Номер 8, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

8. Что такое несовместная система уравнений?

Система уравнений называется несовместной, если у нее нет ни одного решения. Это значит, что не существует такого набора значений неизвестных переменных, который бы удовлетворял одновременно всем уравнениям, входящим в систему. Системы, имеющие хотя бы одно решение, называются совместными.

Рассмотрим, как определить несовместность системы и что это означает с разных точек зрения.

Алгебраический признак

При решении несовместной системы уравнений с помощью равносильных преобразований (методом подстановки, алгебраического сложения, методом Гаусса) на одном из этапов возникает противоречие — ложное числовое равенство. Чаще всего это равенство вида $0 = c$, где $c$ — любое число, не равное нулю.

Пример:

Рассмотрим следующую систему:

$$ \begin{cases} 2x - y = 4 \\ 6x - 3y = 15 \end{cases}$$

Попробуем решить ее методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на $-3$:

$$ -3(2x - y) = -3 \cdot 4 \implies -6x + 3y = -12$$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$$ (-6x + 3y) + (6x - 3y) = -12 + 15$$

$$ 0x + 0y = 3$$

$$ 0 = 3$$

Мы получили неверное равенство. Это противоречие указывает на то, что у системы нет решений, следовательно, она является несовместной.

Геометрическая интерпретация

Геометрический смысл несовместной системы линейных уравнений заключается в расположении графиков этих уравнений.

• Для системы двух уравнений с двумя переменными. Каждое линейное уравнение с двумя переменными (например, $x$ и $y$) задает на координатной плоскости прямую. Система несовместна, если эти прямые параллельны и не совпадают. У таких прямых одинаковый угловой коэффициент, но разный сдвиг по оси ординат. Для уравнений из примера выше ($2x - y = 4 \implies y = 2x - 4$ и $6x - 3y = 15 \implies y = 2x - 5$) угловые коэффициенты равны 2, а свободные члены (-4 и -5) различны. Это графики двух параллельных прямых, которые никогда не пересекутся.

• Для системы уравнений с тремя переменными. Каждое линейное уравнение с тремя переменными ($x, y, z$) задает плоскость в трехмерном пространстве. Система несовместна, если эти плоскости не имеют ни одной общей точки пересечения. Например, две из трех плоскостей могут быть параллельны, или все три плоскости могут пересекаться попарно, образуя три параллельные прямые (как грани треугольной призмы).

Формальный критерий (Теорема Кронекера-Капелли)

В линейной алгебре существует строгий критерий для определения совместности системы линейных уравнений. Согласно теореме Кронекера-Капелли, система совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы.

Следовательно, система несовместна, если ранг основной матрицы $A$ (составленной из коэффициентов при неизвестных) строго меньше ранга расширенной матрицы $[A|b]$ (матрицы $A$, дополненной столбцом свободных членов $b$).

$$ \text{rank}(A) < \text{rank}([A|b])$$

Это условие как раз и соответствует появлению противоречия $0=c$ при приведении матрицы к ступенчатому виду методом Гаусса.

Ответ: Несовместная система уравнений — это система, которая не имеет ни одного решения. Признаком несовместности при алгебраическом решении является получение в результате преобразований ложного числового равенства (например, $0=3$). Геометрически (для линейных систем) это означает, что графики уравнений (прямые или плоскости) не имеют общих точек пересечения.