Номер 7, страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

7. Как с помощью графика линейной функции $y = kx + m$, где $k \neq 0$, решить:

а) уравнение $kx + m = 0$;

б) неравенство $kx + m > 0$;

в) неравенство $kx + m \leq 0$?

Для решения уравнения и неравенств с помощью графика линейной функции $y = kx + m$ (где $k \ne 0$) используется геометрический смысл этих выражений. График функции представляет собой прямую линию, не параллельную оси абсцисс.

Решить уравнение $kx + m = 0$ графическим способом означает найти такое значение $x$, при котором значение функции $y = kx + m$ равно нулю.

Алгоритм решения:

1. Построить в системе координат график линейной функции $y = kx + m$.
2. Найти точку пересечения этого графика с осью абсцисс ($Ox$). В любой точке на этой оси ордината $y$ равна нулю.
3. Абсцисса (координата $x$) найденной точки пересечения является корнем уравнения $kx + m = 0$.

Если прямая пересекает ось $Ox$ в точке с координатами $(x_0, 0)$, то решением уравнения будет $x = x_0$.

Ответ: решением уравнения $kx + m = 0$ является абсцисса точки пересечения графика функции $y = kx + m$ с осью $Ox$.

Решить неравенство $kx + m > 0$ графически означает найти все значения $x$, для которых соответствующее значение функции $y = kx + m$ положительно, то есть $y > 0$.

Алгоритм решения:

1. Построить график функции $y = kx + m$.
2. Найти точку пересечения графика с осью $Ox$. Пусть абсцисса этой точки равна $x_0$.
3. Определить промежуток оси $x$, для которого точки на графике функции лежат выше оси $Ox$. Этот промежуток и будет решением неравенства.

Результат зависит от знака углового коэффициента $k$:

• Если $k > 0$ (функция возрастает), то график находится выше оси $Ox$ для всех $x$ правее точки $x_0$. Решение: $x > x_0$, или $x \in (x_0, +\infty)$.
• Если $k < 0$ (функция убывает), то график находится выше оси $Ox$ для всех $x$ левее точки $x_0$. Решение: $x < x_0$, или $x \in (-\infty, x_0)$.

Ответ: решением неравенства $kx + m > 0$ является множество всех значений $x$, для которых соответствующие точки графика функции $y = kx + m$ расположены выше оси абсцисс.

Решить неравенство $kx + m \le 0$ графически означает найти все значения $x$, для которых соответствующее значение функции $y = kx + m$ неположительно, то есть $y \le 0$.

Алгоритм решения:

1. Построить график функции $y = kx + m$.
2. Найти абсциссу $x_0$ точки пересечения графика с осью $Ox$.
3. Определить промежуток оси $x$, для которого точки на графике функции лежат на оси $Ox$ или ниже нее. Этот промежуток, включая точку $x_0$, является решением неравенства.

Результат также зависит от знака $k$:

• Если $k > 0$ (функция возрастает), то график находится на оси или ниже ее для всех $x$ левее точки $x_0$ и в самой точке $x_0$. Решение: $x \le x_0$, или $x \in (-\infty, x_0]$.
• Если $k < 0$ (функция убывает), то график находится на оси или ниже ее для всех $x$ правее точки $x_0$ и в самой точке $x_0$. Решение: $x \ge x_0$, или $x \in [x_0, +\infty)$.

Ответ: решением неравенства $kx + m \le 0$ является множество всех значений $x$, для которых соответствующие точки графика функции $y = kx + m$ расположены на оси абсцисс или ниже нее.