Страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

14.29 Составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения прямых $y = 9x - 28$ и $y = 13x + 12$.

Для того чтобы составить уравнение искомой прямой, нам необходимо знать координаты двух точек, через которые она проходит. Одна точка задана в условии — это начало координат $O(0, 0)$. Вторую точку мы найдем как точку пересечения двух данных прямых.

1. Нахождение координат точки пересечения.

Заданы две прямые уравнениями $y = 9x - 28$ и $y = 13x + 12$. В точке пересечения их координаты $x$ и $y$ равны. Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу ($x$) точки пересечения:

$9x - 28 = 13x + 12$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:

$9x - 13x = 12 + 28$

$-4x = 40$

$x = \frac{40}{-4} = -10$

Теперь найдем ординату ($y$) точки пересечения, подставив значение $x = -10$ в любое из двух исходных уравнений. Например, в первое:

$y = 9(-10) - 28 = -90 - 28 = -118$

Таким образом, точка пересечения двух прямых имеет координаты $(-10; -118)$.

2. Составление уравнения прямой.

Теперь нам нужно составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат $O(0, 0)$ и точку $A(-10; -118)$.

Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет общий вид $y = kx$, где $k$ — это угловой коэффициент. Чтобы найти значение $k$, подставим в это уравнение координаты точки $A(-10; -118)$, так как она лежит на этой прямой:

$-118 = k \cdot (-10)$

Отсюда выражаем $k$:

$k = \frac{-118}{-10} = 11.8$

Подставив найденный угловой коэффициент в общее уравнение, получаем искомое уравнение прямой:

$y = 11.8x$

Ответ: $y = 11.8x$

Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:

15.1 а) $\begin{cases} x - y = 5, \\ x + y = 7; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = 9, \\ -x + y = -3; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x + y = 11, \\ 3x - y = 9; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - 3y = 4, \\ -x + y = -8. \end{cases}$

а) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 5, \\ x + y = 7. \end{cases} $

Метод алгебраического сложения заключается в сложении двух уравнений системы для исключения одной из переменных. В данном случае коэффициенты при $y$ являются противоположными числами ($-1$ и $1$), поэтому при сложении переменная $y$ сократится.

Сложим левые и правые части уравнений:

$(x - y) + (x + y) = 5 + 7$

$2x = 12$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{12}{2}$

$x = 6$

Подставим найденное значение $x=6$ в любое из уравнений системы, чтобы найти $y$. Возьмем второе уравнение $x + y = 7$:

$6 + y = 7$

$y = 7 - 6$

$y = 1$

Ответ: $(6; 1)$.

б) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 9, \\ -x + y = -3. \end{cases} $

В этой системе коэффициенты при $x$ являются противоположными числами ($1$ и $-1$). Сложим уравнения, чтобы исключить $x$.

$(x + y) + (-x + y) = 9 + (-3)$

$2y = 6$

Найдем $y$:

$y = \frac{6}{2}$

$y = 3$

Подставим значение $y=3$ в первое уравнение $x + y = 9$, чтобы найти $x$:

$x + 3 = 9$

$x = 9 - 3$

$x = 6$

Ответ: $(6; 3)$.

в) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 2x + y = 11, \\ 3x - y = 9. \end{cases} $

Коэффициенты при переменной $y$ равны $1$ и $-1$. Сложим уравнения системы.

$(2x + y) + (3x - y) = 11 + 9$

$5x = 20$

Найдем $x$:

$x = \frac{20}{5}$

$x = 4$

Подставим значение $x=4$ в первое уравнение $2x + y = 11$, чтобы найти $y$:

$2 \cdot 4 + y = 11$

$8 + y = 11$

$y = 11 - 8$

$y = 3$

Ответ: $(4; 3)$.

г) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} x - 3y = 4, \\ -x + y = -8. \end{cases} $

Коэффициенты при переменной $x$ равны $1$ и $-1$. Сложим уравнения системы, чтобы исключить $x$.

$(x - 3y) + (-x + y) = 4 + (-8)$

$-2y = -4$

Найдем $y$:

$y = \frac{-4}{-2}$

$y = 2$

Подставим значение $y=2$ в первое уравнение $x - 3y = 4$, чтобы найти $x$:

$x - 3 \cdot 2 = 4$

$x - 6 = 4$

$x = 4 + 6$

$x = 10$

Ответ: $(10; 2)$.