Номер 5, страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Вопросы для самопроверки. Параграф 8. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Глава 2. Линейная функция. Часть 1 - номер 5, страница 49.

Условие.

5. Может ли линейное уравнение с двумя переменными иметь конечное множество решений; бесконечное множество решений? Если да, то приведите пример.

Решение 1.

Решение 8.

конечное множество решений Да, линейное уравнение с двумя переменными может иметь конечное множество решений. Рассмотрим общий вид такого уравнения: $ax + by = c$, где $x$ и $y$ – переменные, а $a$, $b$ и $c$ – некоторые числа (коэффициенты). Конечное число решений, а именно, ноль решений, возникает в вырожденном случае, когда оба коэффициента при переменных равны нулю ($a=0$ и $b=0$), а свободный член не равен нулю ($c \neq 0$). В этом случае уравнение принимает вид $0 \cdot x + 0 \cdot y = c$, что упрощается до $0 = c$. Если $c$ – любое число, не равное нулю, то это равенство является ложным при любых значениях $x$ и $y$. Следовательно, у такого уравнения нет решений. Множество решений пустое, а количество решений равно нулю, что является конечным числом. Например, уравнение $0x + 0y = 5$ приводится к неверному равенству $0=5$ и не имеет ни одного решения. Ответ: Да, может. Например, уравнение $0x + 0y = 5$ не имеет решений, то есть множество его решений конечно (состоит из 0 элементов).

бесконечное множество решений Да, линейное уравнение с двумя переменными может иметь бесконечное множество решений. Это наиболее распространенный случай. Если хотя бы один из коэффициентов при переменных ($a$ или $b$) не равен нулю, то уравнение $ax + by = c$ имеет бесконечно много решений. Графиком такого уравнения на координатной плоскости является прямая линия. Каждая точка этой прямой представляет собой пару чисел $(x, y)$, которая является решением уравнения. Поскольку любая прямая состоит из бесконечного множества точек, то и уравнение имеет бесконечное множество решений. Также бесконечное множество решений имеет вырожденное уравнение вида $0x + 0y = 0$, поскольку равенство $0=0$ верно для абсолютно любых значений $x$ и $y$. Например, рассмотрим уравнение $x + y = 3$. Мы можем выразить одну переменную через другую: $y = 3 - x$. Теперь, выбирая любое значение для $x$, мы можем найти соответствующее значение $y$. К примеру: если $x=1$, то $y=2$ (решение (1, 2)); если $x=5$, то $y=-2$ (решение (5, -2)); если $x=0$, то $y=3$ (решение (0, 3)), и так далее до бесконечности. Ответ: Да, может. Например, уравнение $x + y = 3$ имеет бесконечное множество решений.