Страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Подберите три решения уравнения $x + 2y - 9 = 0$.

Данное уравнение $x + 2y - 9 = 0$ является линейным уравнением с двумя переменными. У него существует бесконечное множество решений. Чтобы найти какое-либо конкретное решение, необходимо выбрать произвольное значение для одной переменной и, подставив его в уравнение, вычислить значение другой переменной. Найдем три таких решения.

Для удобства вычислений можно выразить одну переменную через другую. Выразим $x$ через $y$:

$x = 9 - 2y$

Первое решение

Зададим произвольное значение для переменной $y$. Пусть $y = 1$.

Подставим это значение в полученное выражение для $x$:

$x = 9 - 2 \cdot 1 = 9 - 2 = 7$

Таким образом, первая пара чисел, являющаяся решением уравнения, это $(7, 1)$.

Сделаем проверку, подставив найденные значения в исходное уравнение:

$7 + 2 \cdot 1 - 9 = 7 + 2 - 9 = 9 - 9 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное.

Ответ: $(7, 1)$

Второе решение

Возьмем другое значение для $y$. Пусть $y = 3$.

Найдем соответствующее значение $x$:

$x = 9 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3$

Вторая пара чисел, являющаяся решением, — $(3, 3)$.

Проверка:

$3 + 2 \cdot 3 - 9 = 3 + 6 - 9 = 9 - 9 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное.

Ответ: $(3, 3)$

Третье решение

Теперь для разнообразия выберем значение для переменной $x$. Пусть $x = 1$.

Подставим это значение в исходное уравнение и найдем $y$:

$1 + 2y - 9 = 0$

$2y - 8 = 0$

$2y = 8$

$y = 4$

Третья пара чисел — $(1, 4)$.

Проверка:

$1 + 2 \cdot 4 - 9 = 1 + 8 - 9 = 9 - 9 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное.

Ответ: $(1, 4)$

2. Что такое система двух линейных уравнений с двумя переменными?

1.

Чтобы найти решения линейного уравнения с двумя переменными $x + 2y = 5$, необходимо найти такие пары чисел $(x; y)$, которые при подстановке в уравнение обращают его в верное равенство. Для этого удобно выразить одну переменную через другую.

Выразим переменную $x$ через $y$:
$x = 5 - 2y$

Теперь можно подбирать произвольные значения для $y$ и вычислять соответствующие им значения $x$. Найдем три таких решения.

1. Пусть $y = 0$.
Тогда $x = 5 - 2 \cdot 0 = 5 - 0 = 5$.
Первое решение: $(5; 0)$.
Проверка: $5 + 2 \cdot 0 = 5$, что верно.

2. Пусть $y = 2$.
Тогда $x = 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1$.
Второе решение: $(1; 2)$.
Проверка: $1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5$, что верно.

3. Пусть $x = -1$.
Тогда $-1 + 2y = 5$.
$2y = 5 + 1$
$2y = 6$
$y = 3$
Третье решение: $(-1; 3)$.
Проверка: $-1 + 2 \cdot 3 = -1 + 6 = 5$, что верно.

Ответ: например, $(5; 0)$, $(1; 2)$ и $(-1; 3)$.

2.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными — это два линейных уравнения, которые содержат одни и те же две переменные и рассматриваются совместно. Основная задача при работе с системой — найти общее решение, то есть такую пару значений переменных, которая одновременно удовлетворяет каждому из уравнений системы.

Общий вид такой системы, где переменными являются $x$ и $y$, записывается так:

$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

В данной записи $x$ и $y$ — это переменные (неизвестные), значения которых нужно найти. Символы $a_1, b_1, a_2, b_2$ — это числовые коэффициенты при переменных, а $c_1, c_2$ — это свободные члены (также числа).

Решением системы уравнений называют упорядоченную пару чисел $(x_0, y_0)$, которая при подстановке в оба уравнения системы обращает каждое из них в верное числовое равенство.

Решить систему — означает найти все её решения или доказать, что решений не существует.

Геометрически каждое такое уравнение на координатной плоскости задает прямую линию. Соответственно, решение системы — это координаты точки пересечения этих двух прямых. Если прямые параллельны и не совпадают, система не имеет решений. Если прямые совпадают, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: Система двух линейных уравнений с двумя переменными — это два линейных уравнения, для которых требуется найти общие решения, то есть пары значений переменных, удовлетворяющие обоим уравнениям одновременно.

3. Что называют решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными?

Система двух линейных уравнений с двумя переменными представляет собой два уравнения, которые должны выполняться одновременно. В общем виде такая система записывается следующим образом:

$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

В этой записи $x$ и $y$ являются переменными, а $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ — заданными числами (коэффициентами).

Решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными называют упорядоченную пару чисел $(x_0, y_0)$, при подстановке которой вместо переменных ($x=x_0$, $y=y_0$) каждое из уравнений системы превращается в верное числовое равенство.

Например, рассмотрим систему:

$ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = -1 \end{cases} $

Решением этой системы является пара чисел $(2, 3)$. Чтобы это проверить, нужно подставить $x=2$ и $y=3$ в оба уравнения:

1. Для первого уравнения: $2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$. Равенство $7=7$ является верным.

2. Для второго уравнения: $2 - 3 = -1$. Равенство $-1=-1$ также является верным.

Так как пара чисел $(2, 3)$ удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением данной системы.

Геометрически каждое линейное уравнение с двумя переменными представляет собой прямую на координатной плоскости. Решение системы — это координаты точки пересечения этих двух прямых.

• Если прямые пересекаются, система имеет одно решение (координаты точки пересечения).
• Если прямые параллельны и не совпадают, они не имеют общих точек, и система не имеет решений.
• Если прямые совпадают, все их точки являются общими, и система имеет бесконечно много решений.

Ответ: Решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными является упорядоченная пара чисел, которая обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

4. Придумайте систему двух линейных уравнений с двумя переменными, которая имеет своим решением пару:

a) $ (0; -1) $;

б) $ (3; 0) $;

в) $ (1; 2) $.

Чтобы придумать систему двух линейных уравнений с двумя переменными, которая имеет своим решением заданную пару чисел $(x_0; y_0)$, нужно составить два различных линейных уравнения вида $ax+by=c$, которые будут верны при подстановке в них $x=x_0$ и $y=y_0$.

Проще всего это сделать, выбрав произвольные коэффициенты $a$ и $b$ (желательно не все нулевые), подставить значения $x_0$ и $y_0$ и вычислить соответствующее значение $c$. Повторив это с другим набором коэффициентов, мы получим второе уравнение.

a) Требуется составить систему, решением которой является пара $(0; -1)$. Здесь $x=0$, $y=-1$.

1. Первое уравнение. Возьмем простые коэффициенты, например, $a=1$ и $b=1$. Уравнение будет иметь вид $x+y=c$. Вычислим $c$: $c = 0 + (-1) = -1$. Таким образом, первое уравнение: $x+y = -1$.

2. Второе уравнение. Возьмем другие коэффициенты, например, $a=2$ и $b=-1$. Уравнение будет иметь вид $2x-y=c$. Вычислим $c$: $c = 2 \cdot 0 - (-1) = 0 + 1 = 1$. Таким образом, второе уравнение: $2x-y = 1$.

Объединим полученные уравнения в систему.

Ответ: $\begin{cases} x + y = -1 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$

б) Требуется составить систему, решением которой является пара $(3; 0)$. Здесь $x=3$, $y=0$.

1. Первое уравнение. Возьмем коэффициенты $a=1$ и $b=1$. Уравнение: $x+y=c$. Вычислим $c$: $c = 3 + 0 = 3$. Первое уравнение: $x+y = 3$.

2. Второе уравнение. Возьмем коэффициенты $a=1$ и $b=-2$. Уравнение: $x-2y=c$. Вычислим $c$: $c = 3 - 2 \cdot 0 = 3$. Второе уравнение: $x-2y=3$.

Объединим уравнения в систему.

Ответ: $\begin{cases} x + y = 3 \\ x - 2y = 3 \end{cases}$

в) Требуется составить систему, решением которой является пара $(1; 2)$. Здесь $x=1$, $y=2$.

1. Первое уравнение. Возьмем коэффициенты $a=1$ и $b=1$. Уравнение: $x+y=c$. Вычислим $c$: $c = 1 + 2 = 3$. Первое уравнение: $x+y = 3$.

2. Второе уравнение. Возьмем коэффициенты $a=3$ и $b=-1$. Уравнение: $3x-y=c$. Вычислим $c$: $c = 3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1$. Второе уравнение: $3x-y = 1$.

Объединим уравнения в систему.

Ответ: $\begin{cases} x + y = 3 \\ 3x - y = 1 \end{cases}$

5. Придумайте систему двух линейных уравнений, которая не имеет решений.

Система двух линейных уравнений не имеет решений в том случае, когда графики этих уравнений являются параллельными прямыми. Параллельные прямые имеют одинаковый наклон (угловой коэффициент), но разные точки пересечения с осями координат, поэтому они никогда не пересекаются, а значит, у системы нет общих точек (решений).

Рассмотрим систему в общем виде:
$ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $
Условие отсутствия решений (прямые параллельны и не совпадают) выражается через пропорциональность коэффициентов при переменных и их непропорциональность свободным членам:
$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $

Чтобы составить такую систему, можно действовать следующим образом:
1. Напишем первое произвольное линейное уравнение, например: $x + y = 2$.
2. Для второго уравнения умножим коэффициенты при $x$ и $y$ на одно и то же число (например, на 3). Получим левую часть второго уравнения: $3x + 3y$.
3. Правая часть второго уравнения (свободный член) должна быть любым числом, кроме результата умножения правой части первого уравнения на то же число (то есть, кроме $2 \cdot 3 = 6$). Возьмем, например, число 7.

Таким образом, мы получаем систему, которая не будет иметь решений:
$ \begin{cases} x + y = 2 \\ 3x + 3y = 7 \end{cases} $

Проверим это. Из первого уравнения можно выразить $y = 2 - x$. Подставим это выражение во второе уравнение:
$3x + 3(2-x) = 7$
$3x + 6 - 3x = 7$
$6 = 7$
Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от значений переменных. Это означает, что система уравнений несовместна и не имеет решений.

Ответ:
$ \begin{cases} x + y = 2 \\ 3x + 3y = 7 \end{cases} $

6. Расскажите, как графически решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными, которая составлена вами в задании 4 в).

Поскольку система уравнений, составленная в задании 4 в), не предоставлена, для демонстрации графического метода решения будет использована следующая примерная система:

$$ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases} $$

Графический метод решения системы уравнений заключается в построении графиков каждого уравнения в одной системе координат и нахождении координат точек их пересечения. Каждое линейное уравнение с двумя переменными вида $ax + by = c$ представляет собой прямую на плоскости. Решение системы — это координаты точки, которая принадлежит обеим прямым.

Шаг 1: Преобразование уравнений к виду линейной функции

Чтобы построить график линейного уравнения, удобнее всего выразить переменную $y$ через $x$, приведя уравнение к виду $y = kx + m$, где $k$ – угловой коэффициент (отвечает за наклон прямой), а $m$ – свободный член (показывает точку пересечения с осью $Oy$).

1. Преобразуем первое уравнение: $x + y = 5$

Вычитая $x$ из обеих частей, получаем:

$y = 5 - x$ или, в более привычном виде, $y = -x + 5$.

2. Преобразуем второе уравнение: $2x - y = 1$

Вычтем $2x$ из обеих частей: $-y = 1 - 2x$.

Умножим обе части на $-1$, чтобы выразить $y$:

$y = -1(1 - 2x) \implies y = 2x - 1$.

Шаг 2: Построение таблиц значений для каждой функции

Для построения прямой на плоскости достаточно знать координаты двух любых ее точек. Составим таблицы значений для каждой функции, выбрав произвольные значения $x$ и вычислив соответствующие значения $y$.

Для прямой $y = -x + 5$:

• Пусть $x = 0$, тогда $y = -0 + 5 = 5$. Получаем точку с координатами $(0, 5)$.
• Пусть $x = 5$, тогда $y = -5 + 5 = 0$. Получаем точку с координатами $(5, 0)$.

Для прямой $y = 2x - 1$:

• Пусть $x = 0$, тогда $y = 2 \cdot 0 - 1 = -1$. Получаем точку с координатами $(0, -1)$.
• Пусть $x = 2$, тогда $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$. Получаем точку с координатами $(2, 3)$.

Шаг 3: Построение графиков в одной системе координат

Начертим прямоугольную (декартову) систему координат $Oxy$.

1. Построим график первого уравнения $y = -x + 5$. Отметим на плоскости точки $(0, 5)$ и $(5, 0)$ и проведем через них прямую линию.

2. Построим график второго уравнения $y = 2x - 1$. На той же координатной плоскости отметим точки $(0, -1)$ и $(2, 3)$ и проведем через них вторую прямую.

Шаг 4: Нахождение координат точки пересечения

Решением системы уравнений являются координаты точки пересечения построенных прямых. Внимательно посмотрев на чертеж, мы находим точку, в которой две прямые пересекаются. Координаты этой точки и будут решением системы.

В нашем примере прямые пересекаются в точке с координатами $(2, 3)$.

Шаг 5: Проверка найденного решения

Чтобы убедиться, что решение найдено верно, необходимо подставить координаты точки пересечения ($x=2$, $y=3$) в оба исходных уравнения системы. Если оба уравнения превратятся в верные числовые равенства, то решение найдено правильно.

1. Проверка для первого уравнения $x + y = 5$:

$2 + 3 = 5$

$5 = 5$ (Верно)

2. Проверка для второго уравнения $2x - y = 1$:

$2 \cdot 2 - 3 = 1$

$4 - 3 = 1$

$1 = 1$ (Верно)

Оба равенства верны, следовательно, пара чисел $(2, 3)$ является решением данной системы уравнений.

Ответ: Чтобы графически решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными, необходимо: 1) построить график каждого уравнения в одной системе координат; 2) найти координаты точки пересечения графиков. Эти координаты и являются решением системы. Для приведённой в примере системы $ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases} $ решением является пара чисел $(2; 3)$.

7. Что такое неопределённая система уравнений?

Определение

Неопределённая система уравнений (также называемая недоопределённой или совместной неопределённой) — это система уравнений, которая имеет бесконечное множество решений. В отличие от определённой системы, имеющей единственное решение, или несовместной системы, не имеющей решений вовсе, неопределённая система не позволяет однозначно найти значения всех неизвестных.

Условия возникновения

Чаще всего неопределённая система возникает, когда количество линейно независимых уравнений в системе меньше, чем количество неизвестных переменных.

Если у нас есть система из $m$ линейных уравнений с $n$ переменными: $$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} $$ Система будет неопределённой, если она совместна (т.е. имеет хотя бы одно решение) и при этом ранг её основной матрицы меньше числа переменных ($ \text{rank}(A) < n $). Простыми словами, если после всех упрощений "существенно разных" уравнений оказывается меньше, чем неизвестных.

Пример 1: Одно уравнение с двумя неизвестными

Рассмотрим простое уравнение: $$ x + y = 10 $$ Здесь у нас одно уравнение и две неизвестные ($x$ и $y$). Мы не можем найти единственную пару чисел, которая бы удовлетворяла этому уравнению. Вместо этого мы можем выразить одну переменную через другую: $$ y = 10 - x $$ Теперь, придавая переменной $x$ любое значение, мы будем получать соответствующее значение $y$. Например:
- Если $x = 1$, то $y = 9$. Решение: $(1, 9)$.
- Если $x = 5$, то $y = 5$. Решение: $(5, 5)$.
- Если $x = -2$, то $y = 12$. Решение: $(-2, 12)$.
Поскольку $x$ может быть любым действительным числом, существует бесконечное множество таких пар. Общее решение можно записать в параметрическом виде. Пусть $x = c$, где $c$ — произвольный параметр. Тогда решение системы: $$ (c, 10 - c), \quad c \in \mathbb{R} $$ Геометрически это уравнение задаёт прямую на координатной плоскости, и каждая точка этой прямой является решением.

Пример 2: Система из двух уравнений с тремя неизвестными

Рассмотрим систему: $$ \begin{cases} x + y - z = 7 \\ x - y + 2z = 1 \end{cases} $$ Здесь два уравнения и три неизвестные ($x, y, z$). Для решения выразим одни переменные через другие.
1. Сложим два уравнения, чтобы исключить $y$: $$ (x + y - z) + (x - y + 2z) = 7 + 1 $$ $$ 2x + z = 8 \implies z = 8 - 2x $$ 2. Подставим полученное выражение для $z$ в первое уравнение: $$ x + y - (8 - 2x) = 7 $$ $$ x + y - 8 + 2x = 7 $$ $$ 3x + y = 15 \implies y = 15 - 3x $$ Мы выразили переменные $y$ и $z$ через $x$. Переменная $x$ называется свободной, так как может принимать любое значение. Обозначим её через параметр $t$: $x = t$. Тогда общее решение системы имеет вид: $$ \begin{cases} x = t \\ y = 15 - 3t \\ z = 8 - 2t \end{cases} $$ где $t$ — любое действительное число. Для каждого значения $t$ мы получаем свой набор $(x, y, z)$, являющийся решением. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений. Геометрически, каждое уравнение задаёт плоскость в трёхмерном пространстве. Их пересечение (если они не параллельны) образует прямую, каждая точка которой является решением системы.

Ответ: Неопределённая система уравнений — это система, имеющая бесконечное множество решений. Такая ситуация обычно возникает, когда число независимых уравнений в системе оказывается меньше числа неизвестных переменных, что не позволяет однозначно определить значения всех переменных и приводит к появлению свободных переменных в общем решении.

8. Что такое несовместная система уравнений?

Система уравнений называется несовместной, если у нее нет ни одного решения. Это значит, что не существует такого набора значений неизвестных переменных, который бы удовлетворял одновременно всем уравнениям, входящим в систему. Системы, имеющие хотя бы одно решение, называются совместными.

Рассмотрим, как определить несовместность системы и что это означает с разных точек зрения.

Алгебраический признак

При решении несовместной системы уравнений с помощью равносильных преобразований (методом подстановки, алгебраического сложения, методом Гаусса) на одном из этапов возникает противоречие — ложное числовое равенство. Чаще всего это равенство вида $0 = c$, где $c$ — любое число, не равное нулю.

Пример:

Рассмотрим следующую систему:

$$ \begin{cases} 2x - y = 4 \\ 6x - 3y = 15 \end{cases}$$

Попробуем решить ее методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на $-3$:

$$ -3(2x - y) = -3 \cdot 4 \implies -6x + 3y = -12$$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$$ (-6x + 3y) + (6x - 3y) = -12 + 15$$

$$ 0x + 0y = 3$$

$$ 0 = 3$$

Мы получили неверное равенство. Это противоречие указывает на то, что у системы нет решений, следовательно, она является несовместной.

Геометрическая интерпретация

Геометрический смысл несовместной системы линейных уравнений заключается в расположении графиков этих уравнений.

• Для системы двух уравнений с двумя переменными. Каждое линейное уравнение с двумя переменными (например, $x$ и $y$) задает на координатной плоскости прямую. Система несовместна, если эти прямые параллельны и не совпадают. У таких прямых одинаковый угловой коэффициент, но разный сдвиг по оси ординат. Для уравнений из примера выше ($2x - y = 4 \implies y = 2x - 4$ и $6x - 3y = 15 \implies y = 2x - 5$) угловые коэффициенты равны 2, а свободные члены (-4 и -5) различны. Это графики двух параллельных прямых, которые никогда не пересекутся.

• Для системы уравнений с тремя переменными. Каждое линейное уравнение с тремя переменными ($x, y, z$) задает плоскость в трехмерном пространстве. Система несовместна, если эти плоскости не имеют ни одной общей точки пересечения. Например, две из трех плоскостей могут быть параллельны, или все три плоскости могут пересекаться попарно, образуя три параллельные прямые (как грани треугольной призмы).

Формальный критерий (Теорема Кронекера-Капелли)

В линейной алгебре существует строгий критерий для определения совместности системы линейных уравнений. Согласно теореме Кронекера-Капелли, система совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы.

Следовательно, система несовместна, если ранг основной матрицы $A$ (составленной из коэффициентов при неизвестных) строго меньше ранга расширенной матрицы $[A|b]$ (матрицы $A$, дополненной столбцом свободных членов $b$).

$$ \text{rank}(A) < \text{rank}([A|b])$$

Это условие как раз и соответствует появлению противоречия $0=c$ при приведении матрицы к ступенчатому виду методом Гаусса.

Ответ: Несовместная система уравнений — это система, которая не имеет ни одного решения. Признаком несовместности при алгебраическом решении является получение в результате преобразований ложного числового равенства (например, $0=3$). Геометрически (для линейных систем) это означает, что графики уравнений (прямые или плоскости) не имеют общих точек пересечения.

15.16 При каком значении p график функции:

a) $y = px$;

б) $y = px + 1$

пройдёт через точку пересечения прямых $6x - y = 13$ и $5x + y = 20$?

Для того чтобы график функции проходил через точку пересечения двух прямых, необходимо сначала найти координаты этой точки. Точка пересечения является решением системы уравнений, задающих эти прямые.

Составим и решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 6x - y = 13 \\ 5x + y = 20 \end{cases} $

Используем метод сложения, чтобы избавиться от переменной $y$. Сложим левые и правые части уравнений:

$(6x - y) + (5x + y) = 13 + 20$

$11x = 33$

Разделим обе части на 11:

$x = 3$

Теперь подставим найденное значение $x = 3$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:

$5(3) + y = 20$

$15 + y = 20$

$y = 20 - 15$

$y = 5$

Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты $(3; 5)$. Теперь мы можем найти значение $p$ для каждой из функций.

а)

График функции $y = px$ должен проходить через точку с координатами $(3; 5)$. Подставим эти значения $x$ и $y$ в уравнение функции:

$5 = p \cdot 3$

Чтобы найти $p$, разделим обе части на 3:

$p = \frac{5}{3}$

Ответ: $p = \frac{5}{3}$.

б)

График функции $y = px + 1$ должен проходить через точку с координатами $(3; 5)$. Подставим эти значения $x$ и $y$ в уравнение функции:

$5 = p \cdot 3 + 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$4 = 3p$

Чтобы найти $p$, разделим обе части на 3:

$p = \frac{4}{3}$

Ответ: $p = \frac{4}{3}$.

15.17 При каких значениях a и b решением системы уравнений:

а) $\begin{cases} ax + by = 36 \\ ax - by = 8 \end{cases}$ является пара чисел (2; -1);

б) $\begin{cases} ax + by = 2a \\ ax - by = 16 \end{cases}$ является пара чисел (-1; 2);

в) $\begin{cases} ax + by = 4 \\ ax - by = -24 \end{cases}$ является пара чисел (1; -2);

г) $\begin{cases} ax + by = 18 \\ ax - by = a + 2 \end{cases}$ является пара чисел (-2; 1)?

Чтобы найти значения параметров $a$ и $b$, нужно подставить в уравнения системы значения $x$ и $y$ из данной пары чисел, которая является решением. В результате мы получим новую систему уравнений, но уже относительно переменных $a$ и $b$, которую и нужно будет решить.

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} ax + by = 36, \\ ax - by = 8 \end{cases} $ Решением является пара чисел $(2; -1)$. Подставим $x=2$ и $y=-1$ в систему: $ \begin{cases} a \cdot 2 + b \cdot (-1) = 36, \\ a \cdot 2 - b \cdot (-1) = 8 \end{cases} $

После упрощения получаем систему для $a$ и $b$: $ \begin{cases} 2a - b = 36, \\ 2a + b = 8 \end{cases} $

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Сложим первое и второе уравнения:
$(2a - b) + (2a + b) = 36 + 8$
$4a = 44$
$a = 11$

Подставим найденное значение $a=11$ во второе уравнение $(2a + b = 8)$:
$2 \cdot 11 + b = 8$
$22 + b = 8$
$b = 8 - 22$
$b = -14$

Ответ: $a = 11, b = -14$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} ax + by = 2a, \\ ax - by = 16 \end{cases} $ Решением является пара чисел $(-1; 2)$. Подставим $x=-1$ и $y=2$ в систему: $ \begin{cases} a \cdot (-1) + b \cdot 2 = 2a, \\ a \cdot (-1) - b \cdot 2 = 16 \end{cases} $

После упрощения получаем систему: $ \begin{cases} -a + 2b = 2a, \\ -a - 2b = 16 \end{cases} $

Приведем первое уравнение к стандартному виду:
$-a + 2b = 2a$
$2b = 3a$
$3a - 2b = 0$

Теперь система для $a$ и $b$ выглядит так: $ \begin{cases} 3a - 2b = 0, \\ -a - 2b = 16 \end{cases} $

Решим эту систему методом вычитания. Вычтем из первого уравнения второе:
$(3a - 2b) - (-a - 2b) = 0 - 16$
$3a - 2b + a + 2b = -16$
$4a = -16$
$a = -4$

Подставим найденное значение $a=-4$ в уравнение $(3a - 2b = 0)$:
$3 \cdot (-4) - 2b = 0$
$-12 - 2b = 0$
$-2b = 12$
$b = -6$

Ответ: $a = -4, b = -6$.

в)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} ax + by = 4, \\ ax - by = -24 \end{cases} $ Решением является пара чисел $(1; -2)$. Подставим $x=1$ и $y=-2$ в систему: $ \begin{cases} a \cdot 1 + b \cdot (-2) = 4, \\ a \cdot 1 - b \cdot (-2) = -24 \end{cases} $

После упрощения получаем систему для $a$ и $b$: $ \begin{cases} a - 2b = 4, \\ a + 2b = -24 \end{cases} $

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Сложим первое и второе уравнения:
$(a - 2b) + (a + 2b) = 4 + (-24)$
$2a = -20$
$a = -10$

Подставим найденное значение $a=-10$ во второе уравнение $(a + 2b = -24)$:
$-10 + 2b = -24$
$2b = -24 + 10$
$2b = -14$
$b = -7$

Ответ: $a = -10, b = -7$.

г)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} ax + by = 18, \\ ax - by = a + 2 \end{cases} $ Решением является пара чисел $(-2; 1)$. Подставим $x=-2$ и $y=1$ в систему: $ \begin{cases} a \cdot (-2) + b \cdot 1 = 18, \\ a \cdot (-2) - b \cdot 1 = a + 2 \end{cases} $

После упрощения получаем систему: $ \begin{cases} -2a + b = 18, \\ -2a - b = a + 2 \end{cases} $

Приведем второе уравнение к стандартному виду:
$-2a - b = a + 2$
$-2a - a - b = 2$
$-3a - b = 2$

Теперь система для $a$ и $b$ выглядит так: $ \begin{cases} -2a + b = 18, \\ -3a - b = 2 \end{cases} $

Решим эту систему методом сложения. Сложим первое и второе уравнения:
$(-2a + b) + (-3a - b) = 18 + 2$
$-5a = 20$
$a = -4$

Подставим найденное значение $a=-4$ в первое уравнение $(-2a + b = 18)$:
$-2 \cdot (-4) + b = 18$
$8 + b = 18$
$b = 18 - 8$
$b = 10$

Ответ: $a = -4, b = 10$.

15.18 При каких значениях a и b решением системы уравнений:

a) $ \begin{cases} (a - 10)x + by = 2b, \\ ax - (b + 4)y = 2a - 20 \end{cases} $ является пара чисел (1; 1);

б) $ \begin{cases} (a + 1)x - by = 2b, \\ ax + (b + 1)y = 5a \end{cases} $ является пара чисел (-4; -6)?

По условию, пара чисел (1; 1) является решением системы уравнений. Это означает, что если подставить $x=1$ и $y=1$ в оба уравнения, то получатся верные равенства. Выполним эту подстановку в исходную систему:

$ \begin{cases} (a - 10)x + by = 2b \\ ax - (b + 4)y = 2a - 20 \end{cases} $

Подставляем $x=1$, $y=1$:

$ \begin{cases} (a - 10) \cdot 1 + b \cdot 1 = 2b \\ a \cdot 1 - (b + 4) \cdot 1 = 2a - 20 \end{cases} $

В результате мы получаем систему уравнений с двумя переменными, a и b. Упростим её:

$ \begin{cases} a - 10 + b = 2b \\ a - b - 4 = 2a - 20 \end{cases} $

Приведем подобные слагаемые в каждом уравнении:

$ \begin{cases} a - 10 = 2b - b \\ a - 2a - b = -20 + 4 \end{cases} $

$ \begin{cases} a - 10 = b \\ -a - b = -16 \end{cases} $

Теперь решим полученную систему методом подстановки. Подставим выражение для b из первого уравнения ($b = a - 10$) во второе уравнение:

$-a - (a - 10) = -16$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно a:

$-a - a + 10 = -16$

$-2a = -16 - 10$

$-2a = -26$

$a = 13$

Теперь найдем значение b, подставив найденное значение a в выражение $b = a - 10$:

$b = 13 - 10 = 3$

Ответ: $a=13, b=3$.

Аналогично предыдущему пункту, подставим в систему значения $x=-4$ и $y=-6$, поскольку пара чисел (-4; -6) является решением.

$ \begin{cases} (a + 1)x - by = 2b \\ ax + (b + 1)y = 5a \end{cases} $

Подставляем $x=-4$, $y=-6$:

$ \begin{cases} (a + 1)(-4) - b(-6) = 2b \\ a(-4) + (b + 1)(-6) = 5a \end{cases} $

Упростим полученную систему уравнений относительно a и b:

$ \begin{cases} -4a - 4 + 6b = 2b \\ -4a - 6b - 6 = 5a \end{cases} $

Приведем подобные слагаемые:

$ \begin{cases} -4a - 4 = 2b - 6b \\ -6b - 6 = 5a + 4a \end{cases} $

$ \begin{cases} -4a - 4 = -4b \\ -6b - 6 = 9a \end{cases} $

Упростим первое уравнение, разделив обе его части на -4:

$a + 1 = b$

Теперь подставим полученное выражение для b во второе уравнение системы ($-6b - 6 = 9a$):

$-6(a + 1) - 6 = 9a$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$-6a - 6 - 6 = 9a$

$-12 = 9a + 6a$

$-12 = 15a$

$a = -\frac{12}{15}$

Сократим дробь на 3:

$a = -\frac{4}{5}$

Теперь найдем значение b, используя выражение $b = a + 1$:

$b = -\frac{4}{5} + 1 = -\frac{4}{5} + \frac{5}{5} = \frac{1}{5}$

Ответ: $a = -4/5, b = 1/5$.