Страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Решите графически систему уравнений:

13.12 a)

$\begin{cases} 2x + y = 1, \\ 2x + y = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = \frac{2}{5}x - 1, \\ 4x - 10y = 10; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = -\frac{1}{3}x + 2, \\ x + 3y = 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - 3y = 2, \\ 2x - 6y = 4. \end{cases}$

а)

Чтобы решить систему графически, построим графики каждого уравнения в одной системе координат. Каждое уравнение является линейным, поэтому его график — прямая.

$\begin{cases} 2x + y = 1 \\ 2x + y = 3 \end{cases}$

1. Для первого уравнения $2x + y = 1$ выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение вида $y = kx + b$:
$y = -2x + 1$.
Это прямая с угловым коэффициентом $k = -2$ и пересечением с осью OY в точке $(0, 1)$.
Найдём две точки для построения прямой:
- если $x = 0$, то $y = 1$. Точка $(0, 1)$.
- если $x = 1$, то $y = -2(1) + 1 = -1$. Точка $(1, -1)$.

2. Для второго уравнения $2x + y = 3$ также выразим $y$ через $x$:
$y = -2x + 3$.
Это прямая с угловым коэффициентом $k = -2$ и пересечением с осью OY в точке $(0, 3)$.
Найдём две точки для построения прямой:
- если $x = 0$, то $y = 3$. Точка $(0, 3)$.
- если $x = 1$, то $y = -2(1) + 3 = 1$. Точка $(1, 1)$.

Анализируя уравнения $y = -2x + 1$ и $y = -2x + 3$, мы видим, что угловые коэффициенты прямых одинаковы ($k_1 = k_2 = -2$), а точки пересечения с осью OY различны ($b_1 = 1$, $b_2 = 3$). Это означает, что прямые параллельны и никогда не пересекутся.

Поскольку графики уравнений не имеют точек пересечения, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

б)

Рассмотрим систему:

$\begin{cases} y = \frac{2}{5}x - 1 \\ 4x - 10y = 10 \end{cases}$

1. Первое уравнение уже дано в виде $y = kx + b$: $y = \frac{2}{5}x - 1$.
Это прямая. Найдём две точки для её построения:
- если $x = 0$, то $y = -1$. Точка $(0, -1)$.
- если $x = 5$, то $y = \frac{2}{5}(5) - 1 = 2 - 1 = 1$. Точка $(5, 1)$.

2. Преобразуем второе уравнение $4x - 10y = 10$ к виду $y = kx + b$:
$-10y = -4x + 10$
$y = \frac{-4}{-10}x + \frac{10}{-10}$
$y = \frac{2}{5}x - 1$.

Второе уравнение после преобразования полностью совпадает с первым. Это означает, что графики обоих уравнений — одна и та же прямая.

Поскольку графики совпадают, любая точка этой прямой является решением системы. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: бесконечно много решений.

в)

Рассмотрим систему:

$\begin{cases} y = -\frac{1}{3}x + 2 \\ x + 3y = 3 \end{cases}$

1. Первое уравнение $y = -\frac{1}{3}x + 2$ уже представлено в удобном для построения виде.
Это прямая. Найдём две точки:
- если $x = 0$, то $y = 2$. Точка $(0, 2)$.
- если $x = 3$, то $y = -\frac{1}{3}(3) + 2 = -1 + 2 = 1$. Точка $(3, 1)$.

2. Преобразуем второе уравнение $x + 3y = 3$ к виду $y = kx + b$:
$3y = -x + 3$
$y = -\frac{1}{3}x + 1$.
Это прямая. Найдём две точки:
- если $x = 0$, то $y = 1$. Точка $(0, 1)$.
- если $x = 3$, то $y = -\frac{1}{3}(3) + 1 = -1 + 1 = 0$. Точка $(3, 0)$.

Угловые коэффициенты прямых $y = -\frac{1}{3}x + 2$ и $y = -\frac{1}{3}x + 1$ одинаковы ($k_1 = k_2 = -\frac{1}{3}$), а свободные члены различны ($b_1 = 2$, $b_2 = 1$). Это означает, что прямые параллельны.

Так как графики не пересекаются, система уравнений не имеет решений.

Ответ: нет решений.

г)

Рассмотрим систему:

$\begin{cases} x - 3y = 2 \\ 2x - 6y = 4 \end{cases}$

1. Преобразуем первое уравнение $x - 3y = 2$ к виду $y = kx + b$:
$-3y = -x + 2$
$y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$.
Найдём две точки для построения этой прямой:
- если $x = 2$, то $y = \frac{1}{3}(2) - \frac{2}{3} = 0$. Точка $(2, 0)$.
- если $x = -1$, то $y = \frac{1}{3}(-1) - \frac{2}{3} = -1$. Точка $(-1, -1)$.

2. Преобразуем второе уравнение $2x - 6y = 4$ к виду $y = kx + b$:
$-6y = -2x + 4$
$y = \frac{-2}{-6}x + \frac{4}{-6}$
$y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$.

Можно также заметить, что второе уравнение получается из первого умножением обеих частей на 2. Уравнения эквивалентны.

Так как оба уравнения описывают одну и ту же прямую, их графики совпадают. Любая точка этой прямой является решением системы.

Ответ: бесконечно много решений.

Решите графически систему уравнений:

13.13 а) $\begin{cases} x + y = -5 \\ 3x - y = -7 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - 2y = 7 \\ 3x + 2y = 5 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - 2y = 1 \\ y - x = 1 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + y = -2 \\ 2x - y = -4 \end{cases}$

Чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить графики каждого уравнения системы в одной координатной плоскости и найти координаты точки их пересечения. Эта точка и будет решением системы.

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = -5, \\ 3x - y = -7; \end{cases}$

Для построения графиков выразим y через x в каждом уравнении.

1. Для первого уравнения $x + y = -5$ получаем $y = -x - 5$. Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем их:

• при $x=0$, $y = -0 - 5 = -5$. Точка $(0; -5)$.
• при $x=-5$, $y = -(-5) - 5 = 0$. Точка $(-5; 0)$.

2. Для второго уравнения $3x - y = -7$ получаем $y = 3x + 7$. Это также линейная функция. Найдем две точки для ее графика:

• при $x=0$, $y = 3 \cdot 0 + 7 = 7$. Точка $(0; 7)$.
• при $x=-2$, $y = 3 \cdot (-2) + 7 = -6 + 7 = 1$. Точка $(-2; 1)$.

3. Построим графики этих двух прямых в одной системе координат. Прямая $y = -x - 5$ проходит через точки $(0; -5)$ и $(-5; 0)$. Прямая $y = 3x + 7$ проходит через точки $(0; 7)$ и $(-2; 1)$.

Графики пересекаются в точке с координатами $(-3; -2)$.

Проверка: подставим найденные значения в исходную систему.

$-3 + (-2) = -5$ (Верно)

$3(-3) - (-2) = -9 + 2 = -7$ (Верно)

Ответ: $(-3; -2)$

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - 2y = 7, \\ 3x + 2y = 5; \end{cases}$

Выразим y через x в каждом уравнении.

1. Для первого уравнения $x - 2y = 7$ получаем $-2y = -x + 7$, то есть $y = \frac{1}{2}x - 3.5$. Найдем две точки:

• при $x=1$, $y = \frac{1}{2}(1) - 3.5 = 0.5 - 3.5 = -3$. Точка $(1; -3)$.
• при $x=7$, $y = \frac{1}{2}(7) - 3.5 = 3.5 - 3.5 = 0$. Точка $(7; 0)$.

2. Для второго уравнения $3x + 2y = 5$ получаем $2y = -3x + 5$, то есть $y = -\frac{3}{2}x + 2.5$. Найдем две точки:

• при $x=1$, $y = -\frac{3}{2}(1) + 2.5 = -1.5 + 2.5 = 1$. Точка $(1; 1)$.
• при $x=3$, $y = -\frac{3}{2}(3) + 2.5 = -4.5 + 2.5 = -2$. Точка $(3; -2)$.

3. Построим графики. Прямая $y = \frac{1}{2}x - 3.5$ проходит через точки $(1; -3)$ и $(7; 0)$. Прямая $y = -\frac{3}{2}x + 2.5$ проходит через точки $(1; 1)$ и $(3; -2)$.

Точка пересечения графиков имеет координаты $(3; -2)$.

Проверка:

$3 - 2(-2) = 3 + 4 = 7$ (Верно)

$3(3) + 2(-2) = 9 - 4 = 5$ (Верно)

Ответ: $(3; -2)$

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - 2y = 1, \\ y - x = 1; \end{cases}$

Выразим y через x в каждом уравнении.

1. Для первого уравнения $x - 2y = 1$ получаем $-2y = -x + 1$, то есть $y = \frac{1}{2}x - 0.5$. Найдем две точки:

• при $x=1$, $y = \frac{1}{2}(1) - 0.5 = 0$. Точка $(1; 0)$.
• при $x=-1$, $y = \frac{1}{2}(-1) - 0.5 = -1$. Точка $(-1; -1)$.

2. Для второго уравнения $y - x = 1$ получаем $y = x + 1$. Найдем две точки:

• при $x=0$, $y = 0 + 1 = 1$. Точка $(0; 1)$.
• при $x=-1$, $y = -1 + 1 = 0$. Точка $(-1; 0)$.

3. Построим графики. Прямая $y = \frac{1}{2}x - 0.5$ проходит через точки $(1; 0)$ и $(-1; -1)$. Прямая $y = x + 1$ проходит через точки $(0; 1)$ и $(-1; 0)$.

Точка пересечения графиков имеет координаты $(-3; -2)$.

Проверка:

$-3 - 2(-2) = -3 + 4 = 1$ (Верно)

$-2 - (-3) = -2 + 3 = 1$ (Верно)

Ответ: $(-3; -2)$

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = -2, \\ 2x - y = -4; \end{cases}$

Выразим y через x в каждом уравнении.

1. Для первого уравнения $x + y = -2$ получаем $y = -x - 2$. Найдем две точки:

• при $x=0$, $y = -0 - 2 = -2$. Точка $(0; -2)$.
• при $x=-2$, $y = -(-2) - 2 = 0$. Точка $(-2; 0)$.

2. Для второго уравнения $2x - y = -4$ получаем $-y = -2x - 4$, то есть $y = 2x + 4$. Найдем две точки:

• при $x=0$, $y = 2(0) + 4 = 4$. Точка $(0; 4)$.
• при $x=-2$, $y = 2(-2) + 4 = 0$. Точка $(-2; 0)$.

3. Построим графики. Прямая $y = -x - 2$ проходит через точки $(0; -2)$ и $(-2; 0)$. Прямая $y = 2x + 4$ проходит через точки $(0; 4)$ и $(-2; 0)$.

Графики пересекаются в точке с координатами $(-2; 0)$.

Проверка:

$-2 + 0 = -2$ (Верно)

$2(-2) - 0 = -4$ (Верно)

Ответ: $(-2; 0)$

13.14 Составьте какую-либо систему двух линейных уравнений с двумя переменными, если известно, что решением этой системы является пара чисел:

а) (0; 6);

б) (-3; -4);

в) (-1; 2);

г) (5; -7).

Для того чтобы составить систему двух линейных уравнений с двумя переменными, решением которой является заданная пара чисел $(x_0, y_0)$, необходимо подобрать коэффициенты для двух различных линейных уравнений вида $ax + by = c$ таким образом, чтобы при подстановке $x = x_0$ и $y = y_0$ оба равенства оказались верными. Это можно сделать, выбрав произвольные коэффициенты $a$ и $b$ (не равные нулю одновременно) и вычислив значение $c$ по формуле $c = ax_0 + by_0$. Повторив эту процедуру для другого набора коэффициентов, мы получим второе уравнение системы. Для каждой пары чисел существует бесконечное множество подходящих систем уравнений. В примерах ниже мы будем использовать простые комбинации переменных, такие как их сумма и разность.

а) (0; 6)

Дана пара чисел $x=0$ и $y=6$.
1. Составим первое уравнение. Возьмем за основу сумму переменных $x+y$. Подставим в нее заданные значения, чтобы найти свободный член: $0+6=6$. Таким образом, первое уравнение: $x+y=6$.
2. Составим второе уравнение. Возьмем разность переменных $x-y$. Подставим значения: $0-6=-6$. Второе уравнение: $x-y=-6$.
В результате получаем следующую систему уравнений:
Ответ: $ \begin{cases} x + y = 6, \\ x - y = -6. \end{cases} $

б) (-3; -4)

Дана пара чисел $x=-3$ и $y=-4$.
1. Для первого уравнения используем сумму $x+y$. Вычисляем правую часть: $(-3)+(-4)=-7$. Первое уравнение: $x+y=-7$.
2. Для второго уравнения используем разность $x-y$. Вычисляем правую часть: $(-3)-(-4)=-3+4=1$. Второе уравнение: $x-y=1$.
Искомая система уравнений:
Ответ: $ \begin{cases} x + y = -7, \\ x - y = 1. \end{cases} $

в) (-1; 2)

Дана пара чисел $x=-1$ и $y=2$.
1. Для первого уравнения возьмем сумму $x+y$. Подставляем значения: $-1+2=1$. Первое уравнение: $x+y=1$.
2. Для второго уравнения возьмем разность $x-y$. Подставляем значения: $-1-2=-3$. Второе уравнение: $x-y=-3$.
Полученная система уравнений:
Ответ: $ \begin{cases} x + y = 1, \\ x - y = -3. \end{cases} $

г) (5; -7)

Дана пара чисел $x=5$ и $y=-7$.
1. Составим первое уравнение на основе суммы $x+y$. Вычисляем: $5+(-7)=-2$. Первое уравнение: $x+y=-2$.
2. Составим второе уравнение на основе разности $x-y$. Вычисляем: $5-(-7)=5+7=12$. Второе уравнение: $x-y=12$.
Таким образом, одна из возможных систем:
Ответ: $ \begin{cases} x + y = -2, \\ x - y = 12. \end{cases} $

13.15 Решите графически систему уравнений:

a) $ \begin{cases} 5x - 2y = 9, \\ 7x + 2y = 3; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} -2x + 3y = 2, \\ 2x - 5y = -10. \end{cases} $

Чтобы решить систему уравнений $ \begin{cases} 5x - 2y = 9 \\ 7x + 2y = 3 \end{cases} $ графически, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Решением системы будет являться точка пересечения этих графиков. Оба уравнения являются линейными, поэтому их графики — это прямые линии.

1. Построим график первого уравнения: $5x - 2y = 9$.
Для этого выразим y через x:
$-2y = 9 - 5x$
$2y = 5x - 9$
$y = \frac{5}{2}x - \frac{9}{2}$ или $y = 2.5x - 4.5$.
Для построения прямой найдем координаты двух любых точек, принадлежащих ей:
- при $x = 1$, $y = 2.5 \cdot 1 - 4.5 = -2$. Получаем точку (1, -2).
- при $x = 3$, $y = 2.5 \cdot 3 - 4.5 = 7.5 - 4.5 = 3$. Получаем точку (3, 3).

2. Построим график второго уравнения: $7x + 2y = 3$.
Выразим y через x:
$2y = 3 - 7x$
$y = -\frac{7}{2}x + \frac{3}{2}$ или $y = -3.5x + 1.5$.
Найдем координаты двух точек для этой прямой:
- при $x = 1$, $y = -3.5 \cdot 1 + 1.5 = -2$. Получаем точку (1, -2).
- при $x = -1$, $y = -3.5 \cdot (-1) + 1.5 = 3.5 + 1.5 = 5$. Получаем точку (-1, 5).

3. Построим обе прямые на координатной плоскости. Прямая $y = 2.5x - 4.5$ проходит через точки (1, -2) и (3, 3). Прямая $y = -3.5x + 1.5$ проходит через точки (1, -2) и (-1, 5).
Мы видим, что обе прямые проходят через точку (1, -2), следовательно, это и есть точка их пересечения.

Ответ: (1, -2)

Решим графически систему уравнений $ \begin{cases} -2x + 3y = 2 \\ 2x - 5y = -10 \end{cases} $. Для этого так же построим графики этих линейных уравнений и найдем их точку пересечения.

1. Построим график первого уравнения: $-2x + 3y = 2$.
Выразим y через x:
$3y = 2x + 2$
$y = \frac{2}{3}x + \frac{2}{3}$.
Найдем две точки для построения прямой:
- при $x = -1$, $y = \frac{2}{3}(-1) + \frac{2}{3} = 0$. Получаем точку (-1, 0).
- при $x = 2$, $y = \frac{2}{3}(2) + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2$. Получаем точку (2, 2).

2. Построим график второго уравнения: $2x - 5y = -10$.
Выразим y через x:
$-5y = -2x - 10$
$5y = 2x + 10$
$y = \frac{2}{5}x + 2$ или $y = 0.4x + 2$.
Найдем две точки для этой прямой:
- при $x = 0$, $y = 0.4 \cdot 0 + 2 = 2$. Получаем точку (0, 2).
- при $x = 5$, $y = 0.4 \cdot 5 + 2 = 2 + 2 = 4$. Получаем точку (5, 4).

3. Построим обе прямые на координатной плоскости, используя найденные точки. Прямая $y = \frac{2}{3}x + \frac{2}{3}$ проходит через точки (-1, 0) и (2, 2). Прямая $y = 0.4x + 2$ проходит через точки (0, 2) и (5, 4).
Точка пересечения этих двух прямых является решением системы. На графике видно, что прямые пересекаются в точке (5, 4).
Для точности выполним проверку, подставив координаты точки (5, 4) в оба уравнения системы:
$-2(5) + 3(4) = -10 + 12 = 2$. Верно.
$2(5) - 5(4) = 10 - 20 = -10$. Верно.

Ответ: (5, 4)

13.16 К каждому из следующих уравнений подберите второе уравнение так, чтобы полученная система имела единственное решение:

а) $3x - 2y = 8;$

б) $-5x + 4y = 1;$

в) $-3x - 7y = 2;$

г) $5x + 6y = 9.$

Для того чтобы система двух линейных уравнений с двумя переменными имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при соответствующих переменных не были пропорциональны. Геометрически это означает, что прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной точке, то есть их угловые коэффициенты не равны.

Рассмотрим систему уравнений в общем виде:
$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $
Эта система имеет единственное решение, если выполняется условие непропорциональности коэффициентов:
$ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $
Наша задача — для каждого данного уравнения $a_1x + b_1y = c_1$ подобрать второе уравнение $a_2x + b_2y = c_2$, удовлетворяющее этому условию. Существует бесконечное множество таких уравнений, поэтому мы приведем по одному возможному примеру для каждого случая.

а) Дано уравнение $3x - 2y = 8$. Здесь коэффициенты $a_1 = 3$ и $b_1 = -2$.
Нужно подобрать коэффициенты $a_2$ и $b_2$ для второго уравнения так, чтобы выполнялось условие $ \frac{3}{a_2} \neq \frac{-2}{b_2} $.
Выберем простые коэффициенты, например, $a_2 = 1$ и $b_2 = 1$.
Проверим условие: $ \frac{3}{1} \neq \frac{-2}{1} $, или $3 \neq -2$. Условие выполняется.
В качестве свободного члена $c_2$ можно взять любое число, например, $c_2 = 0$.
Таким образом, второе уравнение может быть $x + y = 0$.
Ответ: $x + y = 0$.

б) Дано уравнение $-5x + 4y = 1$. Здесь $a_1 = -5$ и $b_1 = 4$.
Нам нужно подобрать коэффициенты $a_2$ и $b_2$ так, чтобы $ \frac{-5}{a_2} \neq \frac{4}{b_2} $.
Выберем, например, $a_2 = 1$ и $b_2 = 1$.
Проверим условие: $ \frac{-5}{1} \neq \frac{4}{1} $, или $-5 \neq 4$. Условие выполняется.
В качестве $c_2$ выберем, например, $c_2 = 2$.
Таким образом, второе уравнение может быть $x + y = 2$.
Ответ: $x + y = 2$.

в) Дано уравнение $-3x - 7y = 2$. Здесь $a_1 = -3$ и $b_1 = -7$.
Нам нужно подобрать коэффициенты $a_2$ и $b_2$ так, чтобы $ \frac{-3}{a_2} \neq \frac{-7}{b_2} $.
Выберем, например, $a_2 = 1$ и $b_2 = 0$. В этом случае второе уравнение будет иметь вид $x = c_2$.
Проверка условия $ \frac{-3}{1} \neq \frac{-7}{0} $ показывает, что оно выполняется (отношение не определено с одной стороны, что гарантирует непропорциональность).
В качестве $c_2$ выберем, например, $c_2 = 1$.
Таким образом, второе уравнение может быть $x = 1$.
Ответ: $x = 1$.

г) Дано уравнение $5x + 6y = 9$. Здесь $a_1 = 5$ и $b_1 = 6$.
Нам нужно подобрать коэффициенты $a_2$ и $b_2$ так, чтобы $ \frac{5}{a_2} \neq \frac{6}{b_2} $.
Выберем, например, $a_2 = 1$ и $b_2 = -1$.
Проверим условие: $ \frac{5}{1} \neq \frac{6}{-1} $, или $5 \neq -6$. Условие выполняется.
В качестве $c_2$ выберем, например, $c_2 = 0$.
Таким образом, второе уравнение может быть $x - y = 0$.
Ответ: $x - y = 0$.

13.17 К каждому из следующих уравнений подберите второе уравнение так, чтобы полученная система имела бесконечно много решений:

а) $8x + y = 5$;

б) $3x - 2y = 1$;

в) $7x + 8y = 4$;

г) $x - y = 3$.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда коэффициенты одного уравнения пропорциональны коэффициентам другого. Это означает, что должно выполняться равенство: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $.

Геометрически это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Чтобы найти второе уравнение, которое в системе с данным будет иметь бесконечно много решений, достаточно умножить исходное уравнение на любое отличное от нуля число $k$. Новое уравнение $k \cdot a_1x + k \cdot b_1y = k \cdot c_1$ будет эквивалентно исходному, и система, состоящая из этих двух уравнений, будет иметь бесконечное множество решений.

а) Дано уравнение $8x + y = 5$. Для получения второго уравнения, создающего систему с бесконечным числом решений, умножим исходное уравнение на произвольный ненулевой коэффициент, например, на $2$.
$2 \cdot (8x + y) = 2 \cdot 5$
$16x + 2y = 10$
Получаем систему: $ \begin{cases} 8x + y = 5 \\ 16x + 2y = 10 \end{cases} $
Проверим пропорциональность коэффициентов: $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$ и $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Условие выполняется.
Ответ: например, $16x + 2y = 10$.

б) Дано уравнение $3x - 2y = 1$. Умножим данное уравнение на произвольный ненулевой коэффициент, например, на $3$.
$3 \cdot (3x - 2y) = 3 \cdot 1$
$9x - 6y = 3$
Получаем систему: $ \begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ 9x - 6y = 3 \end{cases} $
Проверим пропорциональность коэффициентов: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ и $\frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$ и $\frac{1}{3}$. Условие выполняется.
Ответ: например, $9x - 6y = 3$.

в) Дано уравнение $7x + 8y = 4$. Умножим данное уравнение на произвольный ненулевой коэффициент, например, на $-1$.
$-1 \cdot (7x + 8y) = -1 \cdot 4$
$-7x - 8y = -4$
Получаем систему: $ \begin{cases} 7x + 8y = 4 \\ -7x - 8y = -4 \end{cases} $
Проверим пропорциональность коэффициентов: $\frac{7}{-7} = -1$ и $\frac{8}{-8} = -1$ и $\frac{4}{-4} = -1$. Условие выполняется.
Ответ: например, $-7x - 8y = -4$.

г) Дано уравнение $x - y = 3$. Умножим данное уравнение на произвольный ненулевой коэффициент, например, на $5$.
$5 \cdot (x - y) = 5 \cdot 3$
$5x - 5y = 15$
Получаем систему: $ \begin{cases} x - y = 3 \\ 5x - 5y = 15 \end{cases} $
Проверим пропорциональность коэффициентов: $\frac{1}{5}$ и $\frac{-1}{-5} = \frac{1}{5}$ и $\frac{3}{15} = \frac{1}{5}$. Условие выполняется.
Ответ: например, $5x - 5y = 15$.