Номер 7, страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

7. Как построить график линейного уравнения с двумя переменными, у которого оба коэффициента при переменных отличны от нуля? Сколько точек для этого достаточно взять?

Графиком линейного уравнения с двумя переменными $x$ и $y$ вида $ax + by + c = 0$, у которого оба коэффициента при переменных отличны от нуля ($a \neq 0$ и $b \neq 0$), является прямая линия. Для построения графика этой прямой необходимо найти координаты как минимум двух точек, которые удовлетворяют данному уравнению.

Как построить график линейного уравнения с двумя переменными, у которого оба коэффициента при переменных отличны от нуля?

Алгоритм построения графика следующий:

1. Найти координаты двух различных точек, принадлежащих графику. Для этого нужно:
   • Взять произвольное значение для одной из переменных (например, $x_1$).
   • Подставить это значение в исходное уравнение и решить его относительно второй переменной (найти $y_1$). Получится пара чисел $(x_1, y_1)$ — это координаты первой точки.
   • Аналогично найти координаты второй точки $(x_2, y_2)$, взяв другое значение для первой переменной ($x_2 \neq x_1$).
   Часто для удобства в качестве значений для одной из переменных выбирают $0$. Это позволяет легко найти точки пересечения прямой с осями координат.
2. Отметить найденные две точки на координатной плоскости.
3. С помощью линейки провести через эти две точки прямую. Эта прямая и будет являться искомым графиком.

Пример: Построим график уравнения $3x - 2y - 6 = 0$.

1. Найдем первую точку. Пусть $x = 0$. Подставляем в уравнение: $3(0) - 2y - 6 = 0$, откуда $-2y = 6$ и $y = -3$. Первая точка имеет координаты $(0, -3)$.
2. Найдем вторую точку. Пусть $y = 0$. Подставляем в уравнение: $3x - 2(0) - 6 = 0$, откуда $3x = 6$ и $x = 2$. Вторая точка имеет координаты $(2, 0)$.
3. Отмечаем точки $(0, -3)$ и $(2, 0)$ на системе координат и проводим через них прямую.

Ответ: Чтобы построить график, нужно найти координаты двух точек, удовлетворяющих уравнению, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую линию.

Сколько точек для этого достаточно взять?

Из основной аксиомы геометрии известно, что через две различные точки на плоскости проходит единственная прямая. Поскольку графиком линейного уравнения с двумя переменными (при $a \neq 0$ и $b \neq 0$) является прямая, для ее построения достаточно знать координаты всего лишь двух точек.

Для большей надежности и проверки правильности вычислений можно найти и третью, контрольную точку. Если она лежит на той же прямой, что и первые две, то построение, скорее всего, выполнено верно.

Ответ: Для построения графика достаточно взять две точки.