Страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

4.43 Идёт по морю корабль, на нём 120 человек — мужчин и женщин. Всего они заплатили 120 гривен, причём мужчина платил 4 алтына, а женщина — 3 алтына. Сколько было на корабле мужчин и женщин, если $1 \text{ гривна} = 10 \text{ копеек}$, а $1 \text{ алтын} = 3 \text{ копейки}$?

Для решения задачи необходимо составить систему уравнений. Но для начала переведём все денежные единицы в копейки, так как это наименьшая указанная единица.

В условии даны следующие соотношения:

• 1 гривна = 10 копеек
• 1 алтын = 3 копейки

1. Расчёт общей суммы и стоимости проезда в копейках.

Общая сумма, уплаченная пассажирами, составляет 120 гривен. Переведём эту сумму в копейки:
$120 \text{ гривен} \times 10 \text{ копеек/гривна} = 1200 \text{ копеек}$.

Стоимость проезда для одного мужчины составляет 4 алтына. Переведём в копейки:
$4 \text{ алтына} \times 3 \text{ копейки/алтын} = 12 \text{ копеек}$.

Стоимость проезда для одной женщины составляет 3 алтына. Переведём в копейки:
$3 \text{ алтына} \times 3 \text{ копейки/алтын} = 9 \text{ копеек}$.

2. Составление и решение системы уравнений.

Пусть $x$ — это количество мужчин, а $y$ — количество женщин на корабле.Всего на корабле было 120 человек, из этого следует первое уравнение:
$x + y = 120$.

Все мужчины вместе заплатили $12x$ копеек, а все женщины — $9y$ копеек. Общая сумма составила 1200 копеек, отсюда получаем второе уравнение:
$12x + 9y = 1200$.

Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} x + y = 120 \\ 12x + 9y = 1200 \end{cases}$

Для упрощения вычислений разделим второе уравнение на 3:
$4x + 3y = 400$.

Теперь решим систему методом подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:
$y = 120 - x$.

Подставим это выражение в упрощённое второе уравнение:
$4x + 3(120 - x) = 400$.

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$4x + 360 - 3x = 400$
$x = 400 - 360$
$x = 40$.

Итак, на корабле было 40 мужчин.

Теперь найдём количество женщин, подставив значение $x$ в выражение для $y$:
$y = 120 - 40$
$y = 80$.

Таким образом, на корабле было 80 женщин.

Проверка:
Общее количество людей: $40 + 80 = 120$.
Общая сумма платы: $(40 \times 12 \text{ копеек}) + (80 \times 9 \text{ копеек}) = 480 + 720 = 1200 \text{ копеек}$, что равно 120 гривнам.Все условия задачи выполнены.

Ответ: на корабле было 40 мужчин и 80 женщин.

5.1 Запишите координаты точек, изображённых на рис. 1.

M: $-4/3$

B: $-2/3$

N: $-1/3$

O: $0$

D: $4/3$

A: $5/3$

P: $2$

C: $7/3$

Q: $3$

Рис. 1

Для того чтобы определить координаты точек, изображенных на координатной прямой, сначала найдем цену одного деления (масштаб).

На прямой отмечены точка O (начало отсчета) с координатой 0 и точка с координатой 1. Расстояние между ними разделено на 3 равных промежутка (деления). Следовательно, длина одного такого деления составляет:

$1 \div 3 = \frac{1}{3}$

Теперь, зная цену деления, мы можем найти координату каждой точки, посчитав количество делений от точки O.

M

Точка M расположена слева от начала отсчета O на 5 делений. Координаты точек, расположенных слева от нуля, являются отрицательными. Поэтому координата точки M равна:

$-5 \times \frac{1}{3} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$

Ответ: $M(-1\frac{2}{3})$

B

Точка B расположена слева от начала отсчета O на 3 деления. Её координата равна:

$-3 \times \frac{1}{3} = -1$

Ответ: $B(-1)$

N

Точка N расположена слева от начала отсчета O на 1 деление. Её координата равна:

$-1 \times \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $N(-\frac{1}{3})$

O

Точка O является началом отсчета на координатной прямой.

Ответ: $O(0)$

D

Точка D расположена справа от начала отсчета O на 1 деление. Координаты точек, расположенных справа от нуля, являются положительными. Координата точки D равна:

$1 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $D(\frac{1}{3})$

A

Точка A расположена справа от начала отсчета O на 2 деления. Её координата равна:

$2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $A(\frac{2}{3})$

P

Точка P расположена справа от начала отсчета O, ровно посередине между 4-м и 5-м делениями. Координата 4-го деления: $4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. Координата 5-го деления: $5 \times \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$. Чтобы найти координату точки P, найдем среднее арифметическое этих значений:

$\frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{3}}{2} = \frac{\frac{9}{3}}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

Альтернативно, точка P находится на расстоянии 4.5 делений от O. Её координата равна:

$4.5 \times \frac{1}{3} = \frac{9}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Ответ: $P(1\frac{1}{2})$

C

Точка C расположена справа от начала отсчета O на 5 делений. Её координата равна:

$5 \times \frac{1}{3} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$

Ответ: $C(1\frac{2}{3})$

Q

Точка Q расположена справа от начала отсчета O на 7 делений. Её координата равна:

$7 \times \frac{1}{3} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

Ответ: $Q(2\frac{1}{3})$

5.2 а) Изобразите на координатной прямой точки:

$A(5)$, $B(-3)$, $C(-8)$, $D(-1.5)$;

$M(6)$, $N(-1)$, $P(2.5)$, $O(0)$;

$Q(-3.5)$, $R(-5)$, $S(2)$, $Z(4.5)$;

$E(-7)$, $F(9)$, $K(3.5)$, $L(-0.5)$.

б) Найдите расстояние между точками:

P и B, D и P, A и Q, B и N;

D и A, B и C, N и Q, M и D;

M и N, R и Q, A и C, P и Q;

M и Q, N и P, A и P, B и D.

а) Чтобы изобразить точки на координатной прямой, необходимо начертить прямую, выбрать на ней начало отсчета (точку O с координатой 0), задать единичный отрезок и положительное направление (обычно вправо). Затем на этой прямой отмечаются точки в соответствии с их числовыми значениями (координатами). Положительные числа располагаются справа от нуля, а отрицательные — слева.

Ответ: Точки изображены на координатной прямой выше.

б) Расстояние между двумя точками на координатной прямой, имеющими координаты $x_1$ и $x_2$, вычисляется как модуль их разности по формуле $d = |x_2 - x_1|$.

P и B: Точки имеют координаты $P(2,5)$ и $B(-3)$. Расстояние между ними: $d = |2,5 - (-3)| = |2,5 + 3| = 5,5$.
Ответ: 5,5.

D и P: Точки имеют координаты $D(-1,5)$ и $P(2,5)$. Расстояние между ними: $d = |2,5 - (-1,5)| = |2,5 + 1,5| = 4$.
Ответ: 4.

A и Q: Точки имеют координаты $A(5)$ и $Q(-3,5)$. Расстояние между ними: $d = |5 - (-3,5)| = |5 + 3,5| = 8,5$.
Ответ: 8,5.

B и N: Точки имеют координаты $B(-3)$ и $N(-1)$. Расстояние между ними: $d = |-1 - (-3)| = |-1 + 3| = 2$.
Ответ: 2.

D и A: Точки имеют координаты $D(-1,5)$ и $A(5)$. Расстояние между ними: $d = |5 - (-1,5)| = |5 + 1,5| = 6,5$.
Ответ: 6,5.

B и C: Точки имеют координаты $B(-3)$ и $C(-8)$. Расстояние между ними: $d = |-3 - (-8)| = |-3 + 8| = 5$.
Ответ: 5.

N и Q: Точки имеют координаты $N(-1)$ и $Q(-3,5)$. Расстояние между ними: $d = |-1 - (-3,5)| = |-1 + 3,5| = 2,5$.
Ответ: 2,5.

M и D: Точки имеют координаты $M(6)$ и $D(-1,5)$. Расстояние между ними: $d = |6 - (-1,5)| = |6 + 1,5| = 7,5$.
Ответ: 7,5.

M и N: Точки имеют координаты $M(6)$ и $N(-1)$. Расстояние между ними: $d = |6 - (-1)| = |6 + 1| = 7$.
Ответ: 7.

R и Q: Точки имеют координаты $R(-5)$ и $Q(-3,5)$. Расстояние между ними: $d = |-3,5 - (-5)| = |-3,5 + 5| = 1,5$.
Ответ: 1,5.

A и C: Точки имеют координаты $A(5)$ и $C(-8)$. Расстояние между ними: $d = |5 - (-8)| = |5 + 8| = 13$.
Ответ: 13.

P и Q: Точки имеют координаты $P(2,5)$ и $Q(-3,5)$. Расстояние между ними: $d = |2,5 - (-3,5)| = |2,5 + 3,5| = 6$.
Ответ: 6.

M и Q: Точки имеют координаты $M(6)$ и $Q(-3,5)$. Расстояние между ними: $d = |6 - (-3,5)| = |6 + 3,5| = 9,5$.
Ответ: 9,5.

N и P: Точки имеют координаты $N(-1)$ и $P(2,5)$. Расстояние между ними: $d = |2,5 - (-1)| = |2,5 + 1| = 3,5$.
Ответ: 3,5.

A и P: Точки имеют координаты $A(5)$ и $P(2,5)$. Расстояние между ними: $d = |5 - 2,5| = 2,5$.
Ответ: 2,5.

B и D: Точки имеют координаты $B(-3)$ и $D(-1,5)$. Расстояние между ними: $d = |-1,5 - (-3)| = |-1,5 + 3| = 1,5$.
Ответ: 1,5.

5.3 На координатной прямой даны точки $A(-3)$, $B(5)$; $M$ — середина отрезка $AB$. Найдите:

а) расстояние между точками $A$ и $B$;

б) расстояние между точками $A$ и $M$;

в) расстояние между точками $B$ и $M$;

г) координату точки $M$.

а) расстояние между точками А и В;

Чтобы найти расстояние между двумя точками на координатной прямой, нужно из координаты одной точки вычесть координату другой и взять модуль полученного числа. Формула расстояния $d$ между точками с координатами $x_1$ и $x_2$ выглядит так: $d = |x_2 - x_1|$.

Координаты наших точек: $A(-3)$ и $B(5)$. Пусть $x_A = -3$ и $x_B = 5$.

Вычислим расстояние AB:

$AB = |x_B - x_A| = |5 - (-3)| = |5 + 3| = |8| = 8$.

Ответ: 8

б) расстояние между точками А и М;

Поскольку точка $M$ является серединой отрезка $AB$, расстояние от $A$ до $M$ будет равно половине длины всего отрезка $AB$.

Длину отрезка $AB$ мы нашли в предыдущем пункте: $AB = 8$.

Тогда расстояние $AM$ равно:

$AM = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Также можно сначала найти координату точки $M$ (см. пункт г), которая равна 1, а затем вычислить расстояние $AM$ по формуле:

$AM = |x_M - x_A| = |1 - (-3)| = |1 + 3| = |4| = 4$.

Ответ: 4

в) расстояние между точками B и M;

Так как $M$ — середина отрезка $AB$, то она делит его на два равных отрезка: $AM$ и $BM$. Следовательно, расстояние $BM$ равно расстоянию $AM$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что $AM = 4$. Значит,

$BM = AM = 4$.

Проверим это, используя формулу расстояния и координату точки $M(1)$:

$BM = |x_B - x_M| = |5 - 1| = |4| = 4$.

Ответ: 4

г) координату точки М.

Координата середины отрезка на координатной прямой находится как среднее арифметическое координат его концов. Формула для нахождения координаты $x_M$ середины отрезка с концами в точках $A(x_A)$ и $B(x_B)$:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$.

Подставим известные координаты точек $A(-3)$ и $B(5)$:

$x_M = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: 1

5.4 «Число с больше числа d». Переведите это утверждение:

а) на алгебраический язык (с помощью знака неравенства);

б) на геометрический язык (с помощью координатной прямой).

а) на алгебраический язык (с помощью знака неравенства);

Утверждение «число c больше числа d» означает, что значение переменной c превосходит значение переменной d. В алгебре для описания такого соотношения используется знак строгого неравенства «больше», который выглядит как «>». Таким образом, данное утверждение можно записать в виде математического неравенства.

Ответ: $c > d$.

б) на геометрический язык (с помощью координатной прямой).

На координатной (или числовой) прямой числа располагаются в порядке возрастания слева направо. Это значит, что если одно число больше другого, то точка, соответствующая большему числу, находится правее точки, соответствующей меньшему числу. Поскольку по условию число c больше числа d, то на координатной прямой точка, обозначающая число c, будет расположена правее точки, обозначающей число d.

Ответ: на координатной прямой точка с координатой c лежит правее точки с координатой d.