Страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Что представляет собой график линейной функции $y = kx$ и как его построить?

Что представляет собой график линейной функции y = kx

Линейная функция вида $y = kx$ является частным случаем более общей линейной функции $y = kx + b$, где свободный член $b=0$. Такая зависимость переменной $y$ от $x$ называется прямой пропорциональностью.

Графиком функции $y = kx$, как и любой другой линейной функции, является прямая линия.

Важнейшей особенностью графика функции $y = kx$ является то, что он всегда проходит через начало координат, то есть точку с координатами $(0, 0)$. Это следует из самого уравнения: при подстановке $x=0$ мы всегда получаем $y = k \cdot 0 = 0$, независимо от значения коэффициента $k$.

Коэффициент $k$ в уравнении $y = kx$ называется угловым коэффициентом. Он характеризует угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс (оси $Ox$) и определяет ее расположение в координатной плоскости:
• Если $k > 0$, то прямая расположена в I и III координатных четвертях. Угол наклона прямой к оси $Ox$ — острый. Функция является возрастающей (с увеличением $x$ увеличивается и $y$).
• Если $k < 0$, то прямая расположена во II и IV координатных четвертях. Угол наклона прямой к оси $Ox$ — тупой. Функция является убывающей (с увеличением $x$ значение $y$ уменьшается).
• Если $k = 0$, то уравнение принимает вид $y = 0$. В этом случае графиком является прямая, которая совпадает с осью абсцисс ($Ox$).

Ответ: График линейной функции $y = kx$ — это прямая линия, которая всегда проходит через начало координат. Угловой коэффициент $k$ определяет наклон этой прямой и ее расположение в координатных четвертях.

Как его построить?

Для построения прямой линии на плоскости достаточно знать координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой. Поскольку мы уже установили, что одна точка графика функции $y = kx$ всегда известна — это начало координат $(0, 0)$, — для построения графика нам нужно найти координаты еще всего одной точки.

Алгоритм построения графика следующий:
1. Взять любую точку, не совпадающую с началом координат. Для этого нужно выбрать произвольное значение аргумента $x$, не равное нулю. Для простоты вычислений часто выбирают $x=1$.
2. Подставить это значение $x$ в уравнение функции $y = kx$ и вычислить соответствующее значение $y$. Таким образом, мы найдем координаты второй точки $(x_1, y_1)$.
3. Отметить на координатной плоскости две точки: начало координат $(0, 0)$ и найденную точку $(x_1, y_1)$.
4. С помощью линейки провести прямую через эти две точки. Полученная прямая и есть график функции $y = kx$.

Пример: Построим график функции $y = 2x$.
1. Первая точка известна: $(0, 0)$.
2. Найдем вторую точку. Возьмем, к примеру, $x = 3$.
3. Вычислим соответствующее значение $y$: $y = 2 \cdot 3 = 6$. Таким образом, вторая точка имеет координаты $(3, 6)$.
4. Отмечаем на координатной плоскости точки $(0, 0)$ и $(3, 6)$ и проводим через них прямую линию. Это и будет график функции $y = 2x$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = kx$, нужно найти координаты еще одной точки (кроме начала координат), для чего задать произвольное ненулевое значение $x$ и вычислить соответствующий $y$. После этого следует провести прямую через эту точку и начало координат $(0, 0)$.

2. Почему в уравнении $y = kx$ коэффициент $k$ называют угловым?

Коэффициент $k$ в уравнении прямой $y = kx$ (а также в более общем виде $y = kx + b$) называется угловым, потому что его значение напрямую определяет угол наклона этой прямой по отношению к положительному направлению оси абсцисс (оси $Ox$).

Давайте рассмотрим это наглядно.

Уравнение $y = kx$ описывает прямую, которая проходит через начало координат, то есть точку $O(0, 0)$. Возьмем на этой прямой любую другую точку $A$ с координатами $(x_A, y_A)$, где $x_A \neq 0$. Поскольку точка $A$ лежит на прямой, ее координаты удовлетворяют уравнению:

$y_A = kx_A$

Из этого соотношения мы можем выразить коэффициент $k$:

$k = \frac{y_A}{x_A}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой начала координат $O(0, 0)$, нашей точкой $A(x_A, y_A)$ и ее проекцией на ось $Ox$ — точкой $B(x_A, 0)$. В этом треугольнике (для случая, когда точка $A$ находится в первой координатной четверти) катет $OB$, прилежащий к углу наклона, имеет длину $x_A$, а катет $AB$, противолежащий этому углу, имеет длину $y_A$.

Пусть $\alpha$ — это угол, который образует наша прямая с положительным направлением оси $Ox$. Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике мы знаем, что это отношение противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AB}{OB} = \frac{y_A}{x_A}$

Сравнивая два выражения, которые мы получили для дроби $\frac{y_A}{x_A}$, приходим к ключевому выводу:

$k = \tan(\alpha)$

Это означает, что коэффициент $k$ численно равен тангенсу угла наклона прямой. Именно эта прямая геометрическая связь с углом и послужила причиной для названия «угловой коэффициент».

• Если $k > 0$, то $\tan(\alpha) > 0$, угол $\alpha$ — острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), и график функции возрастает.
• Если $k < 0$, то $\tan(\alpha) < 0$, угол $\alpha$ — тупой ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), и график функции убывает.
• Если $k = 0$, то $\tan(\alpha) = 0$, угол $\alpha = 0^\circ$, и прямая горизонтальна (в случае $y=kx$ она совпадает с осью $Ox$).

Ответ: Коэффициент $k$ в уравнении прямой $y = kx$ называют угловым, потому что его значение равно тангенсу угла, который эта прямая образует с положительным направлением оси $Ox$.

3. Что вы можете сказать о взаимном расположении графиков функций $y = kx + m$ и $y = kx$?

Рассмотрим две заданные функции: $y = kx + m$ и $y = kx$. Обе функции являются линейными, а их графики — это прямые линии.

Уравнение линейной функции в общем виде записывается как $y = kx + b$, где:

• коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом и определяет угол наклона прямой относительно положительного направления оси абсцисс (Ox).
• коэффициент $b$ (свободный член) показывает точку пересечения прямой с осью ординат (Oy). Координаты этой точки — $(0, b)$.

Проанализируем данные функции с учетом этих свойств:

1. Для функции $y = kx + m$: угловой коэффициент равен $k$, свободный член равен $m$. График этой функции пересекает ось Oy в точке $(0, m)$.
2. Для функции $y = kx$: угловой коэффициент также равен $k$, а свободный член можно считать равным нулю ($b=0$). График этой функции проходит через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$.

Поскольку у обеих функций одинаковый угловой коэффициент $k$, их графики-прямые имеют одинаковый наклон. Прямые с одинаковым угловым коэффициентом либо параллельны, либо совпадают.

Дальнейшее расположение зависит от значения $m$:

• Если $m \neq 0$, то прямые имеют одинаковый наклон, но пересекают ось Oy в разных точках: $(0, m)$ и $(0, 0)$. Это означает, что прямые параллельны друг другу. График функции $y = kx + m$ можно получить из графика $y = kx$ путем параллельного переноса вдоль оси Oy на $m$ единиц (вверх, если $m > 0$, или вниз, если $m < 0$).
• Если $m = 0$, то первое уравнение принимает вид $y = kx + 0$, что идентично второму уравнению $y = kx$. В этом случае графики функций полностью совпадают.

Ответ: Графики функций $y = kx + m$ и $y = kx$ — это прямые линии с одинаковым угловым коэффициентом $k$. Если $m \neq 0$, то эти прямые параллельны. Если $m = 0$, то эти прямые совпадают. Таким образом, график функции $y = kx + m$ получается из графика функции $y = kx$ путем параллельного переноса вдоль оси ординат на $m$ единиц.

4. Какой угол (острый или тупой) образует прямая $y = kx + m$ с положительным направлением оси $Ox$ при $k > 0$ и при $k < 0$?

Угловой коэффициент $k$ в уравнении прямой $y = kx + m$ представляет собой тангенс угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси $Ox$. Математически это выражается формулой $k = \tan(\alpha)$, где угол $\alpha$ обычно рассматривается в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. Знак коэффициента $k$ напрямую определяет, будет ли этот угол острым или тупым.

при $k > 0$
Если угловой коэффициент $k$ больше нуля, это означает, что $\tan(\alpha) > 0$. В интервале $[0^\circ, 180^\circ)$ тангенс положителен для углов, которые находятся в первой координатной четверти, то есть для которых выполняется неравенство $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Такие углы являются острыми.
Ответ: острый угол.

при $k < 0$
Если угловой коэффициент $k$ меньше нуля, это означает, что $\tan(\alpha) < 0$. В интервале $[0^\circ, 180^\circ)$ тангенс отрицателен для углов, которые находятся во второй координатной четверти, то есть для которых выполняется неравенство $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Такие углы являются тупыми.
Ответ: тупой угол.

11.23 Графики линейных функций $y = kx + m$ и $y = ax + b$ пересекаются в точке, лежащей внутри второго координатного угла координатной плоскости $xOy$. Определите знаки коэффициентов $k, m, a, b$, если известно, что прямая $y = kx + m$ не проходит через третий координатный угол, а прямая $y = ax + b$ проходит через первый координатный угол и не параллельна оси абсцисс.

Для решения задачи проанализируем условия, наложенные на каждую из функций, и на их точку пересечения.

Пусть $(x_0, y_0)$ — точка пересечения графиков функций $y = kx + m$ и $y = ax + b$. По условию, эта точка лежит внутри второго координатного угла, что означает, что её координаты удовлетворяют неравенствам $x_0 < 0$ и $y_0 > 0$.

Анализ прямой $y = kx + m$

1. График не проходит через третий координатный угол. Третий координатный угол — это область, где $x < 0$ и $y < 0$. Условие означает, что на прямой нет точек, у которых обе координаты отрицательны. Иными словами, для всех $x < 0$ должно выполняться $y \ge 0$.

2. График проходит через точку $(x_0, y_0)$ во втором квадранте.

Рассмотрим коэффициент $m$, который является ординатой точки пересечения графика с осью $Oy$, то есть $y(0) = m$. Прямая соединяет точку $(x_0, y_0)$ из второго квадранта с точкой $(0, m)$. Поскольку $x_0 < 0$, и на всём этом отрезке прямой ордината должна быть неотрицательной, то и в точке $x=0$ она должна быть неотрицательной. Следовательно, $m \ge 0$.

Рассмотрим угловой коэффициент $k$. Если предположить, что $k > 0$ (функция возрастающая), то при $m \ge 0$ точка пересечения с осью абсцисс будет $x = -m/k \le 0$. Это означает, что при $x < -m/k$ значения $y$ будут отрицательными, то есть график будет проходить через третий координатный угол. Это противоречит условию. Следовательно, предположение неверно, и угловой коэффициент должен быть неположительным: $k \le 0$.

Коэффициенты $k$ и $m$ не могут быть равны нулю одновременно, так как в этом случае мы получили бы прямую $y=0$ (ось абсцисс), а точка пересечения $(x_0, y_0)$ имеет $y_0 > 0$, то есть не лежит на этой оси.

Таким образом, для первой прямой имеем: $k \le 0$, $m \ge 0$ (причем $k$ и $m$ не равны нулю одновременно).

Анализ прямой $y = ax + b$

1. График проходит через первый координатный угол. Это означает, что существует хотя бы одна точка на прямой с координатами $(x_1, y_1)$, где $x_1 > 0$ и $y_1 > 0$.

2. График проходит через точку $(x_0, y_0)$ во втором квадранте.

3. Прямая не параллельна оси абсцисс. Это означает, что её угловой коэффициент $a \neq 0$.

Прямая проходит через точки в первом и втором квадрантах. Чтобы соединить точку из второго квадранта (где $x<0, y>0$) с точкой из первого квадранта (где $x>0, y>0$), график должен пересечь ось $Oy$ (где $x=0$) при положительном значении $y$. Коэффициент $b$ как раз и является ординатой точки пересечения с осью $Oy$. Следовательно, $b > 0$.

Определение знака коэффициента $a$

Мы имеем следующую информацию: $k \le 0, m \ge 0, b > 0, a \neq 0$. Для определения знака коэффициента $a$ необходимо учесть все условия в совокупности.

В условии задачи противопоставляются свойства двух прямых: прямая $y=kx+m$ не проходит через третий координатный угол, а прямая $y=ax+b$ проходит через первый. Такая формулировка, особенно использование союза "а", часто подразумевает контраст в свойствах. Логично предположить, что свойство, явно указанное для первой прямой (не проходить через III квадрант), не выполняется для второй. То есть, прямая $y=ax+b$ проходит через третий координатный угол.

Рассмотрим, при каком знаке $a$ прямая $y=ax+b$ проходит через третий квадрант. Мы уже установили, что $b>0$.

• Если $a < 0$, функция убывающая. С положительным $y$-перехватом ($b>0$) она будет проходить через I, II и IV квадранты. В III квадрант она не попадет.
• Если $a > 0$, функция возрастающая. С положительным $y$-перехватом ($b>0$) она будет проходить через I, II и III квадранты.

Таким образом, из предположения, что прямая $y=ax+b$ проходит через третий квадрант, следует, что $a>0$.

Проверим это заключение с помощью условия пересечения. В точке пересечения $(x_0, y_0)$ выполняется равенство:$kx_0 + m = ax_0 + b$$(k-a)x_0 = b-m$$x_0 = \frac{b-m}{k-a}$

Поскольку точка пересечения находится во втором квадранте, $x_0 < 0$. Значит, дробь $\frac{b-m}{k-a}$ должна быть отрицательной. Это возможно, только если числитель и знаменатель имеют разные знаки.

Мы определили, что $a > 0$. Так как $k \le 0$, знаменатель $k-a$ будет отрицательным ($k-a < 0$).Следовательно, для выполнения условия $x_0 < 0$ числитель $b-m$ должен быть положительным:$b-m > 0 \implies b > m$.

Это условие ($b>m$) не противоречит ранее найденным знакам ($b>0, m \ge 0$), а лишь накладывает дополнительное ограничение на величины коэффициентов, что необходимо для существования точки пересечения именно во втором квадранте.

Таким образом, все условия задачи выполняются при следующих знаках коэффициентов:

k: $k \le 0$. Знак "меньше или равно".m: $m \ge 0$. Знак "больше или равно". (При этом $k$ и $m$ не равны нулю одновременно).a: $a > 0$. Знак "больше".b: $b > 0$. Знак "больше".

Ответ: $a > 0, b > 0, k \le 0, m \ge 0$ (при этом $k$ и $m$ не равны нулю одновременно).

12.1 Возьмите таблицу, составленную в примере 2 §12 учебника:

а) найдите объём и моду оценок (включая «н») за контрольную;

б) определите часть (долю) пятёрок среди всех оценок (включая «н»);

в) определите части (доли) остальных оценок;

г) составьте таблицу распределения процентных долей оценок.

Для решения задачи воспользуемся данными из таблицы, составленной в примере 2 §12 учебника. Эта таблица представляет собой распределение оценок за контрольную работу в классе, включая отметки «н» для учеников, которые отсутствовали.

Таблица частот оценок выглядит следующим образом:

а) найдите объём и моду оценок (включая «н») за контрольную;

Объём выборки в статистике — это общее количество элементов в рассматриваемой совокупности данных. В нашем случае, это общее количество оценок. Чтобы найти объём, необходимо сложить частоты всех оценок.

Объём = $8 + 11 + 7 + 2 + 2 = 30$.

Мода выборки — это значение, которое встречается в данных наиболее часто. Для нахождения моды нужно определить, какая оценка имеет наибольшую частоту.

Согласно таблице частот, оценка «4» встречается 11 раз, что чаще любой другой оценки. Следовательно, модой данной выборки является оценка «4».

Ответ: объём выборки равен 30, мода равна 4.

б) определите часть (долю) пятёрок среди всех оценок (включая «н»);

Часть (или доля) определяется как отношение количества интересующих нас событий к общему числу всех событий. В данном случае, нужно найти отношение числа пятёрок к общему количеству оценок.

Количество пятёрок равно 8.

Общее количество оценок равно 30.

Доля пятёрок вычисляется по формуле: $ \text{Доля} = \frac{\text{Частота оценки}}{\text{Объём выборки}} $.

Доля пятёрок = $ \frac{8}{30} $. Сократив дробь, получаем $ \frac{4}{15} $.

Ответ: доля пятёрок составляет $ \frac{4}{15} $.

в) определите части (доли) остальных оценок;

Используя тот же подход, что и в пункте б), найдём доли для остальных оценок.

Доля четвёрок (оценка «4»):
Количество четвёрок: 11.
Доля = $ \frac{11}{30} $. Эта дробь является несократимой.

Доля троек (оценка «3»):
Количество троек: 7.
Доля = $ \frac{7}{30} $. Эта дробь является несократимой.

Доля двоек (оценка «2»):
Количество двоек: 2.
Доля = $ \frac{2}{30} = \frac{1}{15} $.

Доля неявившихся (отметка «н»):
Количество «н»: 2.
Доля = $ \frac{2}{30} = \frac{1}{15} $.

Ответ: доля четвёрок – $ \frac{11}{30} $, доля троек – $ \frac{7}{30} $, доля двоек – $ \frac{1}{15} $, доля неявившихся – $ \frac{1}{15} $.

г) составьте таблицу распределения процентных долей оценок.

Для перевода доли в проценты необходимо умножить значение доли на 100%. Выполним расчёты для каждой оценки.

Процентная доля пятёрок: $ \frac{4}{15} \cdot 100\% = \frac{400}{15}\% = \frac{80}{3}\% = 26\frac{2}{3}\% $.

Процентная доля четвёрок: $ \frac{11}{30} \cdot 100\% = \frac{1100}{30}\% = \frac{110}{3}\% = 36\frac{2}{3}\% $.

Процентная доля троек: $ \frac{7}{30} \cdot 100\% = \frac{700}{30}\% = \frac{70}{3}\% = 23\frac{1}{3}\% $.

Процентная доля двоек: $ \frac{1}{15} \cdot 100\% = \frac{100}{15}\% = \frac{20}{3}\% = 6\frac{2}{3}\% $.

Процентная доля неявившихся: $ \frac{1}{15} \cdot 100\% = \frac{100}{15}\% = \frac{20}{3}\% = 6\frac{2}{3}\% $.

Сумма всех процентных долей: $ 26\frac{2}{3}\% + 36\frac{2}{3}\% + 23\frac{1}{3}\% + 6\frac{2}{3}\% + 6\frac{2}{3}\% = 100\% $.

Теперь составим итоговую таблицу распределения процентных долей.

Ответ: таблица распределения процентных долей оценок представлена выше.

12.2 Приведите левые части следующих уравнений к виду $ax + by + c$:

1) $3x - 4y + 5 = 0$

2) $0,5(4x + 1) - y = 0$

3) $y - x = 0$

4) $x = 0$

5) $y = 0$

6) $5y - 4 = 0$

7) $3(x + 2y) - 8 = 0$

8) $5 - 1,5(y - 2x) = 0$

9) $2(x + 2y) - 21 = 0$

10) $-(2y - 3x) + 1 = 0$

11) $5 - 3(y - x) = 0$

12) $-(x - y) + 1 = 0$

13) $0,5(3y - 2x) + 5 = 0$

а) Запишите ряд данных, состоящий из коэффициентов при переменной $x$.

б) Найдите объём и размах полученного ряда данных.

в) Составьте упорядоченный ряд данных и найдите его медиану.

г) Чему равна мода? Сколько раз она встретилась в ряде данных?

д) Сколько раз встретилось число $-1$, число $0$, число $1$, число $2$?

е) Составьте таблицу распределения полученных данных.

ж) Сложите все числа во второй строке таблицы распределения. Объясните, почему ответ совпал с объёмом ряда данных.

з) Может ли во второй строке какой-либо таблицы распределения данных стоять число 0?

Десять спортсменов соревновались в прыжках в высоту, в длину, вправо и влево. Вот какие места они заняли:

Высота Длина Вправо Влево Сумма

Вова 5 3 8 2

Вася 9 8 3 7

Витя 8 9 7 3

Валера 1 4 5 8

Веня 3 2 2 10

Виталик 7 7 4 9

Вадик 4 1 9 4

Владик 10 10 1 5

Витас 2 5 10 1

Ваня 6 6 6 6

Сначала приведем левые части каждого уравнения к стандартному виду $ax + by + c = 0$ и определим коэффициент $a$ (коэффициент при переменной $x$).

1. $3x - 4y + 5 = 0 \implies a = 3$
2. $0,5(4x + 1) - y = 0 \implies 2x + 0,5 - y = 0 \implies 2x - y + 0,5 = 0 \implies a = 2$
3. $y - x = 0 \implies -x + y + 0 = 0 \implies a = -1$
4. $x = 0 \implies 1x + 0y + 0 = 0 \implies a = 1$
5. $y = 0 \implies 0x + 1y + 0 = 0 \implies a = 0$
6. $5y - 4 = 0 \implies 0x + 5y - 4 = 0 \implies a = 0$
7. $3(x + 2y) - 8 = 0 \implies 3x + 6y - 8 = 0 \implies a = 3$
8. $5 - 1,5(y - 2x) = 0 \implies 5 - 1,5y + 3x = 0 \implies 3x - 1,5y + 5 = 0 \implies a = 3$
9. $2(x + 2y) - 21 = 0 \implies 2x + 4y - 21 = 0 \implies a = 2$
10. $-(2y - 3x) + 1 = 0 \implies -2y + 3x + 1 = 0 \implies 3x - 2y + 1 = 0 \implies a = 3$
11. $5 - 3(y - x) = 0 \implies 5 - 3y + 3x = 0 \implies 3x - 3y + 5 = 0 \implies a = 3$
12. $-(x - y) + 1 = 0 \implies -x + y + 1 = 0 \implies a = -1$
13. $0,5(3y - 2x) + 5 = 0 \implies 1,5y - x + 5 = 0 \implies -x + 1,5y + 5 = 0 \implies a = -1$

На основе вычислений выше, составляем ряд данных из полученных коэффициентов $a$.

Ответ: 3, 2, -1, 1, 0, 0, 3, 3, 2, 3, 3, -1, -1.

Объём ряда данных — это общее количество элементов в ряду. В данном ряду 13 чисел.

Размах ряда данных — это разность между его максимальным и минимальным значениями.

Максимальное значение в ряду: $3$.

Минимальное значение в ряду: $-1$.

Размах = $3 - (-1) = 3 + 1 = 4$.

Ответ: Объём ряда равен 13, размах ряда равен 4.

Упорядочим полученный ряд данных по возрастанию:

-1, -1, -1, 0, 0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3.

Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда. Так как в ряду 13 (нечетное количество) элементов, медиана будет равна элементу на позиции $(13 + 1) / 2 = 7$.

Седьмым элементом в упорядоченном ряду является число 2.

Ответ: Упорядоченный ряд: -1, -1, -1, 0, 0, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3. Медиана ряда равна 2.

Мода — это значение в ряду данных, которое встречается чаще всего.

Подсчитаем частоту каждого значения:

• -1 встречается 3 раза
• 0 встречается 2 раза
• 1 встречается 1 раз
• 2 встречается 2 раза
• 3 встречается 5 раз

Чаще всего в ряду встречается число 3.

Ответ: Мода ряда равна 3. Она встретилась в ряде 5 раз.

Проанализировав ряд данных, подсчитаем частоту каждого из указанных чисел.

Ответ: Число -1 встретилось 3 раза, число 0 — 2 раза, число 1 — 1 раз, число 2 — 2 раза.

Таблица распределения (частотная таблица) показывает, сколько раз каждое уникальное значение (варианта) встречается в ряду данных. В первой строке таблицы указываются уникальные значения из ряда, а во второй — их частота.

Ответ:

Числа во второй строке таблицы распределения — это частоты: 3, 2, 1, 2, 5.

Их сумма равна: $3 + 2 + 1 + 2 + 5 = 13$.

Объём ряда данных, как мы выяснили в пункте (б), также равен 13.

Результат совпадает, потому что вторая строка таблицы распределения показывает, сколько раз встречается каждое уникальное значение в ряду. Сумма всех частот по определению равна общему количеству всех элементов в ряду, что и называется объёмом ряда данных.

Ответ: Сумма чисел во второй строке равна 13. Этот результат совпадает с объёмом ряда данных, так как сумма частот всех значений ряда равна общему числу элементов в этом ряду.

Вторая строка таблицы распределения показывает частоту — то есть, сколько раз значение из первой строки встречается в исходном наборе данных.

В таблицу распределения принято включать только те значения, которые действительно присутствуют в ряду данных. Если значение присутствует в ряду, его частота не может быть равна нулю (она должна быть не менее 1). Если бы частота некоторого значения была равна 0, это означало бы, что этого значения нет в ряду, и его не было бы смысла включать в таблицу.

Ответ: Нет, не может. Если значение включено в первую строку таблицы распределения, это означает, что оно есть в исходном наборе данных, и его частота (число во второй строке) должна быть больше нуля.