Номер 5, страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

5. Дана линейная функция $y = kx + m$, $x \in X$, где $X$ — некоторый числовой промежуток. Что такое $y_{наим}$, $y_{наиб}$?

$y_{наим}$ — это наименьшее значение, а $y_{наиб}$ — это наибольшее значение, которое принимает линейная функция $y = kx + m$ на заданном числовом промежутке $X$.

Линейная функция является монотонной на всей своей области определения. Это означает, что она либо постоянно возрастает, либо постоянно убывает, либо является постоянной. Характер монотонности определяется знаком углового коэффициента $k$. Наименьшее и наибольшее значения линейная функция на числовом промежутке (если они существуют) всегда принимает на его концах.

Рассмотрим основные случаи, предполагая, что промежуток $X$ является отрезком $[a, b]$, где $a$ — его левая граница, а $b$ — правая.

1. Если $k > 0$ (функция возрастающая)

Если функция возрастает, то большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Следовательно, наименьшее значение функция примет в левой границе промежутка, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(a) = ka + m$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(b) = kb + m$.

2. Если $k < 0$ (функция убывающая)

Если функция убывает, то большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$. В этом случае всё наоборот: наименьшее значение функция примет в правой границе промежутка, а наибольшее — в левой.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(b) = kb + m$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(a) = ka + m$.

3. Если $k = 0$ (функция постоянная)

Если $k = 0$, то уравнение функции принимает вид $y = m$. Это означает, что для любого значения $x$ из промежутка $X$ значение функции $y$ будет одним и тем же и равным $m$.

В этом случае наименьшее и наибольшее значения функции совпадают: $y_{наим} = y_{наиб} = m$.

Примечание: Если промежуток $X$ является интервалом (например, $(a, b)$) или полуинтервалом (например, $[a, b)$), или бесконечным промежутком (например, $[a, +\infty)$), то одно или оба из значений ($y_{наим}$, $y_{наиб}$) могут не существовать. Функция будет стремиться к значениям на "открытых" концах промежутка, но никогда их не достигнет.

Ответ: $y_{наим}$ и $y_{наиб}$ — это наименьшее и наибольшее значения линейной функции на промежутке $X$, которые, как правило, достигаются на концах этого промежутка. Для их нахождения нужно проанализировать знак коэффициента $k$:

• При $k > 0$ (возрастающая функция), $y_{наим}$ достигается на левом конце промежутка, а $y_{наиб}$ — на правом.
• При $k < 0$ (убывающая функция), $y_{наим}$ достигается на правом конце промежутка, а $y_{наиб}$ — на левом.
• При $k = 0$ (постоянная функция), $y_{наим} = y_{наиб} = m$ для любого $x$ из промежутка.