Страница 42, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Александрова, Мишустина

1. Что такое прямоугольная система координат на плоскости?

1. Прямоугольная система координат на плоскости, также называемая декартовой системой координат в честь Рене Декарта, — это способ задания положения точки на плоскости с помощью двух чисел, называемых координатами.

Она определяется следующими элементами:
1. Две взаимно перпендикулярные прямые, называемые осями координат.
2. Точка пересечения этих осей, называемая началом координат (обычно обозначается как $O$).
3. На каждой оси выбрано положительное направление (обычно указывается стрелкой) и единица измерения (масштаб).

Горизонтальную ось принято называть осью абсцисс и обозначать $Ox$. Вертикальную ось называют осью ординат и обозначают $Oy$. Угол между положительными направлениями осей составляет $90^\circ$.

Положение любой точки $M$ на плоскости однозначно определяется упорядоченной парой чисел $(x, y)$, где:
• Абсцисса $x$ — это координата точки на оси $Ox$, полученная путем проведения перпендикуляра из точки $M$ на эту ось.
• Ордината $y$ — это координата точки на оси $Oy$, полученная путем проведения перпендикуляра из точки $M$ на эту ось.
Координаты точки $M$ записывают в скобках после ее буквенного обозначения: $M(x; y)$.

Оси координат делят плоскость на четыре координатные четверти (или квадранты), которые нумеруются против часовой стрелки:
- I четверть: $x > 0, y > 0$
- II четверть: $x < 0, y > 0$
- III четверть: $x < 0, y < 0$
- IV четверть: $x > 0, y < 0$

Эта система является фундаментальным инструментом аналитической геометрии, поскольку она позволяет устанавливать связь между геометрическими объектами (точками, линиями, фигурами) и их алгебраическими представлениями (числами, уравнениями).

Ответ: Прямоугольная система координат на плоскости — это система, заданная двумя взаимно перпендикулярными осями ($Ox$ — ось абсцисс и $Oy$ — ось ординат) с общим началом отсчета $O$ и единым масштабом, которая позволяет каждой точке плоскости сопоставить единственную упорядоченную пару чисел $(x; y)$, называемых ее координатами.

2. Сформулируйте алгоритм отыскания координат точки M, заданной в системе координат $xOy$.

2. Алгоритм для определения координат точки $M$ в прямоугольной декартовой системе координат $xOy$ состоит из следующих последовательных шагов:

1. Определение абсциссы (координаты $x$): Из точки $M$ опустить перпендикуляр на ось абсцисс ($Ox$). Точка пересечения этого перпендикуляра с осью $Ox$ будет иметь некоторую координату на этой оси. Это числовое значение и является абсциссой точки $M$. Обозначим его как $x_M$.

2. Определение ординаты (координаты $y$): Из точки $M$ опустить перпендикуляр на ось ординат ($Oy$). Точка пересечения этого перпендикуляра с осью $Oy$ будет иметь некоторую координату на этой оси. Это числовое значение является ординатой точки $M$. Обозначим его как $y_M$.

3. Запись координат: Координаты точки $M$ записываются в виде упорядоченной пары чисел в круглых скобках, где на первом месте всегда стоит абсцисса, а на втором — ордината: $M(x_M; y_M)$.

Таким образом, для нахождения координат точки необходимо найти длины проекций вектора $\vec{OM}$ (где $O$ — начало координат) на координатные оси $Ox$ и $Oy$ с учетом знака.

Ответ: Координаты точки $M$ находятся путем построения перпендикуляров из точки $M$ к осям $Ox$ и $Oy$ и определения числовых значений $x_M$ и $y_M$ в точках их пересечения, после чего они записываются в виде упорядоченной пары $(x_M; y_M)$.

3. В какой четверти координатной плоскости $xOy$ находится точка $M(x; y)$, если:

а) $x < 0, y > 0$;

б) $x > 0, y < 0$;

в) $x < 0, y < 0$;

г) $x > 0, y > 0$?

Для определения четверти, в которой находится точка $M(x; y)$ на координатной плоскости $xOy$, необходимо проанализировать знаки ее координат: $x$ (абсцисса) и $y$ (ордината). Координатные оси делят плоскость на четыре четверти, нумерация которых идет против часовой стрелки, начиная с правой верхней.

• I четверть: $x > 0$, $y > 0$.
• II четверть: $x < 0$, $y > 0$.
• III четверть: $x < 0$, $y < 0$.
• IV четверть: $x > 0$, $y < 0$.

Применим эти правила для каждого из заданных случаев.

а) По условию дано $x < 0$ и $y > 0$. Это означает, что абсцисса точки отрицательна, а ордината — положительна. Такие знаки координат соответствуют второй координатной четверти.
Ответ: во II четверти.

б) По условию дано $x > 0$ и $y < 0$. Это означает, что абсцисса точки положительна, а ордината — отрицательна. Такие знаки координат соответствуют четвертой координатной четверти.
Ответ: в IV четверти.

в) По условию дано $x < 0$ и $y < 0$. Это означает, что обе координаты точки, и абсцисса, и ордината, отрицательны. Такие знаки координат соответствуют третьей координатной четверти.
Ответ: в III четверти.

г) По условию дано $x > 0$ и $y > 0$. Это означает, что обе координаты точки, и абсцисса, и ордината, положительны. Такие знаки координат соответствуют первой координатной четверти.
Ответ: в I четверти.

4. Как на координатной плоскости $xOy$ построить прямую:

а) $x = a$;

б) $y = b$?

а) Уравнение $x = a$ задает на координатной плоскости $xOy$ множество всех точек, абсцисса (координата $x$) которых равна постоянному значению $a$, в то время как ордината (координата $y$) может быть любым действительным числом.

Это означает, что для любой точки на этой прямой координата $x$ всегда будет равна $a$. Например, этому уравнению удовлетворяют точки с координатами $(a, 0)$, $(a, 2)$, $(a, -5)$ и так далее. Все эти точки лежат на одной вертикальной прямой.

Чтобы построить эту прямую, необходимо:

1. На оси абсцисс ($Ox$) найти точку со значением $a$.
2. Через эту точку провести прямую, параллельную оси ординат ($Oy$).

Эта прямая будет проходить через все точки с абсциссой $a$. В частном случае, если $a = 0$, уравнение $x=0$ задает саму ось ординат $Oy$.

Ответ: Прямая $x = a$ — это вертикальная прямая, которая проходит через точку $(a, 0)$ на оси $Ox$ и параллельна оси $Oy$.

б) Уравнение $y = b$ задает на координатной плоскости $xOy$ множество всех точек, ордината (координата $y$) которых равна постоянному значению $b$, в то время как абсцисса (координата $x$) может быть любым действительным числом.

Это означает, что для любой точки на этой прямой координата $y$ всегда будет равна $b$. Например, этому уравнению удовлетворяют точки с координатами $(0, b)$, $(3, b)$, $(-4, b)$ и так далее. Все эти точки лежат на одной горизонтальной прямой.

Чтобы построить эту прямую, необходимо:

1. На оси ординат ($Oy$) найти точку со значением $b$.
2. Через эту точку провести прямую, параллельную оси абсцисс ($Ox$).

Эта прямая будет проходить через все точки с ординатой $b$. В частном случае, если $b = 0$, уравнение $y=0$ задает саму ось абсцисс $Ox$.

Ответ: Прямая $y = b$ — это горизонтальная прямая, которая проходит через точку $(0, b)$ на оси $Oy$ и параллельна оси $Ox$.

5. Какая прямая в координатной плоскости $xOy$ задаётся уравнением:

a) $x = 0$; б) $y = 0$?

а) Уравнение $x = 0$ задает на координатной плоскости $xOy$ множество всех точек, у которых первая координата (абсцисса) равна нулю. Вторая координата (ордината) $y$ может быть при этом любым действительным числом. Например, точки с координатами $(0, -2)$, $(0, 0)$, $(0, 1)$, $(0, 5)$ удовлетворяют этому уравнению. Все эти точки лежат на вертикальной оси координат. Таким образом, это уравнение задает ось ординат $Oy$.
Ответ: ось ординат $Oy$.

б) Уравнение $y = 0$ задает на координатной плоскости $xOy$ множество всех точек, у которых вторая координата (ордината) равна нулю. Первая координата (абсцисса) $x$ может быть при этом любым действительным числом. Например, точки с координатами $(-3, 0)$, $(-1, 0)$, $(0, 0)$, $(4, 0)$ удовлетворяют этому уравнению. Все эти точки лежат на горизонтальной оси координат. Таким образом, это уравнение задает ось абсцисс $Ox$.
Ответ: ось абсцисс $Ox$.

6. Сформулируйте алгоритм построения точки $M(a; b)$ в прямоугольной системе координат $xOy$.

Для построения точки $M(a; b)$ в прямоугольной системе координат $xOy$ необходимо выполнить следующий алгоритм:

1. Построение системы координат. Начертить две взаимно перпендикулярные прямые: горизонтальную ось абсцисс $Ox$ и вертикальную ось ординат $Oy$. Точку их пересечения $O$ принять за начало координат. На каждой оси выбрать единичный отрезок и указать положительное направление (традиционно — вправо для $Ox$ и вверх для $Oy$).

2. Нахождение абсциссы на оси $Ox$. Найти на оси абсцисс $Ox$ точку, соответствующую числовому значению $a$ (абсциссе). Если $a > 0$, отложить от начала координат $O$ в положительном направлении (вправо) отрезок длиной $a$ единиц. Если $a < 0$, отложить в отрицательном направлении (влево) отрезок длиной $|a|$ единиц. Если $a = 0$, то точка совпадает с началом координат $O$.

3. Проведение вертикальной прямой. Через полученную на оси $Ox$ точку с координатой $a$ провести прямую, параллельную оси ординат $Oy$.

4. Нахождение ординаты на оси $Oy$. Найти на оси ординат $Oy$ точку, соответствующую числовому значению $b$ (ординате). Если $b > 0$, отложить от начала координат $O$ в положительном направлении (вверх) отрезок длиной $b$ единиц. Если $b < 0$, отложить в отрицательном направлении (вниз) отрезок длиной $|b|$ единиц. Если $b = 0$, то точка совпадает с началом координат $O$.

5. Проведение горизонтальной прямой. Через полученную на оси $Oy$ точку с координатой $b$ провести прямую, параллельную оси абсцисс $Ox$.

6. Определение искомой точки. Точка пересечения двух построенных прямых (вертикальной из шага 3 и горизонтальной из шага 5) и является искомой точкой $M$ с координатами $(a; b)$. Эту точку следует отметить и подписать.

Ответ: Для построения точки $M(a;b)$ в системе координат $xOy$ нужно найти на оси $Ox$ значение абсциссы $a$ и на оси $Oy$ значение ординаты $b$, а затем провести из этих точек прямые, параллельные осям $Oy$ и $Ox$ соответственно. Точка пересечения этих прямых и будет искомой точкой $M$.

7. Как на координатной плоскости расположены друг относительно друга точки:

Точки $M(a; b)$ и $P(a; -b)$

Точки $M(a; b)$ и $N(-a; b)$

Точки $M(a; b)$ и $K(-a; -b)$

M(a; b) и P(a; -b)
Точки $M(a; b)$ и $P(a; -b)$ имеют одинаковые абсциссы (координата $x$), но противоположные по знаку ординаты (координата $y$). Это означает, что они расположены на одной вертикальной прямой $x=a$ на одинаковом расстоянии от оси абсцисс ($Ox$), но по разные стороны от нее. Такое расположение точек называется симметрией относительно оси абсцисс.
Чтобы убедиться в этом, можно найти середину отрезка $MP$. Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат его концов:
$x_{сер} = \frac{a+a}{2} = a$
$y_{сер} = \frac{b+(-b)}{2} = 0$
Середина отрезка $MP$ — точка с координатами $(a; 0)$, которая лежит на оси $Ox$. Так как отрезок $MP$ перпендикулярен оси $Ox$ и делится ею пополам, точки $M$ и $P$ симметричны относительно оси $Ox$.
Ответ: точки $M(a; b)$ и $P(a; -b)$ симметричны относительно оси абсцисс ($Ox$).

M(a; b) и N(-a; b)
Точки $M(a; b)$ и $N(-a; b)$ имеют одинаковые ординаты (координата $y$), но противоположные по знаку абсциссы (координата $x$). Это означает, что они расположены на одной горизонтальной прямой $y=b$ на одинаковом расстоянии от оси ординат ($Oy$), но по разные стороны от нее. Такое расположение точек называется симметрией относительно оси ординат.
Найдем середину отрезка $MN$:
$x_{сер} = \frac{a+(-a)}{2} = 0$
$y_{сер} = \frac{b+b}{2} = b$
Середина отрезка $MN$ — точка с координатами $(0; b)$, которая лежит на оси $Oy$. Так как отрезок $MN$ перпендикулярен оси $Oy$ и делится ею пополам, точки $M$ и $N$ симметричны относительно оси $Oy$.
Ответ: точки $M(a; b)$ и $N(-a; b)$ симметричны относительно оси ординат ($Oy$).

M(a; b) и K(-a; -b)
У точек $M(a; b)$ и $K(-a; -b)$ противоположны по знаку и абсциссы, и ординаты. Такие точки расположены симметрично относительно начала координат — точки $O(0; 0)$. Это называется центральной симметрией.
Найдем середину отрезка $MK$:
$x_{сер} = \frac{a+(-a)}{2} = 0$
$y_{сер} = \frac{b+(-b)}{2} = 0$
Середина отрезка $MK$ — точка с координатами $(0; 0)$, что и является началом координат. Это подтверждает, что точки $M$ и $K$ лежат на одной прямой, проходящей через начало координат, на равном расстоянии от него, то есть они симметричны относительно начала координат.
Ответ: точки $M(a; b)$ и $K(-a; -b)$ симметричны относительно начала координат.

8.1 Является ли линейным заданное уравнение с двумя переменными:

а) $5x + 3y + 7 = 0$;

б) $6a - 4b - 1 = 0$;

в) $12c - 17d - 3 = 0$;

г) $45t + 4s + 19 = 0$?

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида $ax + by + c = 0$, где $x$ и $y$ — переменные, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю. Проверим каждое из заданных уравнений на соответствие этому определению.

а) Уравнение $5x + 3y + 7 = 0$ является линейным уравнением с двумя переменными $x$ и $y$. Оно полностью соответствует общему виду $ax + by + c = 0$, где коэффициенты равны $a=5$, $b=3$ и $c=7$. Так как коэффициенты при переменных $a$ и $b$ не равны нулю, данное уравнение является линейным.
Ответ: да, является.

б) Уравнение $6a - 4b - 1 = 0$ является линейным уравнением с двумя переменными $a$ и $b$. Оно соответствует общему виду $ax + by + c = 0$, где в роли переменных выступают $a$ и $b$, а коэффициенты равны $a=6$, $b=-4$ и $c=-1$. Коэффициенты при переменных не равны нулю, следовательно, уравнение является линейным.
Ответ: да, является.

в) Уравнение $12c - 17d - 3 = 0$ является линейным уравнением с двумя переменными $c$ и $d$. Оно соответствует общему виду $ax + by + c = 0$, где в роли переменных выступают $c$ и $d$, а коэффициенты равны $a=12$, $b=-17$ и $c=-3$. Коэффициенты при переменных не равны нулю, поэтому уравнение является линейным.
Ответ: да, является.

г) Уравнение $45t + 4s + 19 = 0$ является линейным уравнением с двумя переменными $t$ и $s$. Оно соответствует общему виду $ax + by + c = 0$, где в роли переменных выступают $t$ и $s$, а коэффициенты равны $a=45$, $b=4$ и $c=19$. Коэффициенты при переменных не равны нулю, значит, это уравнение является линейным.
Ответ: да, является.

8.2 Объясните, почему заданное уравнение не является линейным уравнением с двумя переменными:

а) $3x^2 + 5y - 1 = 0$;

б) $8x - 7y^2 + 2 = 0$.

Линейным уравнением с двумя переменными $x$ и $y$ называется уравнение вида $ax + by + c = 0$, где $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю. Важнейшим признаком линейного уравнения является то, что все переменные в нем находятся в первой степени.

а) $3x^2 + 5y - 1 = 0$

Данное уравнение содержит слагаемое $3x^2$, в котором переменная $x$ возведена во вторую степень (в квадрат). Согласно определению, в линейном уравнении переменные могут быть только в первой степени. Наличие члена $x^2$ делает это уравнение нелинейным.

Ответ: Уравнение не является линейным, так как переменная $x$ входит в него во второй степени.

б) $8x - 7y^2 + 2 = 0$

В этом уравнении присутствует слагаемое $-7y^2$, где переменная $y$ находится во второй степени. Это противоречит определению линейного уравнения, в котором все переменные должны быть в первой степени. Следовательно, из-за члена $y^2$ уравнение не является линейным.

Ответ: Уравнение не является линейным, так как переменная $y$ входит в него во второй степени.

8.3 Является ли заданное уравнение с двумя переменными линейным:

а) $ \frac{x}{3} + y - 5 = 0; $

б) $ \frac{3}{x} + y - 5 = 0; $

в) $ \frac{x - y}{2} + 4 = 0; $

г) $ xy + 3 = 0? $

а)

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида $ax + by + c = 0$, где $x$ и $y$ — переменные, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю.

Рассмотрим заданное уравнение $\frac{x}{3} + y - 5 = 0$.

Его можно переписать в виде $\frac{1}{3}x + 1y - 5 = 0$.

В этом уравнении $a = \frac{1}{3}$, $b = 1$, $c = -5$. Все переменные находятся в первой степени. Следовательно, данное уравнение соответствует виду $ax + by + c = 0$ и является линейным.

Ответ: да.

б)

Рассмотрим уравнение $\frac{3}{x} + y - 5 = 0$.

В этом уравнении переменная $x$ находится в знаменателе, что эквивалентно степени $-1$ (выражение $3x^{-1}$). В линейном уравнении переменные должны быть в первой степени. Если мы попытаемся избавиться от знаменателя, умножив обе части уравнения на $x$ (при условии $x \neq 0$), мы получим $3 + xy - 5x = 0$. Это уравнение содержит член $xy$, который является произведением переменных, что не соответствует стандартному виду линейного уравнения.

Следовательно, данное уравнение не является линейным.

Ответ: нет.

в)

Рассмотрим уравнение $\frac{x - y}{2} + 4 = 0$.

Преобразуем его, разделив числитель на знаменатель:
$\frac{x}{2} - \frac{y}{2} + 4 = 0$
Это можно записать как $\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y + 4 = 0$.

Это уравнение соответствует стандартному виду линейного уравнения $ax + by + c = 0$, где $a = \frac{1}{2}$, $b = -\frac{1}{2}$, $c = 4$.

Следовательно, данное уравнение является линейным.

Ответ: да.

г)

Рассмотрим уравнение $xy + 3 = 0$.

Это уравнение содержит член $xy$, который является произведением двух переменных. Такой член не предусмотрен в стандартной форме линейного уравнения $ax + by + c = 0$. В линейном уравнении переменные могут входить только в первой степени и не могут перемножаться друг с другом.

Следовательно, данное уравнение не является линейным.

Ответ: нет.

8.4 Назовите коэффициенты a, b и c с линейного уравнения ($ax + by + c = 0$) с двумя переменными:

a) $x - y + 4 = 0;$

в) $x - 1 - 2y = 0;$

б) $x - 2y = 0;$

г) $\frac{y - x}{3} = 1.$

Общий вид линейного уравнения с двумя переменными: $ax + by + c = 0$, где $a$, $b$ и $c$ — это числовые коэффициенты. Чтобы найти эти коэффициенты для каждого из данных уравнений, необходимо привести их к этому общему виду и сопоставить члены уравнения.

а) $x - y + 4 = 0$

Это уравнение уже представлено в стандартной форме $ax + by + c = 0$.
Сравнивая $x - y + 4 = 0$ с $ax + by + c = 0$, мы видим, что:
- Член с $x$ — это $x$, что можно записать как $1 \cdot x$. Следовательно, $a = 1$.
- Член с $y$ — это $-y$, что можно записать как $-1 \cdot y$. Следовательно, $b = -1$.
- Свободный член (константа) — это $+4$. Следовательно, $c = 4$.

Ответ: $a = 1$, $b = -1$, $c = 4$.

б) $x - 2y = 0$

Это уравнение также представлено в стандартной форме, где свободный член $c$ равен нулю.
Сравнивая $x - 2y + 0 = 0$ с $ax + by + c = 0$, мы видим, что:
- Член с $x$ — это $x$, что равно $1 \cdot x$. Следовательно, $a = 1$.
- Член с $y$ — это $-2y$. Следовательно, $b = -2$.
- Свободный член отсутствует, что означает, что он равен 0. Следовательно, $c = 0$.

Ответ: $a = 1$, $b = -2$, $c = 0$.

в) $x - 1 - 2y = 0$

Для сопоставления с общим видом $ax + by + c = 0$ необходимо переставить члены уравнения.
Исходное уравнение: $x - 1 - 2y = 0$.
Приведем к стандартному виду, сгруппировав переменные: $x - 2y - 1 = 0$.
Теперь сравним с $ax + by + c = 0$:
- Коэффициент при $x$ равен 1, значит $a = 1$.
- Коэффициент при $y$ равен -2, значит $b = -2$.
- Свободный член равен -1, значит $c = -1$.

Ответ: $a = 1$, $b = -2$, $c = -1$.

г) $\frac{y - x}{3} = 1$

Это уравнение нужно преобразовать к стандартному виду $ax + by + c = 0$.
1. Избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на 3:
$y - x = 1 \cdot 3$
$y - x = 3$
2. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы справа остался 0. Перенесем 3 влево:
$y - x - 3 = 0$
3. Расположим члены в стандартном порядке ($x$, затем $y$, затем константа):
$-x + y - 3 = 0$
4. Теперь сравним полученное уравнение с общим видом $ax + by + c = 0$:
- Коэффициент при $x$ равен -1, значит $a = -1$.
- Коэффициент при $y$ равен 1, значит $b = 1$.
- Свободный член равен -3, значит $c = -3$.
(Примечание: уравнение можно также записать как $x - y + 3 = 0$, умножив на -1. Тогда коэффициенты будут $a=1, b=-1, c=3$. Оба набора коэффициентов верны, так как описывают одну и ту же прямую.)

Ответ: $a = -1$, $b = 1$, $c = -3$.

8.5 Является ли решением уравнения $5x + 2y - 12 = 0$ пара чисел:

а) (3; 2);

б) (1; 3,5);

в) (12; 5);

г) (4; -4)?

Чтобы проверить, является ли пара чисел решением уравнения, необходимо подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в исходное уравнение $5x + 2y - 12 = 0$. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство (то есть $0 = 0$), то пара является решением.

а)

Проверяем пару чисел $(3; 2)$. Подставляем $x = 3$ и $y = 2$ в уравнение:

$5 \cdot 3 + 2 \cdot 2 - 12 = 15 + 4 - 12 = 7$

Полученное значение не равно нулю ($7 \neq 0$), следовательно, пара чисел $(3; 2)$ не является решением уравнения.

Ответ: не является.

б)

Проверяем пару чисел $(1; 3,5)$. Подставляем $x = 1$ и $y = 3,5$ в уравнение:

$5 \cdot 1 + 2 \cdot 3,5 - 12 = 5 + 7 - 12 = 0$

Получилось верное равенство ($0 = 0$), следовательно, пара чисел $(1; 3,5)$ является решением уравнения.

Ответ: является.

в)

Проверяем пару чисел $(12; 5)$. Подставляем $x = 12$ и $y = 5$ в уравнение:

$5 \cdot 12 + 2 \cdot 5 - 12 = 60 + 10 - 12 = 58$

Полученное значение не равно нулю ($58 \neq 0$), следовательно, пара чисел $(12; 5)$ не является решением уравнения.

Ответ: не является.

г)

Проверяем пару чисел $(4; -4)$. Подставляем $x = 4$ и $y = -4$ в уравнение:

$5 \cdot 4 + 2 \cdot (-4) - 12 = 20 - 8 - 12 = 0$

Получилось верное равенство ($0 = 0$), следовательно, пара чисел $(4; -4)$ является решением уравнения.

Ответ: является.

8.6 Является ли решением уравнения $7a - 5b - 3 = 0$ пара чисел:

a) (2; 8);

б) (1; $\frac{4}{5}$);

в) (15; 1);

г) (8; 10,6)?

Для того чтобы проверить, является ли пара чисел $(a; b)$ решением уравнения $7a - 5b - 3 = 0$, необходимо подставить значения $a$ и $b$ из каждой пары в уравнение и проверить, выполняется ли равенство.

а) (2; 8)

Подставим $a = 2$ и $b = 8$ в левую часть уравнения:

$7 \cdot 2 - 5 \cdot 8 - 3 = 14 - 40 - 3 = -29$

Поскольку $-29 \neq 0$, пара чисел $(2; 8)$ не является решением уравнения.

Ответ: не является.

б) $(1; \frac{4}{5})$

Подставим $a = 1$ и $b = \frac{4}{5}$ в левую часть уравнения:

$7 \cdot 1 - 5 \cdot \frac{4}{5} - 3 = 7 - \frac{5 \cdot 4}{5} - 3 = 7 - 4 - 3 = 0$

Поскольку $0 = 0$, пара чисел $(1; \frac{4}{5})$ является решением уравнения.

Ответ: является.

в) (15; 1)

Подставим $a = 15$ и $b = 1$ в левую часть уравнения:

$7 \cdot 15 - 5 \cdot 1 - 3 = 105 - 5 - 3 = 97$

Поскольку $97 \neq 0$, пара чисел $(15; 1)$ не является решением уравнения.

Ответ: не является.

г) (8; 10,6)

Подставим $a = 8$ и $b = 10,6$ в левую часть уравнения:

$7 \cdot 8 - 5 \cdot 10,6 - 3 = 56 - 53 - 3 = 0$

Поскольку $0 = 0$, пара чисел $(8; 10,6)$ является решением уравнения.

Ответ: является.

8.7 a) Какая из пар чисел (6; 2), (0; 20), (4; 8), (6; 5) является решением уравнения $3x + y = 20$?

б) Какая из пар чисел (2; 0), (1; 1), (2,5; 2,5), (7; 8) является решением уравнения $5x - y = 10$?

а) Чтобы определить, какая из предложенных пар чисел является решением уравнения $3x + y = 20$, необходимо последовательно подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в уравнение и проверить, выполняется ли равенство.

1. Для пары $(6; 2)$ имеем $x=6$ и $y=2$.
Подставляем в уравнение: $3 \cdot 6 + 2 = 18 + 2 = 20$.
Получаем $20 = 20$. Равенство верное, следовательно, пара $(6; 2)$ является решением.

2. Для пары $(0; 20)$ имеем $x=0$ и $y=20$.
Подставляем в уравнение: $3 \cdot 0 + 20 = 0 + 20 = 20$.
Получаем $20 = 20$. Равенство верное, следовательно, пара $(0; 20)$ является решением.

3. Для пары $(4; 8)$ имеем $x=4$ и $y=8$.
Подставляем в уравнение: $3 \cdot 4 + 8 = 12 + 8 = 20$.
Получаем $20 = 20$. Равенство верное, следовательно, пара $(4; 8)$ является решением.

4. Для пары $(6; 5)$ имеем $x=6$ и $y=5$.
Подставляем в уравнение: $3 \cdot 6 + 5 = 18 + 5 = 23$.
Получаем $23 \neq 20$. Равенство неверное, следовательно, пара $(6; 5)$ не является решением.

Ответ: решением уравнения являются пары чисел $(6; 2)$, $(0; 20)$ и $(4; 8)$.

б) Чтобы определить, какая из предложенных пар чисел является решением уравнения $5x - y = 10$, необходимо также подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в данное уравнение.

1. Для пары $(2; 0)$ имеем $x=2$ и $y=0$.
Подставляем в уравнение: $5 \cdot 2 - 0 = 10 - 0 = 10$.
Получаем $10 = 10$. Равенство верное, следовательно, пара $(2; 0)$ является решением.

2. Для пары $(1; 1)$ имеем $x=1$ и $y=1$.
Подставляем в уравнение: $5 \cdot 1 - 1 = 5 - 1 = 4$.
Получаем $4 \neq 10$. Равенство неверное, следовательно, пара $(1; 1)$ не является решением.

3. Для пары $(2,5; 2,5)$ имеем $x=2,5$ и $y=2,5$.
Подставляем в уравнение: $5 \cdot 2,5 - 2,5 = 12,5 - 2,5 = 10$.
Получаем $10 = 10$. Равенство верное, следовательно, пара $(2,5; 2,5)$ является решением.

4. Для пары $(7; 8)$ имеем $x=7$ и $y=8$.
Подставляем в уравнение: $5 \cdot 7 - 8 = 35 - 8 = 27$.
Получаем $27 \neq 10$. Равенство неверное, следовательно, пара $(7; 8)$ не является решением.

Ответ: решением уравнения являются пары чисел $(2; 0)$ и $(2,5; 2,5)$.