Страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Найдите объём, размах и моду ряда данных

13, 7, 8, 11, 19, 13, 10, 10, 10, 13, 20, 19, 13.

Для решения задачи рассмотрим данный ряд чисел: 13, 7, 8, 11, 19, 13, 10, 10, 10, 13, 20, 19, 13.

Объём
Объём ряда данных — это общее количество элементов в этом ряду. Чтобы найти объём, нужно просто посчитать, сколько чисел в представленном ряду.
В ряду 13, 7, 8, 11, 19, 13, 10, 10, 10, 13, 20, 19, 13 содержится 13 чисел.
Ответ: 13

Размах
Размах ряда данных — это разность между его наибольшим и наименьшим значениями. Для нахождения размаха сначала упорядочим ряд по возрастанию, чтобы легко определить минимальное и максимальное значения.
Упорядоченный ряд: 7, 8, 10, 10, 10, 11, 13, 13, 13, 13, 19, 19, 20.
Наименьшее значение (минимум): $x_{min} = 7$.
Наибольшее значение (максимум): $x_{max} = 20$.
Размах вычисляется по формуле: $R = x_{max} - x_{min}$.
$R = 20 - 7 = 13$.
Ответ: 13

Мода
Мода ряда данных — это значение, которое встречается в ряду чаще других. Проанализируем частоту появления каждого числа в ряду.
Используем упорядоченный ряд: 7, 8, 10, 10, 10, 11, 13, 13, 13, 13, 19, 19, 20.
Подсчитаем, сколько раз встречается каждое число:

• 7 - 1 раз
• 8 - 1 раз
• 10 - 3 раза
• 11 - 1 раз
• 13 - 4 раза
• 19 - 2 раза
• 20 - 1 раз

Число 13 встречается 4 раза, что чаще любого другого числа в данном ряду. Следовательно, модой этого ряда является 13.
Ответ: 13

2. По ряду из предыдущего вопроса составьте упорядоченный ряд. Найдите его медиану.

Для выполнения задания необходимо использовать ряд чисел из предыдущего вопроса. Так как этот ряд не предоставлен, в качестве примера используем следующий гипотетический набор данных: $12, 5, 7, 15, 7, 10$.

Составление упорядоченного ряда

Первый шаг — составить упорядоченный ряд. Для этого нужно расположить все числа из исходного набора в порядке возрастания.

Исходный ряд: $12, 5, 7, 15, 7, 10$.

Упорядоченный по возрастанию ряд будет выглядеть так: $5, 7, 7, 10, 12, 15$.

Ответ: $5, 7, 7, 10, 12, 15$.

Нахождение медианы

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный ряд на две равные по количеству элементов части.

Сначала посчитаем количество элементов ($n$) в нашем упорядоченном ряду: $5, 7, 7, 10, 12, 15$. Всего $n = 6$ элементов.

Так как количество элементов в ряду четное, медиана вычисляется как среднее арифметическое двух элементов, находящихся в середине ряда. Номера этих элементов определяются по формулам: $n/2$ и $(n/2) + 1$.

Для нашего ряда это элементы с номерами $6/2 = 3$ и $(6/2) + 1 = 4$.

Третий элемент ряда — это $7$. Четвертый элемент — это $10$.

Теперь найдем их среднее арифметическое, чтобы вычислить медиану ($M_e$):

$M_e = \frac{7 + 10}{2} = \frac{17}{2} = 8.5$

Таким образом, медиана данного ряда чисел равна 8.5.

Ответ: $8.5$.

3. Составьте соответствующую таблицу распределения данных.

3.

Для составления таблицы распределения данных необходим сам набор (или ряд) данных. Поскольку в условии задачи он отсутствует, мы продемонстрируем подробное решение на гипотетическом примере.

Предположим, что дан следующий ряд данных, представляющий оценки 20 студентов за тест:
4, 5, 3, 2, 4, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 4, 2, 3, 5, 4, 5, 3, 4, 5

Таблица распределения — это таблица, показывающая, как распределены данные по определенным значениям. Для её создания нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Определение уникальных значений и объема выборки.
Сначала найдем все уникальные значения в нашем ряду. Эти значения называются вариантами ($x_i$). В нашем случае это оценки: 2, 3, 4, 5. Мы расположим их в таблице в порядке возрастания.
Общий объем выборки ($n$) — это общее количество элементов в ряду. У нас 20 оценок, следовательно, $n = 20$.

Шаг 2: Подсчет частоты для каждой варианты.
Частота ($n_i$) — это количество раз, которое каждое уникальное значение (варианта) встречается в наборе данных. Посчитаем частоту для каждой оценки:

• Оценка "2" ($x_1=2$) встречается: 2 раза. Таким образом, $n_1=2$.
• Оценка "3" ($x_2=3$) встречается: 4 раза. Таким образом, $n_2=4$.
• Оценка "4" ($x_3=4$) встречается: 8 раз. Таким образом, $n_3=8$.
• Оценка "5" ($x_4=5$) встречается: 6 раз. Таким образом, $n_4=6$.

Для проверки правильности подсчетов сложим все частоты: $2 + 4 + 8 + 6 = 20$. Сумма равна объему выборки $n$, значит, подсчеты верны.

Шаг 3: Расчет относительной частоты.
Относительная частота ($W_i$) показывает, какую долю составляет каждая варианта от общего объема данных. Она рассчитывается по формуле: $W_i = \frac{n_i}{n}$
В нашем случае $n=20$:

• Для $x_1=2$: $W_1 = \frac{2}{20} = 0.1$
• Для $x_2=3$: $W_2 = \frac{4}{20} = 0.2$
• Для $x_3=4$: $W_3 = \frac{8}{20} = 0.4$
• Для $x_4=5$: $W_4 = \frac{6}{20} = 0.3$

Сумма всех относительных частот всегда должна быть равна 1: $0.1 + 0.2 + 0.4 + 0.3 = 1.0$.
Относительную частоту также часто выражают в процентах, умножая полученное значение на 100%.

Шаг 4: Составление итоговой таблицы.
Теперь мы можем объединить все вычисленные значения в единую таблицу распределения данных.

Ответ:

4. По таблице распределения

Результат 0 3 7 8 9

Сколько раз встречается 2 4 2 3 4

восстановите соответствующий упорядоченный ряд.

Для того чтобы восстановить упорядоченный ряд по таблице распределения, необходимо перечислить каждый результат столько раз, сколько указано в строке "Сколько раз встречается", и расположить их в порядке возрастания.

В таблице представлены следующие данные:
- Результат 0 встречается 2 раза.
- Результат 3 встречается 4 раза.
- Результат 7 встречается 2 раза.
- Результат 8 встречается 3 раза.
- Результат 9 встречается 4 раза.

Так как результаты в таблице уже упорядочены по возрастанию (0, 3, 7, 8, 9), то для получения искомого упорядоченного ряда мы последовательно запишем каждое число соответствующее количество раз.

Сначала идут две цифры 0, затем четыре цифры 3, потом две цифры 7, три цифры 8 и, наконец, четыре цифры 9.

Ответ: 0, 0, 3, 3, 3, 3, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9.

5. Найдите объём, размах, моду и медиану ряда, полученного в задании 4.

Поскольку в задании требуется использовать ряд, полученный в задании 4, а само задание 4 не предоставлено, мы решим задачу для гипотетического ряда данных. Предположим, что в задании 4 был получен следующий ряд чисел:

3, 5, 1, 5, 4, 3, 5, 2, 4

Для этого ряда найдем требуемые статистические характеристики.

Объём

Объём ряда — это общее количество элементов (чисел) в этом ряду. Посчитаем количество чисел в нашем ряду: 3, 5, 1, 5, 4, 3, 5, 2, 4. Всего в ряду 9 элементов.

Ответ: 9.

Размах

Размах ряда — это разность между его наибольшим и наименьшим значениями. Сначала найдем наибольшее ($x_{max}$) и наименьшее ($x_{min}$) значения в ряду.

Наибольшее значение: $x_{max} = 5$.

Наименьшее значение: $x_{min} = 1$.

Размах вычисляется по формуле: $R = x_{max} - x_{min}$.

$R = 5 - 1 = 4$.

Ответ: 4.

Мода

Мода ряда — это значение, которое встречается в ряду чаще других. Для нахождения моды подсчитаем частоту каждого элемента в ряду:

число 1 встречается 1 раз;
число 2 встречается 1 раз;
число 3 встречается 2 раза;
число 4 встречается 2 раза;
число 5 встречается 3 раза.

Чаще всего в ряду встречается число 5 (3 раза). Следовательно, оно и является модой данного ряда.

Ответ: 5.

Медиана

Медиана ряда — это значение, которое находится в середине упорядоченного по возрастанию или убыванию ряда. Если количество элементов нечетное, медиана — это центральный элемент. Если количество элементов четное — это среднее арифметическое двух центральных элементов.

Сначала упорядочим наш ряд по возрастанию:

1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5

Объём ряда равен 9 (нечетное число). Номер центрального элемента можно найти по формуле $(n+1)/2$, где $n$ — объём ряда. В нашем случае это $(9+1)/2 = 5$-й элемент.

Пятым элементом в упорядоченном ряду является число 4.

Ответ: 4.

6. Может ли во второй строке таблицы распределения встретиться число 2,5? А в первой?

Таблица распределения дискретной случайной величины — это таблица, которая сопоставляет каждому возможному значению случайной величины его вероятность. Она состоит из двух строк. В первой строке ($x_i$) перечисляются все возможные значения, которые может принимать случайная величина. Во второй строке ($p_i$) указываются соответствующие им вероятности, то есть $p_i = P(X=x_i)$.

Может ли во второй строке таблицы распределения встретиться число 2,5?

Во второй строке таблицы распределения находятся вероятности $p_i$. Согласно аксиомам теории вероятностей, вероятность любого события является неотрицательным числом, не превышающим 1. То есть для любой вероятности $p_i$ должно выполняться неравенство $0 \le p_i \le 1$. Число 2,5 не удовлетворяет этому условию, так как $2,5 > 1$. Следовательно, число 2,5 не может находиться во второй строке таблицы распределения.

Ответ: нет, не может.

А в первой?

В первой строке таблицы распределения находятся возможные значения $x_i$ случайной величины. Случайная величина может принимать любые действительные значения в зависимости от описываемого ею случайного эксперимента. Нет никаких ограничений на то, чтобы эти значения были только целыми числами. Они могут быть дробными, иррациональными, положительными или отрицательными. Например, случайная величина может принимать значения 1; 2,5 и 5 с вероятностями 0,4; 0,3 и 0,3 соответственно. Сумма вероятностей в этом случае равна $0,4 + 0,3 + 0,3 = 1$, что является необходимым условием для закона распределения. Таким образом, число 2,5 может находиться в первой строке.

Ответ: да, может.

7. Может ли во второй строке таблицы распределения встретиться число $0$? А в первой?

Таблица распределения — это таблица, которая сопоставляет возможным значениям случайной величины их вероятности или частоты. Обычно она состоит из двух строк. В первой строке ($x_i$) указываются возможные значения, а во второй — соответствующие им вероятности ($p_i$) или частоты ($n_i$).

Может ли во второй строке таблицы распределения встретиться число 0?
Да, может. Вторая строка таблицы распределения может содержать как вероятности, так и частоты.

1. Вероятность. Если во второй строке указаны вероятности ($p_i$), то значение 0 означает, что событие, при котором случайная величина принимает соответствующее значение ($x_i$), является невозможным. Например, если мы рассматриваем случайную величину «число, выпавшее на стандартной игральной кости с гранями от 1 до 6», то вероятность выпадения значения 7 равна 0. Это будет отражено в таблице распределения.

2. Частота. Если во второй строке указаны частоты ($n_i$) (абсолютные или относительные), то 0 означает, что в ходе проведенных наблюдений или экспериментов данное значение $x_i$ ни разу не встретилось. Например, если мы подсчитываем количество автомобилей разного цвета на парковке, а желтых автомобилей там нет, то частота для желтого цвета будет равна 0.

Ответ: да, может.

А в первой?
Да, может. Первая строка ($x_i$) таблицы распределения содержит сами значения, которые может принимать случайная величина. Нуль может быть одним из таких значений. Например, количество забитых голов в футбольном матче может быть равно 0; количество орлов при подбрасывании монеты может быть равно 0 (если выпала решка); температура воздуха может быть равна 0 градусов Цельсия. Во всех этих случаях число 0 является одним из возможных значений случайной величины и будет находиться в первой строке таблицы распределения.

Ответ: да, может.

8. Приведите пример ряда, у которого объём больше размаха (меньше размаха, равен размаху).

Прежде чем приводить примеры, определим основные понятия.
Объём ряда — это количество чисел (элементов) в данном ряду. Обозначим его $N$.
Размах ряда — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду. Обозначим его $R$. Формула для вычисления: $R = x_{max} - x_{min}$.

Объём больше размаха
Нужно найти ряд, для которого $N > R$. Такое условие легко выполнить, если в ряду есть повторяющиеся элементы или элементы идут подряд.
Рассмотрим ряд: {5, 6, 7, 7, 8}.
Объём этого ряда (количество элементов) $N = 5$.
Наибольший элемент $x_{max} = 8$.
Наименьший элемент $x_{min} = 5$.
Размах ряда: $R = 8 - 5 = 3$.
Сравниваем объём и размах: $5 > 3$. Условие выполнено.
Ответ: {5, 6, 7, 7, 8}.

Объём меньше размаха
В этом случае требуется, чтобы $N < R$. Этого можно достичь, если значения в ряду находятся на большом расстоянии друг от друга.
Рассмотрим ряд: {10, 25}.
Объём этого ряда $N = 2$.
Наибольший элемент $x_{max} = 25$.
Наименьший элемент $x_{min} = 10$.
Размах ряда: $R = 25 - 10 = 15$.
Сравниваем объём и размах: $2 < 15$. Условие выполнено.
Ответ: {10, 25}.

Объём равен размаху
Для этого случая нужно подобрать ряд, у которого $N = R$.
Рассмотрим ряд: {2, 3, 6}.
Объём этого ряда $N = 3$.
Наибольший элемент $x_{max} = 6$.
Наименьший элемент $x_{min} = 3$.
Размах ряда: $R = 6 - 3 = 3$.
Сравниваем объём и размах: $3 = 3$. Условие выполнено.
Ответ: {2, 3, 6}.

9. Приведите пример ряда, у которого размах больше моды (меньше моды, равен моде).

Для решения этой задачи сначала определим основные понятия:

• Размах ряда (R) – это разность между наибольшим и наименьшим значениями этого ряда. Формула: $R = x_{max} - x_{min}$.
• Мода ряда (Mo) – это значение в ряду, которое встречается чаще других. В одном ряду может быть несколько мод или не быть вовсе.

Теперь приведем примеры для каждого из трех случаев.

Размах больше моды

Чтобы размах был больше моды, нужно создать ряд, в котором разница между максимальным и минимальным элементами велика, а наиболее часто встречающееся число — относительно мало.

Рассмотрим ряд: $\{2, 3, 3, 15\}$.

1. Найдем наибольшее ($x_{max}$) и наименьшее ($x_{min}$) значения ряда: $x_{max} = 15$, $x_{min} = 2$.
2. Вычислим размах: $R = x_{max} - x_{min} = 15 - 2 = 13$.
3. Найдем моду ряда. Число 3 встречается 2 раза, что чаще, чем любое другое число в ряду. Следовательно, мода $Mo = 3$.
4. Сравним размах и моду: $13 > 3$. Условие выполняется.

Ответ: например, ряд $\{2, 3, 3, 15\}$.

Размах меньше моды

Чтобы размах был меньше моды, нужно, чтобы все числа в ряду были близки друг к другу, а наиболее часто встречающееся число (мода) было достаточно большим.

Рассмотрим ряд: $\{18, 19, 20, 20, 20\}$.

1. Найдем наибольшее ($x_{max}$) и наименьшее ($x_{min}$) значения ряда: $x_{max} = 20$, $x_{min} = 18$.
2. Вычислим размах: $R = x_{max} - x_{min} = 20 - 18 = 2$.
3. Найдем моду ряда. Число 20 встречается 3 раза, что чаще других. Следовательно, мода $Mo = 20$.
4. Сравним размах и моду: $2 < 20$. Условие выполняется.

Ответ: например, ряд $\{18, 19, 20, 20, 20\}$.

Размах равен моде

Чтобы размах был равен моде, нужно подобрать такие минимальный и максимальный элементы, чтобы их разность была равна наиболее часто встречающемуся числу.

Рассмотрим ряд: $\{4, 5, 9, 9\}$.

1. Найдем наибольшее ($x_{max}$) и наименьшее ($x_{min}$) значения ряда: $x_{max} = 9$, $x_{min} = 4$.
2. Вычислим размах: $R = x_{max} - x_{min} = 9 - 4 = 5$.
3. Найдем моду ряда. В данном ряду нет числа, которое встречается чаще других. Давайте изменим ряд, чтобы мода была равна 5.
   Возьмем другой ряд: $\{4, 5, 5, 9\}$.
4. Найдем наибольшее ($x_{max}$) и наименьшее ($x_{min}$) значения нового ряда: $x_{max} = 9$, $x_{min} = 4$.
5. Вычислим размах: $R = x_{max} - x_{min} = 9 - 4 = 5$.
6. Найдем моду ряда. Число 5 встречается 2 раза, что чаще других. Следовательно, мода $Mo = 5$.
7. Сравним размах и моду: $5 = 5$. Условие выполняется.

Ответ: например, ряд $\{4, 5, 5, 9\}$.

10. Приведите пример ряда, у которого мода больше медианы (меньше медианы, равна медиане).

Для решения этой задачи необходимо привести примеры числовых рядов, для которых выполняются заданные соотношения между модой и медианой. Вспомним определения этих статистических характеристик:

Мода ряда чисел — это число, которое встречается в данном ряду чаще других.

Медиана упорядоченного по возрастанию ряда чисел — это число, которое находится в его середине. Если в ряду нечетное количество чисел, то медиана — это число, записанное посередине. Если в ряду четное количество чисел, то медиана — это среднее арифметическое двух чисел, находящихся посередине.

мода больше медианы

Рассмотрим следующий ряд чисел: $2, 3, 4, 8, 8$.

1. Ряд уже упорядочен по возрастанию: $2, 3, 4, 8, 8$.

2. Найдём моду ряда. Число $8$ встречается в ряду дважды, в то время как остальные числа — по одному разу. Следовательно, мода этого ряда равна $8$.

3. Найдём медиану ряда. В ряду $5$ элементов (нечетное число). Медианой является элемент, стоящий в середине упорядоченного ряда, то есть третий элемент. В данном ряду это число $4$.

4. Сравним полученные значения: мода равна $8$, медиана равна $4$. Так как $8 > 4$, в этом ряду мода больше медианы.

Ответ: например, ряд $2, 3, 4, 8, 8$.

меньше медианы

Рассмотрим следующий ряд чисел: $1, 1, 5, 9, 12$.

1. Ряд уже упорядочен по возрастанию: $1, 1, 5, 9, 12$.

2. Найдём моду. Число $1$ встречается два раза, чаще остальных чисел. Таким образом, мода ряда равна $1$.

3. Найдём медиану. В ряду $5$ элементов (нечетное число). Медиана — это третий элемент в упорядоченном ряду, то есть число $5$.

4. Сравним значения: мода равна $1$, медиана равна $5$. Так как $1 < 5$, в этом ряду мода меньше медианы.

Ответ: например, ряд $1, 1, 5, 9, 12$.

равна медиане

Рассмотрим следующий ряд чисел: $3, 5, 5, 5, 9$.

1. Ряд уже упорядочен по возрастанию: $3, 5, 5, 5, 9$.

2. Найдём моду. Число $5$ встречается три раза, что является наибольшей частотой в этом ряду. Значит, мода равна $5$.

3. Найдём медиану. В ряду $5$ элементов, поэтому медиана — это центральный (третий) элемент. Медиана равна $5$.

4. Сравним значения: мода равна $5$, медиана равна $5$. В этом случае $5 = 5$, то есть мода равна медиане. Это характерно для симметричных распределений.

Ответ: например, ряд $3, 5, 5, 5, 9$.

Решите систему уравнений методом подстановки:

O 14.2

a) $\begin{cases} y = 1 - 7x, \\ 4x - y = 32; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x = y + 2, \\ 3x - 2y = 9; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = x + 1, \\ 5x + 2y = 16; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x = 2y - 3, \\ 3x + 2y = 7. \end{cases}$

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y = 1 - 7x, \\ 4x - y = 32. \end{cases} $
В первом уравнении переменная $y$ уже выражена через $x$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$4x - (1 - 7x) = 32$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:
$4x - 1 + 7x = 32$
$11x - 1 = 32$
$11x = 32 + 1$
$11x = 33$
$x = \frac{33}{11}$
$x = 3$
Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив найденное значение $x$ в первое уравнение системы:
$y = 1 - 7x = 1 - 7 \cdot 3 = 1 - 21 = -20$
Таким образом, решение системы — пара чисел $(3; -20)$.
Ответ: $(3; -20)$.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x = y + 2, \\ 3x - 2y = 9. \end{cases} $
В первом уравнении переменная $x$ выражена через $y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$3(y + 2) - 2y = 9$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$:
$3y + 6 - 2y = 9$
$y + 6 = 9$
$y = 9 - 6$
$y = 3$
Теперь найдем соответствующее значение $x$, подставив найденное значение $y$ в первое уравнение системы:
$x = y + 2 = 3 + 2 = 5$
Таким образом, решение системы — пара чисел $(5; 3)$.
Ответ: $(5; 3)$.

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y = x + 1, \\ 5x + 2y = 16. \end{cases} $
В первом уравнении переменная $y$ выражена через $x$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$5x + 2(x + 1) = 16$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:
$5x + 2x + 2 = 16$
$7x + 2 = 16$
$7x = 16 - 2$
$7x = 14$
$x = \frac{14}{7}$
$x = 2$
Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив найденное значение $x$ в первое уравнение системы:
$y = x + 1 = 2 + 1 = 3$
Таким образом, решение системы — пара чисел $(2; 3)$.
Ответ: $(2; 3)$.

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x = 2y - 3, \\ 3x + 2y = 7. \end{cases} $
В первом уравнении переменная $x$ выражена через $y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$3(2y - 3) + 2y = 7$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$:
$6y - 9 + 2y = 7$
$8y - 9 = 7$
$8y = 7 + 9$
$8y = 16$
$y = \frac{16}{8}$
$y = 2$
Теперь найдем соответствующее значение $x$, подставив найденное значение $y$ в первое уравнение системы:
$x = 2y - 3 = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$
Таким образом, решение системы — пара чисел $(1; 2)$.
Ответ: $(1; 2)$.

Решите систему уравнений методом подстановки:

14.3

a) $\begin{cases} x = 4y, \\ x + 5y = 99; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = -4x, \\ x - y = 10; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = 6x, \\ 4x + y = 150; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x = -5y, \\ x - 4y = -18. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x = 4y, \\ x + 5y = 99; \end{cases}$

В первом уравнении переменная $x$ уже выражена через $y$. Подставим это выражение ($x = 4y$) во второе уравнение системы:

$(4y) + 5y = 99$

Решим полученное уравнение относительно $y$:

$9y = 99$

$y = \frac{99}{9}$

$y = 11$

Теперь найдем значение $x$, подставив найденное значение $y$ в первое уравнение:

$x = 4y = 4 \cdot 11 = 44$

Решением системы является пара чисел $(44; 11)$.

Ответ: $(44; 11)$

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y = -4x, \\ x - y = 10; \end{cases}$

В первом уравнении переменная $y$ выражена через $x$. Подставим это выражение ($y = -4x$) во второе уравнение системы:

$x - (-4x) = 10$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$x + 4x = 10$

$5x = 10$

$x = \frac{10}{5}$

$x = 2$

Теперь найдем значение $y$, подставив найденное значение $x$ в первое уравнение:

$y = -4x = -4 \cdot 2 = -8$

Решением системы является пара чисел $(2; -8)$.

Ответ: $(2; -8)$

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y = 6x, \\ 4x + y = 150; \end{cases}$

В первом уравнении переменная $y$ выражена через $x$. Подставим это выражение ($y = 6x$) во второе уравнение системы:

$4x + (6x) = 150$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$10x = 150$

$x = \frac{150}{10}$

$x = 15$

Теперь найдем значение $y$, подставив найденное значение $x$ в первое уравнение:

$y = 6x = 6 \cdot 15 = 90$

Решением системы является пара чисел $(15; 90)$.

Ответ: $(15; 90)$

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x = -5y, \\ x - 4y = -18; \end{cases}$

В первом уравнении переменная $x$ выражена через $y$. Подставим это выражение ($x = -5y$) во второе уравнение системы:

$(-5y) - 4y = -18$

Решим полученное уравнение относительно $y$:

$-9y = -18$

$y = \frac{-18}{-9}$

$y = 2$

Теперь найдем значение $x$, подставив найденное значение $y$ в первое уравнение:

$x = -5y = -5 \cdot 2 = -10$

Решением системы является пара чисел $(-10; 2)$.

Ответ: $(-10; 2)$

Решите систему уравнений методом подстановки:

14.4 a) $\begin{cases} x = 10y \\ 2x + 3y = 46 \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = -2.5x \\ 5x + 4y = 75 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x = -0.5y \\ -6x - 2y = 9 \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = 1.5x \\ 2y + 5x = 64 \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x = 10y, \\ 2x + 3y = 46; \end{cases} $

В первом уравнении переменная $x$ уже выражена через $y$. Подставим это выражение ($10y$) вместо $x$ во второе уравнение системы:

$2(10y) + 3y = 46$

Решим полученное уравнение относительно $y$:

$20y + 3y = 46$

$23y = 46$

$y = \frac{46}{23}$

$y = 2$

Теперь подставим найденное значение $y=2$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$x = 10y = 10 \cdot 2 = 20$

Ответ: $(20; 2)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y = -2,5x, \\ 5x + 4y = 75; \end{cases} $

В первом уравнении переменная $y$ выражена через $x$. Подставим это выражение ($-2,5x$) вместо $y$ во второе уравнение:

$5x + 4(-2,5x) = 75$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$5x - 10x = 75$

$-5x = 75$

$x = \frac{75}{-5}$

$x = -15$

Теперь подставим найденное значение $x=-15$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$y = -2,5x = -2,5 \cdot (-15) = 37,5$

Ответ: $(-15; 37,5)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x = -0,5y, \\ -6x - 2y = 9; \end{cases} $

В первом уравнении переменная $x$ выражена через $y$. Подставим это выражение ($-0,5y$) вместо $x$ во второе уравнение:

$-6(-0,5y) - 2y = 9$

Решим полученное уравнение относительно $y$:

$3y - 2y = 9$

$y = 9$

Теперь подставим найденное значение $y=9$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$x = -0,5y = -0,5 \cdot 9 = -4,5$

Ответ: $(-4,5; 9)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y = 1,5x, \\ 2y + 5x = 64. \end{cases} $

В первом уравнении переменная $y$ выражена через $x$. Подставим это выражение ($1,5x$) вместо $y$ во второе уравнение:

$2(1,5x) + 5x = 64$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$3x + 5x = 64$

$8x = 64$

$x = \frac{64}{8}$

$x = 8$

Теперь подставим найденное значение $x=8$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$y = 1,5x = 1,5 \cdot 8 = 12$

Ответ: $(8; 12)$.

В заданном уравнении выразите одну переменную через другую:

14.5

а) $2x + y = 4$;

б) $x + 6y = 9$;

в) $3a + b = 12$;

г) $c + 8d = 15$.

Чтобы выразить одну переменную через другую в линейном уравнении, необходимо выполнить алгебраические преобразования так, чтобы нужная переменная осталась одна в одной части уравнения (обычно в левой), а все остальные члены были перенесены в другую часть.

а) Дано уравнение $2x + y = 4$.

Чтобы выразить переменную $y$ через $x$, нужно изолировать $y$ в левой части. Для этого перенесем $2x$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$y = 4 - 2x$

Чтобы выразить переменную $x$ через $y$, сначала изолируем член с $x$:

$2x = 4 - y$

Затем разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 2:

$x = \frac{4 - y}{2}$

Ответ: $y = 4 - 2x$ или $x = \frac{4 - y}{2}$.

б) Дано уравнение $x + 6y = 9$.

Чтобы выразить переменную $x$ через $y$, перенесем $6y$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$x = 9 - 6y$

Чтобы выразить переменную $y$ через $x$, сначала изолируем член с $y$:

$6y = 9 - x$

Затем разделим обе части уравнения на 6:

$y = \frac{9 - x}{6}$

Ответ: $x = 9 - 6y$ или $y = \frac{9 - x}{6}$.

в) Дано уравнение $3a + b = 12$.

Чтобы выразить переменную $b$ через $a$, перенесем $3a$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$b = 12 - 3a$

Чтобы выразить переменную $a$ через $b$, сначала изолируем член с $a$:

$3a = 12 - b$

Затем разделим обе части уравнения на 3:

$a = \frac{12 - b}{3}$

Ответ: $b = 12 - 3a$ или $a = \frac{12 - b}{3}$.

г) Дано уравнение $c + 8d = 15$.

Чтобы выразить переменную $c$ через $d$, перенесем $8d$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$c = 15 - 8d$

Чтобы выразить переменную $d$ через $c$, сначала изолируем член с $d$:

$8d = 15 - c$

Затем разделим обе части уравнения на 8:

$d = \frac{15 - c}{8}$

Ответ: $c = 15 - 8d$ или $d = \frac{15 - c}{8}$.

В заданном уравнении выразите одну переменную через другую:

14.6 а) $6x - y = 18;$
б) $-a - 5b = 20;$
в) $18m - n = 3;$
г) $-p - 9q = 4.$

а) В данном уравнении $6x - y = 18$ можно выразить как переменную $y$ через $x$, так и переменную $x$ через $y$.
1. Выразим $y$ через $x$.
Для этого перенесем слагаемое $6x$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак:
$-y = 18 - 6x$
Теперь умножим обе части уравнения на $-1$:
$y = -(18 - 6x)$
$y = 6x - 18$

2. Выразим $x$ через $y$.
Для этого перенесем слагаемое $-y$ из левой части в правую:
$6x = 18 + y$
Разделим обе части уравнения на 6:
$x = \frac{18 + y}{6}$
$x = \frac{18}{6} + \frac{y}{6}$
$x = 3 + \frac{y}{6}$
Ответ: $y = 6x - 18$ или $x = 3 + \frac{y}{6}$.

б) В данном уравнении $-a - 5b = 20$ можно выразить как переменную $a$ через $b$, так и переменную $b$ через $a$.
1. Выразим $a$ через $b$.
Перенесем слагаемое $-5b$ в правую часть уравнения:
$-a = 20 + 5b$
Умножим обе части на $-1$:
$a = -(20 + 5b)$
$a = -20 - 5b$

2. Выразим $b$ через $a$.
Перенесем слагаемое $-a$ в правую часть:
$-5b = 20 + a$
Разделим обе части уравнения на $-5$:
$b = \frac{20 + a}{-5}$
$b = -\frac{20}{5} - \frac{a}{5}$
$b = -4 - \frac{a}{5}$
Ответ: $a = -20 - 5b$ или $b = -4 - \frac{a}{5}$.

в) В данном уравнении $18m - n = 3$ можно выразить как переменную $n$ через $m$, так и переменную $m$ через $n$.
1. Выразим $n$ через $m$.
Перенесем $18m$ в правую часть уравнения:
$-n = 3 - 18m$
Умножим обе части на $-1$:
$n = -(3 - 18m)$
$n = 18m - 3$

2. Выразим $m$ через $n$.
Перенесем $-n$ в правую часть:
$18m = 3 + n$
Разделим обе части уравнения на 18:
$m = \frac{3 + n}{18}$
Ответ: $n = 18m - 3$ или $m = \frac{3 + n}{18}$.

г) В данном уравнении $-p - 9q = 4$ можно выразить как переменную $p$ через $q$, так и переменную $q$ через $p$.
1. Выразим $p$ через $q$.
Перенесем $-9q$ в правую часть уравнения:
$-p = 4 + 9q$
Умножим обе части на $-1$:
$p = -(4 + 9q)$
$p = -4 - 9q$

2. Выразим $q$ через $p$.
Перенесем $-p$ в правую часть:
$-9q = 4 + p$
Разделим обе части уравнения на $-9$:
$q = \frac{4 + p}{-9}$
$q = -\frac{4 + p}{9}$
Ответ: $p = -4 - 9q$ или $q = -\frac{4+p}{9}$.

В заданном уравнении выразите одну переменную через другую:

14.7 a) $3s - 2t = 8;$

б) $7z + 4q = 11;$

в) $9r - 13s = 17;$

г) $5u + 7v = 21.$

а) Дано уравнение $3s - 2t = 8$.

Чтобы выразить переменную s через t, сначала изолируем слагаемое с s в левой части уравнения, перенеся $-2t$ в правую часть с противоположным знаком:

$3s = 8 + 2t$

Затем разделим обе части уравнения на коэффициент при s, то есть на 3:

$s = \frac{8 + 2t}{3}$

Чтобы выразить переменную t через s, изолируем слагаемое с t:

$-2t = 8 - 3s$

Разделим обе части уравнения на -2:

$t = \frac{8 - 3s}{-2}$

Для удобства можно изменить знаки в числителе и знаменателе:

$t = \frac{-(8 - 3s)}{-(-2)} = \frac{3s - 8}{2}$

Ответ: $s = \frac{8 + 2t}{3}$ или $t = \frac{3s - 8}{2}$.

б) Дано уравнение $7z + 4q = 11$.

Выразим переменную z через q. Перенесем $4q$ в правую часть:

$7z = 11 - 4q$

Разделим обе части на 7:

$z = \frac{11 - 4q}{7}$

Теперь выразим переменную q через z. Перенесем $7z$ в правую часть:

$4q = 11 - 7z$

Разделим обе части на 4:

$q = \frac{11 - 7z}{4}$

Ответ: $z = \frac{11 - 4q}{7}$ или $q = \frac{11 - 7z}{4}$.

в) Дано уравнение $9r - 13s = 17$.

Выразим переменную r через s. Перенесем $-13s$ в правую часть:

$9r = 17 + 13s$

Разделим обе части на 9:

$r = \frac{17 + 13s}{9}$

Теперь выразим переменную s через r. Изолируем слагаемое с s:

$-13s = 17 - 9r$

Разделим обе части на -13 и сменим знаки в числителе и знаменателе для упрощения:

$s = \frac{17 - 9r}{-13} = \frac{9r - 17}{13}$

Ответ: $r = \frac{17 + 13s}{9}$ или $s = \frac{9r - 17}{13}$.

г) Дано уравнение $5u + 7v = 21$.

Выразим переменную u через v. Перенесем $7v$ в правую часть:

$5u = 21 - 7v$

Разделим обе части на 5:

$u = \frac{21 - 7v}{5}$

Теперь выразим переменную v через u. Перенесем $5u$ в правую часть:

$7v = 21 - 5u$

Разделим обе части на 7:

$v = \frac{21 - 5u}{7}$

Ответ: $u = \frac{21 - 7v}{5}$ или $v = \frac{21 - 5u}{7}$.

Решите систему уравнений методом подстановки:

14.8 a) $ \begin{cases} 5x - 3y = 14, \\ 2x + y = 10; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x + 5y = 35, \\ 3x + 2y = 27; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 7x - 2y = 15, \\ 2x + y = 9; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x + 3y = 2, \\ 2x + 3y = 7. \end{cases} $

a) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 5x - 3y = 14, \\ 2x + y = 10; \end{cases}$

Метод подстановки заключается в том, чтобы выразить одну переменную через другую из одного уравнения и подставить это выражение в другое уравнение. Удобнее всего выразить переменную y из второго уравнения, так как ее коэффициент равен 1.

Из второго уравнения $2x + y = 10$ выражаем y:

$y = 10 - 2x$

Теперь подставляем полученное выражение для y в первое уравнение системы $5x - 3y = 14$:

$5x - 3(10 - 2x) = 14$

Решаем полученное уравнение с одной переменной x:

$5x - 30 + 6x = 14$

$11x = 14 + 30$

$11x = 44$

$x = \frac{44}{11}$

$x = 4$

Мы нашли значение x. Теперь найдем соответствующее значение y, подставив $x = 4$ в выражение $y = 10 - 2x$:

$y = 10 - 2 \cdot 4$

$y = 10 - 8$

$y = 2$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(4; 2)$.

Ответ: $(4; 2)$

б) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + 5y = 35, \\ 3x + 2y = 27; \end{cases}$

Выразим переменную x из первого уравнения, так как ее коэффициент равен 1.

Из первого уравнения $x + 5y = 35$ выражаем x:

$x = 35 - 5y$

Подставляем полученное выражение для x во второе уравнение системы $3x + 2y = 27$:

$3(35 - 5y) + 2y = 27$

Решаем полученное уравнение относительно y:

$105 - 15y + 2y = 27$

$-13y = 27 - 105$

$-13y = -78$

$y = \frac{-78}{-13}$

$y = 6$

Теперь найдем значение x, подставив $y = 6$ в выражение $x = 35 - 5y$:

$x = 35 - 5 \cdot 6$

$x = 35 - 30$

$x = 5$

Решение системы — пара чисел $(5; 6)$.

Ответ: $(5; 6)$

в) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 7x - 2y = 15, \\ 2x + y = 9; \end{cases}$

Выразим переменную y из второго уравнения $2x + y = 9$:

$y = 9 - 2x$

Подставляем полученное выражение для y в первое уравнение системы $7x - 2y = 15$:

$7x - 2(9 - 2x) = 15$

Решаем полученное уравнение относительно x:

$7x - 18 + 4x = 15$

$11x = 15 + 18$

$11x = 33$

$x = \frac{33}{11}$

$x = 3$

Найдем значение y, подставив $x = 3$ в выражение $y = 9 - 2x$:

$y = 9 - 2 \cdot 3$

$y = 9 - 6$

$y = 3$

Решение системы — пара чисел $(3; 3)$.

Ответ: $(3; 3)$

г) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + 3y = 2, \\ 2x + 3y = 7. \end{cases}$

Выразим переменную x из первого уравнения $x + 3y = 2$:

$x = 2 - 3y$

Подставляем полученное выражение для x во второе уравнение системы $2x + 3y = 7$:

$2(2 - 3y) + 3y = 7$

Решаем полученное уравнение относительно y:

$4 - 6y + 3y = 7$

$4 - 3y = 7$

$-3y = 7 - 4$

$-3y = 3$

$y = \frac{3}{-3}$

$y = -1$

Найдем значение x, подставив $y = -1$ в выражение $x = 2 - 3y$:

$x = 2 - 3(-1)$

$x = 2 + 3$

$x = 5$

Решение системы — пара чисел $(5; -1)$.

Ответ: $(5; -1)$