Номер 2, страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Вопросы для самопроверки. Параграф 10. Линейная функция y=kx. Глава 2. Линейная функция. Часть 1 - номер 2, страница 63.

Условие.

2. Почему в уравнении $y = kx$ коэффициент $k$ называют угловым?

Решение 1.

Решение 8.

Коэффициент $k$ в уравнении прямой $y = kx$ (а также в более общем виде $y = kx + b$) называется угловым, потому что его значение напрямую определяет угол наклона этой прямой по отношению к положительному направлению оси абсцисс (оси $Ox$).

Давайте рассмотрим это наглядно.

Уравнение $y = kx$ описывает прямую, которая проходит через начало координат, то есть точку $O(0, 0)$. Возьмем на этой прямой любую другую точку $A$ с координатами $(x_A, y_A)$, где $x_A \neq 0$. Поскольку точка $A$ лежит на прямой, ее координаты удовлетворяют уравнению:

$y_A = kx_A$

Из этого соотношения мы можем выразить коэффициент $k$:

$k = \frac{y_A}{x_A}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой начала координат $O(0, 0)$, нашей точкой $A(x_A, y_A)$ и ее проекцией на ось $Ox$ — точкой $B(x_A, 0)$. В этом треугольнике (для случая, когда точка $A$ находится в первой координатной четверти) катет $OB$, прилежащий к углу наклона, имеет длину $x_A$, а катет $AB$, противолежащий этому углу, имеет длину $y_A$.

Пусть $\alpha$ — это угол, который образует наша прямая с положительным направлением оси $Ox$. Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике мы знаем, что это отношение противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AB}{OB} = \frac{y_A}{x_A}$

Сравнивая два выражения, которые мы получили для дроби $\frac{y_A}{x_A}$, приходим к ключевому выводу:

$k = \tan(\alpha)$

Это означает, что коэффициент $k$ численно равен тангенсу угла наклона прямой. Именно эта прямая геометрическая связь с углом и послужила причиной для названия «угловой коэффициент».

• Если $k > 0$, то $\tan(\alpha) > 0$, угол $\alpha$ — острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), и график функции возрастает.
• Если $k < 0$, то $\tan(\alpha) < 0$, угол $\alpha$ — тупой ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), и график функции убывает.
• Если $k = 0$, то $\tan(\alpha) = 0$, угол $\alpha = 0^\circ$, и прямая горизонтальна (в случае $y=kx$ она совпадает с осью $Ox$).

Ответ: Коэффициент $k$ в уравнении прямой $y = kx$ называют угловым, потому что его значение равно тангенсу угла, который эта прямая образует с положительным направлением оси $Ox$.