Номер 1, страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

1. Что представляет собой график линейной функции $y = kx$ и как его построить?

Что представляет собой график линейной функции y = kx

Линейная функция вида $y = kx$ является частным случаем более общей линейной функции $y = kx + b$, где свободный член $b=0$. Такая зависимость переменной $y$ от $x$ называется прямой пропорциональностью.

Графиком функции $y = kx$, как и любой другой линейной функции, является прямая линия.

Важнейшей особенностью графика функции $y = kx$ является то, что он всегда проходит через начало координат, то есть точку с координатами $(0, 0)$. Это следует из самого уравнения: при подстановке $x=0$ мы всегда получаем $y = k \cdot 0 = 0$, независимо от значения коэффициента $k$.

Коэффициент $k$ в уравнении $y = kx$ называется угловым коэффициентом. Он характеризует угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс (оси $Ox$) и определяет ее расположение в координатной плоскости:
• Если $k > 0$, то прямая расположена в I и III координатных четвертях. Угол наклона прямой к оси $Ox$ — острый. Функция является возрастающей (с увеличением $x$ увеличивается и $y$).
• Если $k < 0$, то прямая расположена во II и IV координатных четвертях. Угол наклона прямой к оси $Ox$ — тупой. Функция является убывающей (с увеличением $x$ значение $y$ уменьшается).
• Если $k = 0$, то уравнение принимает вид $y = 0$. В этом случае графиком является прямая, которая совпадает с осью абсцисс ($Ox$).

Ответ: График линейной функции $y = kx$ — это прямая линия, которая всегда проходит через начало координат. Угловой коэффициент $k$ определяет наклон этой прямой и ее расположение в координатных четвертях.

Как его построить?

Для построения прямой линии на плоскости достаточно знать координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой. Поскольку мы уже установили, что одна точка графика функции $y = kx$ всегда известна — это начало координат $(0, 0)$, — для построения графика нам нужно найти координаты еще всего одной точки.

Алгоритм построения графика следующий:
1. Взять любую точку, не совпадающую с началом координат. Для этого нужно выбрать произвольное значение аргумента $x$, не равное нулю. Для простоты вычислений часто выбирают $x=1$.
2. Подставить это значение $x$ в уравнение функции $y = kx$ и вычислить соответствующее значение $y$. Таким образом, мы найдем координаты второй точки $(x_1, y_1)$.
3. Отметить на координатной плоскости две точки: начало координат $(0, 0)$ и найденную точку $(x_1, y_1)$.
4. С помощью линейки провести прямую через эти две точки. Полученная прямая и есть график функции $y = kx$.

Пример: Построим график функции $y = 2x$.
1. Первая точка известна: $(0, 0)$.
2. Найдем вторую точку. Возьмем, к примеру, $x = 3$.
3. Вычислим соответствующее значение $y$: $y = 2 \cdot 3 = 6$. Таким образом, вторая точка имеет координаты $(3, 6)$.
4. Отмечаем на координатной плоскости точки $(0, 0)$ и $(3, 6)$ и проводим через них прямую линию. Это и будет график функции $y = 2x$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = kx$, нужно найти координаты еще одной точки (кроме начала координат), для чего задать произвольное ненулевое значение $x$ и вычислить соответствующий $y$. После этого следует провести прямую через эту точку и начало координат $(0, 0)$.