Номер 6, страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

6. Дано: $y = 2x + 3$, $x \in [0; +\infty)$. Найдите, если возможно, $y_{\text{наим}}$, $y_{\text{наиб}}$. Что изменится, если $x \in (0; +\infty)$? если $x \in (-\infty; 0]$? если $x \in (-\infty; 0)$?

Данная функция $y = 2x + 3$ является линейной. Её угловой коэффициент $k=2$ положителен, следовательно, функция строго возрастает на всей числовой оси. Это означает, что чем больше значение аргумента $x$, тем больше значение функции $y$. Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданных промежутках необходимо исследовать её поведение на границах этих промежутков.

При $x \in [0; +\infty)$

На данном промежутке наименьшее значение аргумента $x$ равно 0. Поскольку функция возрастающая, её наименьшее значение ($y_{наим}$) будет достигаться в этой точке:

$y_{наим} = 2 \cdot 0 + 3 = 3$.

Правая граница промежутка уходит в бесконечность ($x \to +\infty$), поэтому значение функции $y$ также неограниченно возрастает. Следовательно, наибольшее значение функции ($y_{наиб}$) на этом промежутке не существует.

Ответ: $y_{наим} = 3$, $y_{наиб}$ не существует.

Если $x \in (0; +\infty)$

В этом случае промежуток является открытым слева, то есть левая граница $x=0$ не включается. Аргумент $x$ может принимать значения, сколь угодно близкие к нулю, но всегда оставаясь больше нуля ($x > 0$). Соответственно, значение функции $y = 2x+3$ будет стремиться к 3, но всегда будет строго больше 3 ($y \to 3^+$). Это означает, что наименьшее значение на данном промежутке не достигается. Наибольшее значение по-прежнему не существует, так как $x \to +\infty$.

Ответ: $y_{наим}$ не существует, $y_{наиб}$ не существует.

Если $x \in (-\infty; 0]$

На этом промежутке наибольшее значение аргумента $x$ равно 0. Поскольку функция возрастающая, её наибольшее значение ($y_{наиб}$) будет достигаться в этой точке:

$y_{наиб} = 2 \cdot 0 + 3 = 3$.

Левая граница промежутка уходит в минус бесконечность ($x \to -\infty$), поэтому значение функции $y$ также неограниченно убывает. Следовательно, наименьшее значение функции на этом промежутке не существует.

Ответ: $y_{наим}$ не существует, $y_{наиб} = 3$.

Если $x \in (-\infty; 0)$

В этом случае промежуток является открытым справа, то есть правая граница $x=0$ не включается. Аргумент $x$ может принимать значения, сколь угодно близкие к нулю с отрицательной стороны, но никогда его не достигает ($x < 0$). Соответственно, значение функции $y = 2x+3$ будет стремиться к 3, но всегда будет строго меньше 3 ($y \to 3^-$). Это означает, что наибольшее значение на данном промежутке не достигается. Наименьшее значение также не существует, так как $x \to -\infty$.

Ответ: $y_{наим}$ не существует, $y_{наиб}$ не существует.