Страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Что такое линейная функция?

1. Что такое линейная функция?

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые действительные числа (коэффициенты).

Графиком линейной функции всегда является прямая линия. Положение и наклон этой прямой определяются коэффициентами $k$ и $b$.

Коэффициент $k$ — угловой коэффициент. Он отвечает за наклон прямой:
- если $k > 0$, функция возрастает (прямая направлена вверх);
- если $k < 0$, функция убывает (прямая направлена вниз);
- если $k = 0$, функция постоянна и имеет вид $y = b$. Ее график — прямая, параллельная оси абсцисс ($Ox$).

Коэффициент $b$ — свободный член. Он показывает точку пересечения графика с осью ординат ($Oy$). Эта точка имеет координаты $(0; b)$.

Частные случаи линейной функции:
1. Прямая пропорциональность — это линейная функция, у которой $b = 0$. Ее формула: $y = kx$. График такой функции всегда проходит через начало координат, точку $(0; 0)$.
2. Постоянная функция — это линейная функция, у которой $k = 0$. Ее формула: $y = b$. График — горизонтальная прямая.

Свойства:
- Область определения (все допустимые $x$): $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений (все получаемые $y$): $E(y) = (-\infty; +\infty)$, если $k \neq 0$. Если $k = 0$, то область значений состоит из одного числа $b$.

Ответ: Линейная функция — это функция, задаваемая уравнением $y = kx + b$, где $x$ является независимой переменной, а $k$ и $b$ — постоянными коэффициентами. Графиком такой функции является прямая линия.

2. Что является графиком линейной функции?

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые заданные числа (коэффициенты).

Графиком любой линейной функции является прямая линия. Положение этой прямой на координатной плоскости полностью определяется значениями коэффициентов $k$ и $b$.

Коэффициент k называется угловым коэффициентом. Он отвечает за угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс (оси Ox).
- Если $k > 0$, то функция является возрастающей, и прямая образует острый угол с положительным направлением оси Ox.
- Если $k < 0$, то функция является убывающей, и прямая образует тупой угол с положительным направлением оси Ox.
- Если $k = 0$, то формула принимает вид $y = b$. Графиком в этом случае является прямая, параллельная оси Ox.

Коэффициент b (или свободный член) показывает точку пересечения графика с осью ординат (осью Oy). Координаты этой точки — $(0, b)$.

Существуют важные частные случаи линейной функции:
- Прямая пропорциональность: при $b = 0$ функция имеет вид $y = kx$. Её график — это прямая, которая обязательно проходит через начало координат, то есть точку $(0, 0)$.
- Постоянная функция: при $k = 0$ функция имеет вид $y = b$. Её график — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, b)$.

Поскольку графиком является прямая, для его построения достаточно найти координаты всего двух точек. Например, для функции $y = 2x + 1$:
1. Возьмем $x = 0$, тогда $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Получили точку $(0, 1)$.
2. Возьмем $x = 2$, тогда $y = 2 \cdot 2 + 1 = 5$. Получили точку $(2, 5)$.
Отметив эти две точки на плоскости и соединив их прямой, мы получим искомый график.

Ответ: Графиком линейной функции является прямая линия.

3. Сколько точек достаточно взять для построения графика линейной функции?

3. Линейная функция задается уравнением вида $y = kx + b$. Графиком линейной функции является прямая линия. Из основного постулата геометрии (аксиомы Евклида) известно, что через любые две различные точки на плоскости можно провести прямую, и притом только одну. Следовательно, для построения графика линейной функции достаточно найти координаты всего двух точек, принадлежащих этому графику. Для этого выбирают два произвольных значения аргумента $x$ (например, $x_1$ и $x_2$), подставляют их в уравнение функции и вычисляют соответствующие значения функции $y_1$ и $y_2$. Получив две точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, их отмечают на координатной плоскости и проводят через них прямую. Хотя двух точек достаточно, на практике для большей надежности и для проверки правильности вычислений иногда находят третью, контрольную точку. Если она также лежит на прямой, проведенной через первые две, то построение выполнено верно. Однако минимально необходимое и достаточное количество точек — это две. Ответ: 2.

4. Опишите процесс построения графика линейной функции $y = 2x + 3$, где $x \in [0; 2]$. Что изменится, если $x \in (0; 2)$?

Процесс построения графика линейной функции $y=2x+3$, где $x \in [0; 2]$

Функция $y = 2x + 3$ является линейной, следовательно, её график — это прямая линия. Так как область определения ограничена отрезком $x \in [0; 2]$, то графиком функции будет не бесконечная прямая, а только отрезок этой прямой.

Для построения отрезка необходимо найти координаты его концов. Для этого подставим в уравнение функции граничные значения $x$ из заданного отрезка.

1. Вычислим значение $y$ при $x = 0$ (левая граница отрезка):
$y(0) = 2 \cdot 0 + 3 = 3$.
Получаем первую точку с координатами $(0, 3)$.

2. Вычислим значение $y$ при $x = 2$ (правая граница отрезка):
$y(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$.
Получаем вторую точку с координатами $(2, 7)$.

3. Построение: на координатной плоскости отмечаем точки $(0, 3)$ и $(2, 7)$ и соединяем их отрезком прямой. Поскольку промежуток $[0; 2]$ является замкнутым (квадратные скобки), он включает свои концы. Это означает, что точки $(0, 3)$ и $(2, 7)$ принадлежат графику, и на чертеже они обозначаются закрашенными (сплошными) кружками.

Ответ: Процесс построения заключается в нахождении координат двух точек, соответствующих концам отрезка $[0; 2]$: $(0, 3)$ и $(2, 7)$. Затем эти точки отмечаются на координатной плоскости и соединяются отрезком прямой. Концевые точки отрезка являются частью графика.

Что изменится, если $x \in (0; 2)$

Если область определения функции изменяется на интервал $x \in (0; 2)$, это означает, что граничные значения $x=0$ и $x=2$ больше не включаются в область определения (используются строгие неравенства $0 < x < 2$).

Это изменение повлияет на конечные точки графика. Сам график по-прежнему будет представлять собой ту же часть прямой, но точки $(0, 3)$ и $(2, 7)$ больше не будут ему принадлежать.

При построении графика такое исключение конечных точек принято обозначать "выколотыми" или "пустыми" точками. То есть, на концах отрезка в точках $(0, 3)$ и $(2, 7)$ будут нарисованы незакрашенные кружки, чтобы показать, что они не являются частью графика.

Ответ: График функции будет представлять собой тот же отрезок прямой, но его конечные точки $(0, 3)$ и $(2, 7)$ будут исключены из графика. На чертеже это обозначается "выколотыми" (пустыми) точками.

5. Дана линейная функция $y = kx + m$, $x \in X$, где $X$ — некоторый числовой промежуток. Что такое $y_{наим}$, $y_{наиб}$?

$y_{наим}$ — это наименьшее значение, а $y_{наиб}$ — это наибольшее значение, которое принимает линейная функция $y = kx + m$ на заданном числовом промежутке $X$.

Линейная функция является монотонной на всей своей области определения. Это означает, что она либо постоянно возрастает, либо постоянно убывает, либо является постоянной. Характер монотонности определяется знаком углового коэффициента $k$. Наименьшее и наибольшее значения линейная функция на числовом промежутке (если они существуют) всегда принимает на его концах.

Рассмотрим основные случаи, предполагая, что промежуток $X$ является отрезком $[a, b]$, где $a$ — его левая граница, а $b$ — правая.

1. Если $k > 0$ (функция возрастающая)

Если функция возрастает, то большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Следовательно, наименьшее значение функция примет в левой границе промежутка, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(a) = ka + m$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(b) = kb + m$.

2. Если $k < 0$ (функция убывающая)

Если функция убывает, то большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$. В этом случае всё наоборот: наименьшее значение функция примет в правой границе промежутка, а наибольшее — в левой.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(b) = kb + m$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(a) = ka + m$.

3. Если $k = 0$ (функция постоянная)

Если $k = 0$, то уравнение функции принимает вид $y = m$. Это означает, что для любого значения $x$ из промежутка $X$ значение функции $y$ будет одним и тем же и равным $m$.

В этом случае наименьшее и наибольшее значения функции совпадают: $y_{наим} = y_{наиб} = m$.

Примечание: Если промежуток $X$ является интервалом (например, $(a, b)$) или полуинтервалом (например, $[a, b)$), или бесконечным промежутком (например, $[a, +\infty)$), то одно или оба из значений ($y_{наим}$, $y_{наиб}$) могут не существовать. Функция будет стремиться к значениям на "открытых" концах промежутка, но никогда их не достигнет.

Ответ: $y_{наим}$ и $y_{наиб}$ — это наименьшее и наибольшее значения линейной функции на промежутке $X$, которые, как правило, достигаются на концах этого промежутка. Для их нахождения нужно проанализировать знак коэффициента $k$:

• При $k > 0$ (возрастающая функция), $y_{наим}$ достигается на левом конце промежутка, а $y_{наиб}$ — на правом.
• При $k < 0$ (убывающая функция), $y_{наим}$ достигается на правом конце промежутка, а $y_{наиб}$ — на левом.
• При $k = 0$ (постоянная функция), $y_{наим} = y_{наиб} = m$ для любого $x$ из промежутка.

6. Дано: $y = 2x + 3$, $x \in [0; +\infty)$. Найдите, если возможно, $y_{\text{наим}}$, $y_{\text{наиб}}$. Что изменится, если $x \in (0; +\infty)$? если $x \in (-\infty; 0]$? если $x \in (-\infty; 0)$?

Данная функция $y = 2x + 3$ является линейной. Её угловой коэффициент $k=2$ положителен, следовательно, функция строго возрастает на всей числовой оси. Это означает, что чем больше значение аргумента $x$, тем больше значение функции $y$. Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданных промежутках необходимо исследовать её поведение на границах этих промежутков.

При $x \in [0; +\infty)$

На данном промежутке наименьшее значение аргумента $x$ равно 0. Поскольку функция возрастающая, её наименьшее значение ($y_{наим}$) будет достигаться в этой точке:

$y_{наим} = 2 \cdot 0 + 3 = 3$.

Правая граница промежутка уходит в бесконечность ($x \to +\infty$), поэтому значение функции $y$ также неограниченно возрастает. Следовательно, наибольшее значение функции ($y_{наиб}$) на этом промежутке не существует.

Ответ: $y_{наим} = 3$, $y_{наиб}$ не существует.

Если $x \in (0; +\infty)$

В этом случае промежуток является открытым слева, то есть левая граница $x=0$ не включается. Аргумент $x$ может принимать значения, сколь угодно близкие к нулю, но всегда оставаясь больше нуля ($x > 0$). Соответственно, значение функции $y = 2x+3$ будет стремиться к 3, но всегда будет строго больше 3 ($y \to 3^+$). Это означает, что наименьшее значение на данном промежутке не достигается. Наибольшее значение по-прежнему не существует, так как $x \to +\infty$.

Ответ: $y_{наим}$ не существует, $y_{наиб}$ не существует.

Если $x \in (-\infty; 0]$

На этом промежутке наибольшее значение аргумента $x$ равно 0. Поскольку функция возрастающая, её наибольшее значение ($y_{наиб}$) будет достигаться в этой точке:

$y_{наиб} = 2 \cdot 0 + 3 = 3$.

Левая граница промежутка уходит в минус бесконечность ($x \to -\infty$), поэтому значение функции $y$ также неограниченно убывает. Следовательно, наименьшее значение функции на этом промежутке не существует.

Ответ: $y_{наим}$ не существует, $y_{наиб} = 3$.

Если $x \in (-\infty; 0)$

В этом случае промежуток является открытым справа, то есть правая граница $x=0$ не включается. Аргумент $x$ может принимать значения, сколь угодно близкие к нулю с отрицательной стороны, но никогда его не достигает ($x < 0$). Соответственно, значение функции $y = 2x+3$ будет стремиться к 3, но всегда будет строго меньше 3 ($y \to 3^-$). Это означает, что наибольшее значение на данном промежутке не достигается. Наименьшее значение также не существует, так как $x \to -\infty$.

Ответ: $y_{наим}$ не существует, $y_{наиб}$ не существует.

7. Как с помощью графика линейной функции $y = kx + m$, где $k \neq 0$, решить:

а) уравнение $kx + m = 0$;

б) неравенство $kx + m > 0$;

в) неравенство $kx + m \leq 0$?

Для решения уравнения и неравенств с помощью графика линейной функции $y = kx + m$ (где $k \ne 0$) используется геометрический смысл этих выражений. График функции представляет собой прямую линию, не параллельную оси абсцисс.

Решить уравнение $kx + m = 0$ графическим способом означает найти такое значение $x$, при котором значение функции $y = kx + m$ равно нулю.

Алгоритм решения:

1. Построить в системе координат график линейной функции $y = kx + m$.
2. Найти точку пересечения этого графика с осью абсцисс ($Ox$). В любой точке на этой оси ордината $y$ равна нулю.
3. Абсцисса (координата $x$) найденной точки пересечения является корнем уравнения $kx + m = 0$.

Если прямая пересекает ось $Ox$ в точке с координатами $(x_0, 0)$, то решением уравнения будет $x = x_0$.

Ответ: решением уравнения $kx + m = 0$ является абсцисса точки пересечения графика функции $y = kx + m$ с осью $Ox$.

Решить неравенство $kx + m > 0$ графически означает найти все значения $x$, для которых соответствующее значение функции $y = kx + m$ положительно, то есть $y > 0$.

Алгоритм решения:

1. Построить график функции $y = kx + m$.
2. Найти точку пересечения графика с осью $Ox$. Пусть абсцисса этой точки равна $x_0$.
3. Определить промежуток оси $x$, для которого точки на графике функции лежат выше оси $Ox$. Этот промежуток и будет решением неравенства.

Результат зависит от знака углового коэффициента $k$:

• Если $k > 0$ (функция возрастает), то график находится выше оси $Ox$ для всех $x$ правее точки $x_0$. Решение: $x > x_0$, или $x \in (x_0, +\infty)$.
• Если $k < 0$ (функция убывает), то график находится выше оси $Ox$ для всех $x$ левее точки $x_0$. Решение: $x < x_0$, или $x \in (-\infty, x_0)$.

Ответ: решением неравенства $kx + m > 0$ является множество всех значений $x$, для которых соответствующие точки графика функции $y = kx + m$ расположены выше оси абсцисс.

Решить неравенство $kx + m \le 0$ графически означает найти все значения $x$, для которых соответствующее значение функции $y = kx + m$ неположительно, то есть $y \le 0$.

Алгоритм решения:

1. Построить график функции $y = kx + m$.
2. Найти абсциссу $x_0$ точки пересечения графика с осью $Ox$.
3. Определить промежуток оси $x$, для которого точки на графике функции лежат на оси $Ox$ или ниже нее. Этот промежуток, включая точку $x_0$, является решением неравенства.

Результат также зависит от знака $k$:

• Если $k > 0$ (функция возрастает), то график находится на оси или ниже ее для всех $x$ левее точки $x_0$ и в самой точке $x_0$. Решение: $x \le x_0$, или $x \in (-\infty, x_0]$.
• Если $k < 0$ (функция убывает), то график находится на оси или ниже ее для всех $x$ правее точки $x_0$ и в самой точке $x_0$. Решение: $x \ge x_0$, или $x \in [x_0, +\infty)$.

Ответ: решением неравенства $kx + m \le 0$ является множество всех значений $x$, для которых соответствующие точки графика функции $y = kx + m$ расположены на оси абсцисс или ниже нее.

8. В каком случае линейная функция возрастает, а в каком — убывает? Как об этом можно судить по графику линейной функции?

В каком случае линейная функция возрастает, а в каком – убывает?

Линейная функция задается уравнением вида $y = kx + b$, где $x$ – независимая переменная, а $k$ и $b$ – некоторые числа. Поведение функции (ее возрастание или убывание) полностью определяется знаком углового коэффициента $k$.

• Если угловой коэффициент $k$ положителен ($k > 0$), то линейная функция возрастает на всей своей области определения. Это означает, что при увеличении значения аргумента $x$ соответствующее значение функции $y$ также увеличивается. Формально: если $x_2 > x_1$, то и $f(x_2) > f(x_1)$.
• Если угловой коэффициент $k$ отрицателен ($k < 0$), то линейная функция убывает на всей своей области определения. Это означает, что при увеличении значения аргумента $x$ соответствующее значение функции $y$ уменьшается. Формально: если $x_2 > x_1$, то $f(x_2) < f(x_1)$.
• В частном случае, когда $k = 0$, функция принимает вид $y = b$ и является постоянной. Она не возрастает и не убывает, ее значение одинаково при любом $x$.

Ответ: Линейная функция $y = kx + b$ возрастает, если ее угловой коэффициент $k > 0$, и убывает, если $k < 0$.

Как об этом можно судить по графику линейной функции?

Графиком линейной функции является прямая линия. По направлению этой прямой можно легко определить, возрастает функция или убывает.

• Если график функции (прямая) при движении по нему слева направо идет вверх, то функция возрастает. Такая прямая образует острый угол (меньше 90°) с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox).
• Если график функции (прямая) при движении по нему слева направо идет вниз, то функция убывает. Такая прямая образует тупой угол (больше 90°, но меньше 180°) с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox).
• Если график функции – это горизонтальная прямая, параллельная оси Ox, то функция является постоянной. Угол наклона равен 0°.

Ответ: Если при взгляде на график слева направо прямая линия "поднимается" (идет вверх), то функция возрастает. Если прямая линия "опускается" (идет вниз), то функция убывает.

Подставьте вместо символа * такое число, чтобы графики заданных линейных функций были параллельны:

11.4 a) $y = 8x + 12$ и $y = *x - 3$;

б) $y = *x - 4$ и $y = 5 + 6x$;

в) $y = *x + 6$ и $y = 12 - 7x$;

г) $y = 4x - 1$ и $y = *x + 11$.

Графики двух линейных функций, заданных уравнениями в виде $y = kx + b$, параллельны в том случае, если их угловые коэффициенты $k$ равны, а их свободные члены $b$ (точки пересечения с осью ординат) — различны. Условие параллельности: $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$.

а) Даны функции $y = 8x + 12$ и $y = *x - 3$.
Угловой коэффициент первой функции $k_1 = 8$. Угловой коэффициент второй функции $k_2$ обозначен символом *. Для того чтобы графики были параллельны, их угловые коэффициенты должны быть равны: $k_1 = k_2$. Следовательно, $* = 8$.
При этом свободные члены $b_1 = 12$ и $b_2 = -3$ не равны ($12 \neq -3$), значит, графики не совпадают.
Ответ: 8

б) Даны функции $y = *x - 4$ и $y = 5 + 6x$.
Приведем второе уравнение к стандартному виду $y = kx + b$: $y = 6x + 5$. Угловой коэффициент первой функции $k_1 = *$. Угловой коэффициент второй функции $k_2 = 6$. Из условия параллельности $k_1 = k_2$ следует, что $* = 6$.
Свободные члены $b_1 = -4$ и $b_2 = 5$ не равны ($-4 \neq 5$), поэтому графики параллельны и не совпадают.
Ответ: 6

в) Даны функции $y = *x + 6$ и $y = 12 - 7x$.
Приведем второе уравнение к стандартному виду: $y = -7x + 12$. Угловой коэффициент первой функции $k_1 = *$. Угловой коэффициент второй функции $k_2 = -7$. Из условия параллельности $k_1 = k_2$ следует, что $* = -7$.
Свободные члены $b_1 = 6$ и $b_2 = 12$ не равны ($6 \neq 12$), поэтому графики параллельны и не совпадают.
Ответ: -7

г) Даны функции $y = 4x - 1$ и $y = *x + 11$.
Угловой коэффициент первой функции $k_1 = 4$. Угловой коэффициент второй функции $k_2 = *$. Из условия параллельности $k_1 = k_2$ следует, что $* = 4$.
Свободные члены $b_1 = -1$ и $b_2 = 11$ не равны ($-1 \neq 11$), поэтому графики параллельны и не совпадают.
Ответ: 4

Подставьте вместо символа * такое число, чтобы графики заданных линейных функций были параллельны:

11.5 а) $y = *x + 5$ и $y = *x + 7$;

б) $y = 45x - 9$ и $y = 45x + *$;

в) $y = -*x - 3$ и $y = *x + 1$;

г) $y = 1.3x + 21$ и $y = 1.3x - *$.

Для того чтобы графики двух линейных функций вида $y = kx + b$ были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты $k$ были равны, а свободные члены $b$ — различны.

а) $y = *x + 5$ и $y = *x + 7$
Пусть вместо символа * подставлено число $A$. Тогда уравнения функций примут вид $y = Ax + 5$ и $y = Ax + 7$. Угловые коэффициенты обеих функций равны $A$ ($k_1 = A$, $k_2 = A$), поэтому они всегда равны между собой. Свободные члены равны $b_1 = 5$ и $b_2 = 7$. Так как $5 \neq 7$, они различны. Следовательно, условие параллельности выполняется для любого числа, подставленного вместо *. Например, можно подставить число 1.
Ответ: можно подставить любое число, например, 1.

б) $y = 45x - 9$ и $y = 45x + *$
Угловой коэффициент первой функции $k_1 = 45$. Угловой коэффициент второй функции $k_2 = 45$. Так как $k_1 = k_2$, угловые коэффициенты равны. Свободный член первой функции $b_1 = -9$. Свободный член второй функции $b_2 = *$. Для параллельности графиков необходимо, чтобы свободные члены были различны: $b_1 \neq b_2$, то есть $* \neq -9$. Следовательно, вместо символа * можно подставить любое число, кроме -9. Например, можно подставить число 0.
Ответ: можно подставить любое число, кроме -9, например, 0.

в) $y = -*x - 3$ и $y = *x + 1$
Пусть вместо символа * подставлено число $A$. Тогда угловой коэффициент первой функции $k_1 = -A$, а второй $k_2 = A$. Для параллельности графиков необходимо равенство угловых коэффициентов: $k_1 = k_2$, то есть $-A = A$. Это равенство верно только при $A=0$. Проверим свободные члены при $A=0$: $b_1 = -3$ и $b_2 = 1$. Так как $-3 \neq 1$, условие $b_1 \neq b_2$ выполняется. Таким образом, единственное возможное значение для * — это 0.
Ответ: 0.

г) $y = 1,3x + 21$ и $y = 1,3x - *$
Угловой коэффициент первой функции $k_1 = 1,3$. Угловой коэффициент второй функции $k_2 = 1,3$. Угловые коэффициенты равны. Свободный член первой функции $b_1 = 21$. Свободный член второй функции $b_2 = -*$. Для параллельности графиков необходимо, чтобы свободные члены были различны: $b_1 \neq b_2$, то есть $21 \neq -*$. Это означает, что $* \neq -21$. Следовательно, вместо символа * можно подставить любое число, кроме -21. Например, можно подставить число 1.
Ответ: можно подставить любое число, кроме -21, например, 1.

Подставьте вместо символа * такое число, чтобы графики заданных линейных функций пересекались:

11.6 а) $y = 6x + 1$ и $y = *x - 3;$

б) $y = *x + 5$ и $y = 9x - 1;$

в) $y = 7x + 8$ и $y = *x - 4;$

г) $y = *x - 15$ и $y = 3x + 2.$

Для того чтобы графики двух линейных функций пересекались, их угловые коэффициенты должны быть различны. Линейная функция задается уравнением вида $y = kx + b$, где $k$ – это угловой коэффициент, а $b$ – свободный член (ордината точки пересечения графика с осью OY).

Если даны две функции $y_1 = k_1x + b_1$ и $y_2 = k_2x + b_2$, то их графики, являющиеся прямыми линиями, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты не равны: $k_1 \neq k_2$.

Если угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$), то прямые параллельны и не пересекаются. Если же равны и угловые коэффициенты, и свободные члены ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), то прямые совпадают.

В данной задаче нам необходимо найти такое число для символа *, чтобы выполнялось условие пересечения.

а) Даны функции $y = 6x + 1$ и $y = *x - 3$.

Угловой коэффициент первой функции $k_1 = 6$. Угловой коэффициент второй функции $k_2 = *$. Для пересечения графиков необходимо, чтобы $k_1 \neq k_2$, то есть $* \neq 6$.

Ответ: Вместо символа * можно подставить любое число, не равное 6.

б) Даны функции $y = *x + 5$ и $y = 9x - 1$.

Угловой коэффициент первой функции $k_1 = *$. Угловой коэффициент второй функции $k_2 = 9$. Для пересечения графиков необходимо, чтобы $k_1 \neq k_2$, то есть $* \neq 9$.

Ответ: Вместо символа * можно подставить любое число, не равное 9.

в) Даны функции $y = 7x + 8$ и $y = *x - 4$.

Угловой коэффициент первой функции $k_1 = 7$. Угловой коэффициент второй функции $k_2 = *$. Для пересечения графиков необходимо, чтобы $k_1 \neq k_2$, то есть $* \neq 7$.

Ответ: Вместо символа * можно подставить любое число, не равное 7.

г) Даны функции $y = *x - 15$ и $y = 3x + 2$.

Угловой коэффициент первой функции $k_1 = *$. Угловой коэффициент второй функции $k_2 = 3$. Для пересечения графиков необходимо, чтобы $k_1 \neq k_2$, то есть $* \neq 3$.

Ответ: Вместо символа * можно подставить любое число, не равное 3.

Подставьте вместо символа * такое число, чтобы графики заданных линейных функций пересекались:

11.7 а) $y = 2x + *$ и $y = x - *$;

б) $y = *x - 1$ и $y = *x + 3$;

в) $y = 3x - *$ и $y = -x - *$;

г) $y = *x + 17$ и $y = *x + 9$.

а) Даны функции $y = 2x + *$ и $y = x - *$. Для того чтобы графики двух линейных функций $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ пересекались, необходимо, чтобы их угловые коэффициенты были не равны: $k_1 \neq k_2$. В первой функции угловой коэффициент $k_1 = 2$. Во второй функции угловой коэффициент $k_2 = 1$. Сравниваем угловые коэффициенты: $2 \neq 1$. Это верное неравенство. Поскольку угловые коэффициенты не равны, графики этих функций будут пересекаться при любом значении, подставленном вместо символа *. Этот символ влияет только на значение свободных членов, то есть на точку пересечения с осью ординат, но не на сам факт пересечения графиков.

Ответ: Вместо символа * можно подставить любое число. Например, 5.

б) Даны функции $y = *x - 1$ и $y = *x + 3$. Предполагается, что в обоих уравнениях вместо символа * подставляется одно и то же число. Обозначим это число буквой $a$. Тогда функции примут вид $y = ax - 1$ и $y = ax + 3$. Угловой коэффициент первой функции $k_1 = a$. Угловой коэффициент второй функции $k_2 = a$. Условие пересечения графиков: $k_1 \neq k_2$, что в данном случае означает $a \neq a$. Это неравенство неверно при любом значении $a$. Поскольку угловые коэффициенты функций всегда равны, а свободные члены различны ($-1 \neq 3$), графики этих функций являются параллельными прямыми и никогда не пересекаются.

Ответ: Не существует такого числа, при подстановке которого графики заданных функций пересекались бы.

в) Даны функции $y = 3x - *$ и $y = -x - *$. Угловой коэффициент первой функции $k_1 = 3$. Угловой коэффициент второй функции $k_2 = -1$. Условие пересечения графиков: $k_1 \neq k_2$. Сравниваем угловые коэффициенты: $3 \neq -1$. Это верное неравенство. Так как угловые коэффициенты не равны, графики этих функций будут пересекаться при любом значении, подставленном вместо символа *.

Ответ: Вместо символа * можно подставить любое число. Например, 0.

г) Даны функции $y = *x + 17$ и $y = *x + 9$. Как и в пункте б), обозначим число, подставляемое вместо *, буквой $a$. Функции примут вид $y = ax + 17$ и $y = ax + 9$. Угловые коэффициенты обеих функций равны $a$: $k_1 = a$ и $k_2 = a$. Условие пересечения $k_1 \neq k_2$ ($a \neq a$) не может быть выполнено ни для какого числа $a$. Свободные члены функций различны ($17 \neq 9$), поэтому их графики всегда являются параллельными прямыми и не имеют точек пересечения.

Ответ: Не существует такого числа, при подстановке которого графики заданных функций пересекались бы.

Подставьте вместо символа * такое число, чтобы графики заданных линейных функций совпадали; установите, в каких случаях это задание некорректно:

11.8 а) $y = *x + 5$ и $y = x + 7$;

б) $y = *x + 8$ и $y = 5x + 8$;

в) $y = 6x - 3$ и $y = *x - 3$;

г) $y = 7x - 9$ и $y = *x - 8$.

Для того чтобы графики двух линейных функций, заданных уравнениями вида $y = kx + b$, совпадали, необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты $k$ и свободные члены $b$ были соответственно равны. То есть для функций $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ должно выполняться: $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$.

а) Даны функции $y = *x + 5$ и $y = x + 7$.

В данном случае, для первой функции угловой коэффициент $k_1 = *$ и свободный член $b_1 = 5$. Для второй функции $k_2 = 1$ и $b_2 = 7$.

Для совпадения графиков должны выполняться условия: $* = 1$ и $5 = 7$.

Так как равенство $5 = 7$ является ложным, свободные члены функций не равны ($b_1 \ne b_2$). Поэтому невозможно подобрать такое число вместо символа *, чтобы графики функций совпадали. Следовательно, задание некорректно.

Ответ: Задание некорректно.

б) Даны функции $y = *x + 8$ и $y = 5x + 8$.

В данном случае, $k_1 = *$, $b_1 = 8$, $k_2 = 5$ и $b_2 = 8$.

Для совпадения графиков должны выполняться условия: $* = 5$ и $8 = 8$.

Свободные члены равны ($b_1 = b_2 = 8$). Если подставить вместо * число 5, то и угловые коэффициенты станут равны ($k_1 = k_2 = 5$). Тогда функции станут идентичными ($y = 5x + 8$), и их графики совпадут.

Ответ: Вместо символа * нужно подставить число 5.

в) Даны функции $y = 6x - 3$ и $y = *x - 3$.

В данном случае, $k_1 = 6$, $b_1 = -3$, $k_2 = *$ и $b_2 = -3$.

Для совпадения графиков должны выполняться условия: $6 = *$ и $-3 = -3$.

Свободные члены равны ($b_1 = b_2 = -3$). Если подставить вместо * число 6, то и угловые коэффициенты станут равны ($k_1 = k_2 = 6$). Тогда функции станут идентичными ($y = 6x - 3$), и их графики совпадут.

Ответ: Вместо символа * нужно подставить число 6.

г) Даны функции $y = 7x - 9$ и $y = *x - 8$.

В данном случае, $k_1 = 7$, $b_1 = -9$, $k_2 = *$ и $b_2 = -8$.

Для совпадения графиков должны выполняться условия: $7 = *$ и $-9 = -8$.

Так как равенство $-9 = -8$ является ложным, свободные члены функций не равны ($b_1 \ne b_2$). Поэтому невозможно подобрать такое число вместо символа *, чтобы графики функций совпадали. Следовательно, задание некорректно.

Ответ: Задание некорректно.

Подставьте вместо символа * такое число, чтобы графики заданных линейных функций совпадали; установите, в каких случаях это задание некорректно:

11.9 а) $y = 8x + *$ и $y = 7x + 8;$

б) $y = 4,5x - *$ и $y = 4,5x - *;$

в) $y = 0,35x - *$ и $y = 0,35x - *;$

г) $y = 2x + *$ и $y = 2x + *.$

Для того чтобы графики двух линейных функций $y_1 = k_1x + b_1$ и $y_2 = k_2x + b_2$ совпадали, необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты и свободные члены были равны, то есть $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$. Проанализируем каждый случай.

а) Рассмотрим функции $y = 8x + *$ и $y = 7x + 8$.
Для первой функции угловой коэффициент $k_1 = 8$, а свободный член $b_1$ равен искомому числу *.
Для второй функции угловой коэффициент $k_2 = 7$, а свободный член $b_2 = 8$.
Для совпадения графиков необходимо равенство угловых коэффициентов: $k_1 = k_2$.
В нашем случае получаем $8 = 7$, что является неверным равенством.
Поскольку угловые коэффициенты различны, графики этих функций являются пересекающимися прямыми и не могут совпадать ни при каком значении *. Следовательно, подобрать такое число невозможно, и задание в этом случае некорректно.
Ответ: Задание некорректно, так как невозможно подобрать такое число, чтобы графики совпали.

б) Рассмотрим функции $y = 4,5x - *$ и $y = 4,5x - *$.
В данном случае представлены две абсолютно одинаковые функции.
Угловой коэффициент для обеих функций $k = 4,5$, поэтому условие $k_1 = k_2$ выполняется ($4,5 = 4,5$).
Свободный член для обеих функций равен $-*$. Условие $b_1 = b_2$ превращается в тождество $-* = -*$, которое верно для любого числа, подставленного вместо *.
Это означает, что какое бы число мы ни подставили, мы получим две одинаковые функции, графики которых будут совпадать.
Ответ: Вместо символа * можно подставить любое число.

в) Рассмотрим функции $y = 0,35x - *$ и $y = 0,35x - *$.
Этот случай полностью аналогичен предыдущему. Функции идентичны.
Угловые коэффициенты равны: $k_1 = k_2 = 0,35$.
Свободные члены также равны: $b_1 = b_2 = -*$. Это верно для любого значения *.
Следовательно, графики этих функций будут совпадать при подстановке любого числа.
Ответ: Вместо символа * можно подставить любое число.

г) Рассмотрим функции $y = 2x + *$ и $y = 2x + *$.
Этот случай также аналогичен двум предыдущим.
Угловые коэффициенты равны: $k_1 = k_2 = 2$.
Свободные члены равны: $b_1 = b_2 = *$. Это равенство выполняется для любого значения *.
Следовательно, графики этих функций будут совпадать при подстановке любого числа.
Ответ: Вместо символа * можно подставить любое число.

Итоговый вывод: задание некорректно только в случае а), так как у функций разные угловые коэффициенты. В случаях б), в) и г) задание корректно, и вместо символа * можно подставить любое действительное число.

Найдите координаты точки пересечения заданных прямых; если это невозможно, объясните почему:

11.10 а) $y = 2x + 3$ и $y = 3x + 2$;

б) $y = -15x - 14$ и $y = -15x + 8;

в) $y = 7x + 4$ и $y = -x + 4;

г) $y = 7x + 6$ и $y = 7x + 9.

а) Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо решить систему уравнений, которую они составляют. В точке пересечения координаты $x$ и $y$ у обеих прямых совпадают, поэтому мы можем приравнять правые части уравнений $y = 2x + 3$ и $y = 3x + 2$:
$2x + 3 = 3x + 2$
Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:
$3 - 2 = 3x - 2x$
$x = 1$
Зная координату $x$, найдем координату $y$, подставив значение $x$ в любое из исходных уравнений. Например, в первое:
$y = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5$
Таким образом, прямые пересекаются в одной точке.
Ответ: Координаты точки пересечения $(1, 5)$.

б) Рассмотрим уравнения прямых $y = -15x - 14$ и $y = -15x + 8$.
Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент (наклон), а $b$ — точка пересечения с осью $y$.
У обеих прямых угловые коэффициенты одинаковы: $k_1 = k_2 = -15$. Это означает, что прямые параллельны.
При этом их точки пересечения с осью $y$ различны: $b_1 = -14$ и $b_2 = 8$.
Поскольку прямые параллельны и не совпадают, они не имеют общих точек.
Если попытаться найти точку пересечения, приравняв правые части, мы получим:
$-15x - 14 = -15x + 8$
$-14 = 8$
Это равенство является ложным, что доказывает отсутствие решений.
Ответ: Найти координаты точки пересечения невозможно, так как прямые параллельны и не пересекаются.

в) Чтобы найти точку пересечения прямых $y = 7x + 4$ и $y = -x + 4$, приравняем их правые части:
$7x + 4 = -x + 4$
Решим уравнение относительно $x$:
$7x + x = 4 - 4$
$8x = 0$
$x = 0$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x=0$ в любое из уравнений. Возьмем второе:
$y = -(0) + 4 = 4$
Следовательно, прямые пересекаются.
Ответ: Координаты точки пересечения $(0, 4)$.

г) Рассмотрим уравнения прямых $y = 7x + 6$ и $y = 7x + 9$.
Как и в пункте б), данные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты $k_1 = k_2 = 7$, что говорит об их параллельности.
Точки пересечения с осью $y$ у них разные: $b_1 = 6$ и $b_2 = 9$. Значит, прямые не совпадают.
Параллельные и несовпадающие прямые не имеют точек пересечения.
Попытка решить систему уравнений приводит к неверному равенству:
$7x + 6 = 7x + 9$
$6 = 9$
Это ложное утверждение, подтверждающее, что решений нет.
Ответ: Найти координаты точки пересечения невозможно, так как прямые параллельны.

Найдите координаты точки пересечения заданных прямых; если это невозможно, объясните почему:

11.10

а) $y = 2x + 3$ и $y = 3x + 2$;

б) $y = -15x - 14$ и $y = -15x + 8$;

в) $y = 7x + 4$ и $y = -x + 4$;

г) $y = 7x + 6$ и $y = 7x + 9$.

11.11

а) $y = 15x + 17$ и $y = 15x + 17$;

б) $y = -3x + 4$ и $y = 2x - 1$;

в) $y = 13x - 8$ и $y = 13x - 8$;

г) $y = -5x + 3$ и $y = x - 3$.

11.10

а) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых $y = 2x + 3$ и $y = 3x + 2$, необходимо решить систему этих уравнений. Поскольку в обоих уравнениях левые части равны ($y$), мы можем приравнять их правые части:

$2x + 3 = 3x + 2$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$3 - 2 = 3x - 2x$

$x = 1$

Мы нашли абсциссу (координату $x$) точки пересечения. Чтобы найти ординату (координату $y$), подставим найденное значение $x=1$ в любое из исходных уравнений. Например, в первое:

$y = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(1, 5)$.

Ответ: $(1, 5)$.

б) Рассматриваем прямые $y = -15x - 14$ и $y = -15x + 8$. Уравнение прямой в общем виде — $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент. У обеих данных прямых угловые коэффициенты одинаковы и равны $-15$. Однако их свободные члены (значения $b$) различны: $-14 \neq 8$.

Прямые, имеющие одинаковые угловые коэффициенты, но разные свободные члены, являются параллельными. Параллельные прямые не пересекаются, поэтому у них нет общих точек.

Если мы попытаемся приравнять правые части уравнений, то получим:

$-15x - 14 = -15x + 8$

$-14 = 8$

Это равенство неверно, что и доказывает отсутствие решений.

Ответ: Найти координаты точки пересечения невозможно, так как прямые параллельны.

в) Найдем точку пересечения прямых $y = 7x + 4$ и $y = -x + 4$. Приравняем правые части уравнений:

$7x + 4 = -x + 4$

Решим уравнение относительно $x$:

$7x + x = 4 - 4$

$8x = 0$

$x = 0$

Теперь подставим $x=0$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:

$y = -(0) + 4 = 4$

Координаты точки пересечения: $(0, 4)$.

Ответ: $(0, 4)$.

г) Даны прямые $y = 7x + 6$ и $y = 7x + 9$. Угловые коэффициенты этих прямых одинаковы ($k=7$), а свободные члены различны ($6 \neq 9$). Это означает, что прямые параллельны и не имеют точек пересечения.

Попытка найти решение приводит к неверному равенству:

$7x + 6 = 7x + 9$

$6 = 9$

Ответ: Найти координаты точки пересечения невозможно, так как прямые параллельны.

11.11

а) Даны два уравнения $y = 15x + 17$ и $y = 15x + 17$. Эти уравнения полностью идентичны, они описывают одну и ту же прямую. Такие прямые называются совпадающими.

У совпадающих прямых бесконечное множество общих точек, так как любая точка одной прямой принадлежит и другой. Поэтому найти одну-единственную точку пересечения невозможно.

Ответ: Найти координаты точки пересечения невозможно, так как прямые совпадают.

б) Найдем точку пересечения прямых $y = -3x + 4$ и $y = 2x - 1$. Приравняем правые части:

$-3x + 4 = 2x - 1$

Решим уравнение:

$4 + 1 = 2x + 3x$

$5 = 5x$

$x = 1$

Найдем $y$, подставив $x=1$ в одно из уравнений:

$y = 2(1) - 1 = 1$

Координаты точки пересечения: $(1, 1)$.

Ответ: $(1, 1)$.

в) Даны уравнения $y = 13x - 8$ и $y = 13x - 8$. Так как уравнения одинаковые, они описывают одну и ту же прямую. Прямые совпадают и имеют бесконечное множество общих точек.

Ответ: Найти координаты точки пересечения невозможно, так как прямые совпадают.

г) Найдем точку пересечения прямых $y = -5x + 3$ и $y = x - 3$. Приравняем правые части:

$-5x + 3 = x - 3$

Решим уравнение:

$3 + 3 = x + 5x$

$6 = 6x$

$x = 1$

Найдем $y$, подставив $x=1$ во второе уравнение:

$y = 1 - 3 = -2$

Координаты точки пересечения: $(1, -2)$.

Ответ: $(1, -2)$.

Найдите координаты точки пересечения заданных прямых; если это невозможно, объясните почему:

11.10 а) $y = 2x + 3$ и $y = 3x + 2$;
б) $y = -15x - 14$ и $y = -15x + 8$;
в) $y = 7x + 4$ и $y = -x + 4$;
г) $y = 7x + 6$ и $y = 7x + 9$.

11.12
а) $y = x + 5$ и $y = x + 7$;
б) $y = 1,5x + 4$ и $y = 1,5x + 4$;
в) $y = -2x + 8$ и $y = 8$;
г) $y = 79x$ и $y = 75x$.

11.10 а)

Даны две прямые: $y = 2x + 3$ и $y = 3x + 2$. Чтобы найти координаты точки пересечения, необходимо решить систему уравнений. Приравняем правые части уравнений, так как в точке пересечения значения $y$ совпадают:

$2x + 3 = 3x + 2$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$3 - 2 = 3x - 2x$

$x = 1$

Теперь подставим найденное значение $x = 1$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Возьмем первое уравнение:

$y = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5$

Координаты точки пересечения: $(1, 5)$.

Ответ: $(1, 5)$.

11.10 б)

Даны две прямые: $y = -15x - 14$ и $y = -15x + 8$. Уравнения прямых заданы в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент.

У обеих прямых одинаковый угловой коэффициент $k = -15$, но разные свободные члены ($b_1 = -14$ и $b_2 = 8$). Прямые с одинаковыми угловыми коэффициентами, но разными свободными членами являются параллельными и не пересекаются.

Ответ: Найти координаты точки пересечения невозможно, потому что прямые параллельны.

11.10 в)

Даны две прямые: $y = 7x + 4$ и $y = -x + 4$. Приравняем правые части уравнений:

$7x + 4 = -x + 4$

Решим уравнение относительно $x$:

$7x + x = 4 - 4$

$8x = 0$

$x = 0$

Подставим $x = 0$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:

$y = -(0) + 4 = 4$

Координаты точки пересечения: $(0, 4)$.

Ответ: $(0, 4)$.

11.10 г)

Даны две прямые: $y = 7x + 6$ и $y = 7x + 9$.

Угловые коэффициенты обеих прямых равны $k = 7$, а свободные члены различны ($b_1 = 6$ и $b_2 = 9$). Это означает, что прямые параллельны и не имеют точек пересечения.

Ответ: Найти координаты точки пересечения невозможно, так как прямые параллельны.

11.12 а)

Даны две прямые: $y = x + 5$ и $y = x + 7$.

Угловые коэффициенты прямых одинаковы ($k = 1$), а свободные члены различны ($b_1 = 5$ и $b_2 = 7$). Следовательно, прямые параллельны и не пересекаются.

Ответ: Найти координаты точки пересечения невозможно, так как прямые параллельны.

11.12 б)

Даны две прямые: $y = 1,5x + 4$ и $y = 1,5x + 4$.

Уравнения этих прямых полностью идентичны. Это означает, что они описывают одну и ту же прямую. Такие прямые совпадают и имеют бесконечное множество общих точек. Поскольку требуется найти одну точку пересечения, а их бесконечно много, то найти единственную точку невозможно.

Ответ: Найти единственную точку пересечения невозможно, так как прямые совпадают.

11.12 в)

Даны две прямые: $y = -2x + 8$ и $y = 8$. Приравняем правые части уравнений:

$-2x + 8 = 8$

Решим уравнение относительно $x$:

$-2x = 8 - 8$

$-2x = 0$

$x = 0$

Из второго уравнения уже известно, что $y = 8$.

Координаты точки пересечения: $(0, 8)$.

Ответ: $(0, 8)$.

11.12 г)

Даны две прямые: $y = 79x$ и $y = 75x$. Приравняем правые части уравнений:

$79x = 75x$

Решим уравнение относительно $x$:

$79x - 75x = 0$

$4x = 0$

$x = 0$

Подставим $x = 0$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$y = 79(0) = 0$

Координаты точки пересечения: $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

11.13 Не выполняя построения графиков, найдите координаты точки пересечения прямых:

а) $y = x + 5$ и $y = 1,5x + 4;

б) $y = 75x - 1$ и $y = 78x;

в) $y = -2x + 8$ и $y = x - 7;

г) $y = -49x$ и $y = -42x + 3.

Чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, не выполняя построения их графиков, нужно решить систему уравнений, задающих эти прямые. В точке пересечения значения координат $x$ и $y$ у обеих функций совпадают. Поэтому мы можем приравнять правые части уравнений и найти $x$. Затем, подставив найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, мы найдем $y$.

а) Даны уравнения прямых: $y = x + 5$ и $y = 1,5x + 4$.

Приравняем правые части уравнений, так как в точке пересечения значения $y$ равны:

$x + 5 = 1,5x + 4$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$5 - 4 = 1,5x - x$

$1 = 0,5x$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{1}{0,5} = 2$

Теперь подставим найденное значение $x = 2$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$y = 2 + 5 = 7$

Таким образом, координаты точки пересечения — $(2; 7)$.

Ответ: $(2; 7)$.

б) Даны уравнения прямых: $y = 75x - 1$ и $y = 78x$.

Приравняем правые части уравнений:

$75x - 1 = 78x$

Решим уравнение относительно $x$:

$-1 = 78x - 75x$

$-1 = 3x$

$x = -\frac{1}{3}$

Подставим значение $x = -\frac{1}{3}$ во второе уравнение:

$y = 78 \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{78}{3} = -26$

Координаты точки пересечения — $(-\frac{1}{3}; -26)$.

Ответ: $(-\frac{1}{3}; -26)$.

в) Даны уравнения прямых: $y = -2x + 8$ и $y = x - 7$.

Приравняем правые части уравнений:

$-2x + 8 = x - 7$

Сгруппируем члены:

$8 + 7 = x + 2x$

$15 = 3x$

$x = \frac{15}{3} = 5$

Подставим $x = 5$ во второе уравнение:

$y = 5 - 7 = -2$

Координаты точки пересечения — $(5; -2)$.

Ответ: $(5; -2)$.

г) Даны уравнения прямых: $y = -49x$ и $y = -42x + 3$.

Приравняем правые части уравнений:

$-49x = -42x + 3$

Решим уравнение относительно $x$:

$-49x + 42x = 3$

$-7x = 3$

$x = -\frac{3}{7}$

Подставим $x = -\frac{3}{7}$ в первое уравнение:

$y = -49 \cdot (-\frac{3}{7}) = 49 \cdot \frac{3}{7} = 7 \cdot 3 = 21$

Координаты точки пересечения — $(-\frac{3}{7}; 21)$.

Ответ: $(-\frac{3}{7}; 21)$.