Номер 7, страница 42, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

7. Как на координатной плоскости расположены друг относительно друга точки:

Точки $M(a; b)$ и $P(a; -b)$

Точки $M(a; b)$ и $N(-a; b)$

Точки $M(a; b)$ и $K(-a; -b)$

M(a; b) и P(a; -b)
Точки $M(a; b)$ и $P(a; -b)$ имеют одинаковые абсциссы (координата $x$), но противоположные по знаку ординаты (координата $y$). Это означает, что они расположены на одной вертикальной прямой $x=a$ на одинаковом расстоянии от оси абсцисс ($Ox$), но по разные стороны от нее. Такое расположение точек называется симметрией относительно оси абсцисс.
Чтобы убедиться в этом, можно найти середину отрезка $MP$. Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат его концов:
$x_{сер} = \frac{a+a}{2} = a$
$y_{сер} = \frac{b+(-b)}{2} = 0$
Середина отрезка $MP$ — точка с координатами $(a; 0)$, которая лежит на оси $Ox$. Так как отрезок $MP$ перпендикулярен оси $Ox$ и делится ею пополам, точки $M$ и $P$ симметричны относительно оси $Ox$.
Ответ: точки $M(a; b)$ и $P(a; -b)$ симметричны относительно оси абсцисс ($Ox$).

M(a; b) и N(-a; b)
Точки $M(a; b)$ и $N(-a; b)$ имеют одинаковые ординаты (координата $y$), но противоположные по знаку абсциссы (координата $x$). Это означает, что они расположены на одной горизонтальной прямой $y=b$ на одинаковом расстоянии от оси ординат ($Oy$), но по разные стороны от нее. Такое расположение точек называется симметрией относительно оси ординат.
Найдем середину отрезка $MN$:
$x_{сер} = \frac{a+(-a)}{2} = 0$
$y_{сер} = \frac{b+b}{2} = b$
Середина отрезка $MN$ — точка с координатами $(0; b)$, которая лежит на оси $Oy$. Так как отрезок $MN$ перпендикулярен оси $Oy$ и делится ею пополам, точки $M$ и $N$ симметричны относительно оси $Oy$.
Ответ: точки $M(a; b)$ и $N(-a; b)$ симметричны относительно оси ординат ($Oy$).

M(a; b) и K(-a; -b)
У точек $M(a; b)$ и $K(-a; -b)$ противоположны по знаку и абсциссы, и ординаты. Такие точки расположены симметрично относительно начала координат — точки $O(0; 0)$. Это называется центральной симметрией.
Найдем середину отрезка $MK$:
$x_{сер} = \frac{a+(-a)}{2} = 0$
$y_{сер} = \frac{b+(-b)}{2} = 0$
Середина отрезка $MK$ — точка с координатами $(0; 0)$, что и является началом координат. Это подтверждает, что точки $M$ и $K$ лежат на одной прямой, проходящей через начало координат, на равном расстоянии от него, то есть они симметричны относительно начала координат.
Ответ: точки $M(a; b)$ и $K(-a; -b)$ симметричны относительно начала координат.