-250 < 12$.

Это неравенство является верным.

Ответ: да, принадлежит.

в) 0

Проверим, удовлетворяет ли число 0 условию $x < 12$.

Подставим 0 в неравенство: $0 < 12$.

Это неравенство является верным.

Ответ: да, принадлежит.

г) 12

Проверим, удовлетворяет ли число 12 условию $x < 12$.

Подставим 12 в неравенство: $12 < 12$.

Это неравенство является неверным, так как $12 = 12$. Промежуток $(-\infty; 12)$ — открытый, и его правая граница (число 12) не включается в него, на что указывает круглая скобка.

Ответ: нет, не принадлежит.