Страница 82, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

16.15 Двое рабочих изготовили 162 детали. Первый работал 8 дней, а второй — 15 дней. Сколько деталей изготовил каждый рабочий, если первый изготовил за 5 дней на 3 детали больше, чем второй за 7 дней?

Для решения данной задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — количество деталей, которое первый рабочий изготавливает за один день (его производительность), а $y$ — производительность второго рабочего.

Из условия известно, что всего рабочие изготовили 162 детали. Первый работал 8 дней, а второй — 15 дней. На основе этих данных мы можем составить первое уравнение:

$8x + 15y = 162$

Также в условии сказано, что первый рабочий за 5 дней изготовил на 3 детали больше, чем второй за 7 дней. Это позволяет нам составить второе уравнение:

$5x = 7y + 3$

Приведем второе уравнение к стандартному виду:

$5x - 7y = 3$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 8x + 15y = 162 \\ 5x - 7y = 3 \end{cases}$

Решим эту систему методом исключения. Для этого умножим первое уравнение на 5, а второе — на 8, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали одинаковыми:

$\begin{cases} 5(8x + 15y) = 5 \cdot 162 \\ 8(5x - 7y) = 8 \cdot 3 \end{cases}$

$\begin{cases} 40x + 75y = 810 \\ 40x - 56y = 24 \end{cases}$

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$(40x + 75y) - (40x - 56y) = 810 - 24$

$40x + 75y - 40x + 56y = 786$

$131y = 786$

Найдем $y$:

$y = \frac{786}{131} = 6$

Таким образом, производительность второго рабочего составляет 6 деталей в день.

Подставим найденное значение $y=6$ в одно из исходных уравнений, например, во второе ($5x - 7y = 3$), чтобы найти $x$:

$5x - 7(6) = 3$

$5x - 42 = 3$

$5x = 3 + 42$

$5x = 45$

$x = \frac{45}{5} = 9$

Следовательно, производительность первого рабочего — 9 деталей в день.

Теперь мы можем ответить на главный вопрос задачи: сколько деталей изготовил каждый рабочий за все время.

Количество деталей, изготовленных первым рабочим (за 8 дней):

$8 \text{ дней} \times 9 \text{ деталей/день} = 72 \text{ детали}$

Количество деталей, изготовленных вторым рабочим (за 15 дней):

$15 \text{ дней} \times 6 \text{ деталей/день} = 90 \text{ деталей}$

Проверка: общее количество деталей $72 + 90 = 162$, что соответствует условию задачи.

Ответ: первый рабочий изготовил 72 детали, второй рабочий изготовил 90 деталей.

16.16 В квартире Ивана Петровича установлен двухтарифный счётчик, который позволяет учитывать расход электроэнергии по разным тарифам в дневное и ночное время. В январе расход электроэнергии в дневное время составил 200 киловатт-часов ($ \text{кВт} \cdot \text{ч} $), а в ночное — 20 $ \text{кВт} \cdot \text{ч} $. По квитанции Иван Петрович заплатил 640 р. В июле расход электроэнергии в дневное время составил 120 $ \text{кВт} \cdot \text{ч} $, а в ночное — 10 $ \text{кВт} \cdot \text{ч} $. По квитанции Иван Петрович заплатил 380 р. Вычислите дневной и ночной тариф расхода электроэнергии. (Тариф — это цена 1 киловатт-часа электроэнергии.)

Для решения данной задачи необходимо составить систему уравнений. Обозначим переменными искомые величины:

Пусть $x$ — стоимость 1 кВт·ч электроэнергии в дневное время (дневной тариф) в рублях.

Пусть $y$ — стоимость 1 кВт·ч электроэнергии в ночное время (ночной тариф) в рублях.

Исходя из данных за январь, составим первое уравнение. Расход составил 200 кВт·ч днем и 20 кВт·ч ночью, а общая сумма к оплате — 640 рублей.

$200x + 20y = 640$

Исходя из данных за июль, составим второе уравнение. Расход составил 120 кВт·ч днем и 10 кВт·ч ночью, а общая сумма к оплате — 380 рублей.

$120x + 10y = 380$

Получаем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} 200x + 20y = 640 \\ 120x + 10y = 380 \end{cases} $

Для упрощения решения разделим обе части первого уравнения на 20, а второго — на 10:

$ \begin{cases} 10x + y = 32 \\ 12x + y = 38 \end{cases} $

Теперь решим систему методом вычитания. Вычтем из второго уравнения первое:

$(12x + y) - (10x + y) = 38 - 32$

$12x - 10x = 6$

$2x = 6$

$x = 3$

Таким образом, дневной тариф составляет 3 рубля за кВт·ч.

Подставим найденное значение $x=3$ в первое упрощенное уравнение ($10x + y = 32$), чтобы найти $y$:

$10(3) + y = 32$

$30 + y = 32$

$y = 32 - 30$

$y = 2$

Таким образом, ночной тариф составляет 2 рубля за кВт·ч.

Ответ: дневной тариф составляет 3 рубля за кВт·ч, а ночной тариф — 2 рубля за кВт·ч.

16.17 Для учащихся приобрели футбольные и волейбольные мячи, причём волейбольных в 5 раз больше, чем футбольных. На следующий год приобрели новую партию мячей, причём футбольных стало в 6 раз больше, чем было, волейбольных — в 4 раза больше, чем было, а всего мячей стало 52. Сколько мячей закупили в первый год?

Для решения задачи обозначим за x количество футбольных мячей, которые приобрели в первый год.

Из условия известно, что волейбольных мячей приобрели в 5 раз больше, чем футбольных. Значит, количество волейбольных мячей в первый год было равно $5x$.

Общее количество мячей, закупленных в первый год, равно сумме футбольных и волейбольных: $x + 5x = 6x$.

На следующий год количество футбольных мячей стало в 6 раз больше, чем было изначально, то есть их стало $6 \times x = 6x$.

Количество волейбольных мячей стало в 4 раза больше, чем было изначально, то есть их стало $4 \times (5x) = 20x$.

После второй закупки общее количество мячей стало 52. Составим и решим уравнение, сложив количество футбольных и волейбольных мячей на второй год:

$6x + 20x = 52$

$26x = 52$

$x = \frac{52}{26}$

$x = 2$

Таким образом, в первый год было закуплено 2 футбольных мяча.

Чтобы найти, сколько всего мячей закупили в первый год, нужно вычислить общее их количество, которое мы ранее определили как $6x$.

Подставим найденное значение x:

$6 \times 2 = 12$

Ответ: в первый год закупили 12 мячей.

16.18 Сумма цифр двузначного числа равна 14. Если его цифры поменять местами, то полученное двузначное число будет на 18 меньше первоначального. Найдите исходное число.

Пусть искомое двузначное число состоит из $x$ десятков и $y$ единиц. Тогда его можно записать в виде $10x + y$.

По условию, сумма цифр этого числа равна 14. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 14$

Если в этом числе поменять цифры местами, то получится новое число, равное $10y + x$. По условию, это новое число на 18 меньше первоначального. Это дает нам второе уравнение:

$(10x + y) - (10y + x) = 18$

Упростим второе уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$10x + y - 10y - x = 18$

$9x - 9y = 18$

Разделим обе части уравнения на 9:

$x - y = 2$

Теперь у нас есть система из двух простых линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x + y = 14 \\ x - y = 2 \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы, чтобы найти значение $x$:

$(x + y) + (x - y) = 14 + 2$

$2x = 16$

$x = 8$

Теперь, зная $x$, подставим его значение в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$8 + y = 14$

$y = 14 - 8$

$y = 6$

Таким образом, цифра десятков искомого числа равна 8, а цифра единиц — 6. Значит, искомое число — 86.

Проверим результат. Сумма цифр числа 86 равна $8 + 6 = 14$. Если поменять цифры местами, получится 68. Разница между исходным и новым числом составляет $86 - 68 = 18$. Оба условия задачи выполнены.

Ответ: 86

16.19 Одно число на 140 меньше другого; $60 \%$ большего числа на 64 больше $70 \%$ меньшего. Найдите эти числа.

Для решения задачи введем переменные. Пусть большее из двух чисел будет $x$, а меньшее — $y$.

Согласно первому условию задачи, "одно число на 140 меньше другого". Это означает, что разница между большим и меньшим числом равна 140. Составим первое уравнение:
$x - y = 140$ или, что то же самое, $y = x - 140$.

Второе условие гласит: "60 % большего числа на 64 больше 70 % меньшего". Для составления уравнения переведем проценты в десятичные дроби: $60 \% = 0,6$ и $70 \% = 0,7$. Тогда 60% от большего числа ($x$) — это $0,6x$, а 70% от меньшего ($y$) — это $0,7y$. Запишем второе уравнение на основе условия:
$0,6x = 0,7y + 64$

Мы получили систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} y = x - 140 \\ 0,6x = 0,7y + 64 \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$0,6x = 0,7(x - 140) + 64$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Сначала раскроем скобки:
$0,6x = 0,7x - 0,7 \cdot 140 + 64$
$0,6x = 0,7x - 98 + 64$
$0,6x = 0,7x - 34$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну часть уравнения, а числовые значения — в другую:
$98 - 64 = 0,7x - 0,6x$
$34 = 0,1x$

Теперь найдем $x$:
$x = \frac{34}{0,1}$
$x = 340$

Итак, большее число равно 340. Чтобы найти меньшее число $y$, подставим значение $x$ в первое уравнение системы:
$y = x - 140 = 340 - 140 = 200$

Меньшее число равно 200.

Проведем проверку:
1. Разница между числами: $340 - 200 = 140$. Первое условие выполняется.
2. 60% от большего числа: $0,6 \cdot 340 = 204$.
3. 70% от меньшего числа: $0,7 \cdot 200 = 140$.
4. Проверим, на сколько 204 больше 140: $204 - 140 = 64$. Второе условие также выполняется.

Ответ: искомые числа — 340 и 200.

16.20 Известно, что 30 % числа $a$ на 20 больше, чем 25 % числа $b$, а 30 % числа $b$ на 8 больше, чем 20 % числа $a$. Найдите числа $a$ и $b$.

Пусть искомые числа равны $a$ и $b$. Составим систему уравнений исходя из условий задачи.

Первое условие: "30% числа $a$ на 20 больше, чем 25% числа $b$".
Представим проценты в виде десятичных дробей: 30% это $0.3$, а 25% это $0.25$.
Получаем первое уравнение: $0.3a = 0.25b + 20$.

Второе условие: "30% числа $b$ на 8 больше, чем 20% числа $a$".
Представим проценты в виде десятичных дробей: 30% это $0.3$, а 20% это $0.2$.
Получаем второе уравнение: $0.3b = 0.2a + 8$.

Таким образом, мы имеем систему из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} 0.3a - 0.25b = 20 \\ -0.2a + 0.3b = 8 \end{cases} $

Для удобства решения умножим каждое уравнение на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$ \begin{cases} 30a - 25b = 2000 \\ -20a + 30b = 800 \end{cases} $

Упростим полученные уравнения. Первое уравнение можно разделить на 5, а второе на 10:
$ \begin{cases} 6a - 5b = 400 \\ -2a + 3b = 80 \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Для этого умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $a$ стали противоположными:
$3(-2a + 3b) = 3(80)$
$-6a + 9b = 240$

Теперь сложим это преобразованное уравнение с первым уравнением системы ($6a - 5b = 400$):
$(-6a + 9b) + (6a - 5b) = 240 + 400$
$4b = 640$
$b = \frac{640}{4}$
$b = 160$

Теперь, зная значение $b$, найдем значение $a$. Подставим $b = 160$ в одно из упрощенных уравнений, например, в $-2a + 3b = 80$:
$-2a + 3(160) = 80$
$-2a + 480 = 80$
$480 - 80 = 2a$
$400 = 2a$
$a = \frac{400}{2}$
$a = 200$

Проверка:
1) 30% от $a$ ($200$) равно $0.3 \times 200 = 60$. 25% от $b$ ($160$) равно $0.25 \times 160 = 40$. Разница: $60 - 40 = 20$. Условие выполняется.
2) 30% от $b$ ($160$) равно $0.3 \times 160 = 48$. 20% от $a$ ($200$) равно $0.2 \times 200 = 40$. Разница: $48 - 40 = 8$. Условие выполняется.

Ответ: $a = 200$, $b = 160$.

16.21 Среднее арифметическое двух чисел равно $32.5$. Найдите эти числа, если известно, что $30 \%$ одного из них на $0.25$ больше, чем $25 \%$ другого.

Обозначим искомые числа как $x$ и $y$.

Из первого условия задачи известно, что среднее арифметическое этих чисел равно 32,5. Составим уравнение на основе этого условия: $$ \frac{x + y}{2} = 32,5 $$ Умножив обе части уравнения на 2, получим: $$ x + y = 65 $$

Второе условие гласит, что 30% одного из чисел на 0,25 больше, чем 25% другого. Выразим проценты в виде десятичных дробей: $30\% = 0,3$ и $25\% = 0,25$. Представим это условие в виде второго уравнения, предположив, что речь идет о 30% от числа $x$ и 25% от числа $y$: $$ 0,3x = 0,25y + 0,25 $$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} x + y = 65 \\ 0,3x = 0,25y + 0,25 \end{cases} $$

Решим эту систему. Сначала выразим $x$ из первого уравнения: $$ x = 65 - y $$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение: $$ 0,3(65 - y) = 0,25y + 0,25 $$ Раскроем скобки: $$ 19,5 - 0,3y = 0,25y + 0,25 $$

Соберем все слагаемые с $y$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой: $$ 19,5 - 0,25 = 0,25y + 0,3y $$ $$ 19,25 = 0,55y $$ Теперь найдем $y$: $$ y = \frac{19,25}{0,55} $$ Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 100: $$ y = \frac{1925}{55} $$ Выполним деление: $$ y = 35 $$

Зная $y$, найдем $x$ из уравнения $x = 65 - y$: $$ x = 65 - 35 $$ $$ x = 30 $$

Итак, мы нашли два числа: 30 и 35. Проверим, удовлетворяют ли они условиям задачи. Среднее арифметическое: $\frac{30 + 35}{2} = \frac{65}{2} = 32,5$. Первое условие выполняется. Проверим второе условие: 30% от числа 30 равно $0,3 \times 30 = 9$. 25% от числа 35 равно $0,25 \times 35 = 8,75$. Разница составляет $9 - 8,75 = 0,25$. Второе условие также выполняется.

Ответ: 30 и 35.

16.22 Полуразность двух чисел равна 14.9. Найдите эти числа, если известно, что 24 % первого числа на 0,6 меньше второго.

Пусть первое число — это $x$, а второе число — это $y$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: "полуразность двух чисел равна 14,9". Полуразность — это частное от деления разности двух чисел на 2. Запишем это в виде уравнения, предположив, что первое число больше второго ($x > y$):

$\frac{x - y}{2} = 14,9$

Второе условие: "24% первого числа на 0,6 меньше второго". 24% от числа $x$ можно записать в виде десятичной дроби как $0,24x$. Если эта величина на 0,6 меньше $y$, то, прибавив к ней 0,6, мы получим $y$. Запишем второе уравнение:

$0,24x + 0,6 = y$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} \frac{x - y}{2} = 14,9 \\ 0,24x + 0,6 = y \end{cases}$

Для решения системы упростим первое уравнение, умножив обе его части на 2:

$x - y = 14,9 \cdot 2$

$x - y = 29,8$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} x - y = 29,8 \\ 0,24x + 0,6 = y \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x - (0,24x + 0,6) = 29,8$

Раскроем скобки. Обратите внимание на знак минус перед скобкой:

$x - 0,24x - 0,6 = 29,8$

Приведем подобные слагаемые и перенесем свободные члены в правую часть уравнения:

$0,76x = 29,8 + 0,6$

$0,76x = 30,4$

Найдем $x$, разделив обе части на 0,76:

$x = \frac{30,4}{0,76} = \frac{3040}{76} = 40$

Итак, первое число $x = 40$.

Теперь найдем второе число $y$, подставив значение $x$ во второе уравнение ($y = 0,24x + 0,6$):

$y = 0,24 \cdot 40 + 0,6$

$y = 9,6 + 0,6$

$y = 10,2$

Второе число $y = 10,2$.

Проведем проверку:

1. Полуразность: $(\frac{40 - 10,2}{2}) = \frac{29,8}{2} = 14,9$. Верно.

2. 24% от первого числа: $0,24 \cdot 40 = 9,6$. Второе число 10,2. $10,2 - 9,6 = 0,6$. Верно.

Ответ: 40 и 10,2.

16.23 Путь по морю от города A до города B на 60 км короче, чем по шоссе. Теплоход проходит путь от A до B за 5 ч, а автомобиль — за 3 ч. Найдите скорости теплохода и автомобиля, если известно, что скорость теплохода составляет $40\%$ скорости автомобиля.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $V_a$ — скорость автомобиля в км/ч, а $V_t$ — скорость теплохода в км/ч.

Согласно условию, скорость теплохода составляет 40% от скорости автомобиля. Это можно записать в виде следующего уравнения: $V_t = \frac{40}{100} \times V_a = 0.4 V_a$

Время в пути для автомобиля составляет $T_a = 3$ ч, а для теплохода $T_t = 5$ ч.

Расстояние ($S$) вычисляется по формуле $S = V \times T$. Выразим путь по шоссе ($S_a$) и путь по морю ($S_t$):
$S_a = V_a \times T_a = 3V_a$
$S_t = V_t \times T_t = 5V_t$

Из условия известно, что путь по морю на 60 км короче, чем по шоссе:
$S_t = S_a - 60$

Теперь составим единое уравнение, подставив в него выражения для расстояний и скоростей.
$5V_t = 3V_a - 60$
Заменим $V_t$ на $0.4V_a$:
$5 \times (0.4V_a) = 3V_a - 60$

Решим полученное линейное уравнение относительно $V_a$:
$2V_a = 3V_a - 60$
$3V_a - 2V_a = 60$
$V_a = 60$

Итак, скорость автомобиля составляет 60 км/ч. Теперь найдем скорость теплохода, используя соотношение между скоростями:
$V_t = 0.4 \times V_a = 0.4 \times 60 = 24$
Следовательно, скорость теплохода равна 24 км/ч.

Проверка:
1. Найдем расстояние по шоссе: $S_a = 60 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 180 \text{ км}$.
2. Найдем расстояние по морю: $S_t = 24 \text{ км/ч} \times 5 \text{ ч} = 120 \text{ км}$.
3. Проверим разницу в расстояниях: $180 \text{ км} - 120 \text{ км} = 60 \text{ км}$. Условие выполняется.
4. Проверим соотношение скоростей: $\frac{24 \text{ км/ч}}{60 \text{ км/ч}} = 0.4$, что составляет 40%. Условие выполняется.

Ответ: скорость теплохода — 24 км/ч, скорость автомобиля — 60 км/ч.