Номер 3, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Вопросы для самопроверки. Параграф 15. Метод алгебраического сложения. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Часть 1 - номер 3, страница 86.

Условие.

3. Решите систему уравнений $\begin{cases} x + y = 12, \\ x - y = 8, \end{cases}$ дважды применив метод алгебраического сложения.

Решение 1.

Решение 8.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 12 \\ x - y = 8 \end{cases} $

Согласно условию, решим систему, применив метод алгебраического сложения дважды: сначала для нахождения переменной x, а затем для нахождения переменной y.

Первое применение метода сложения (для нахождения x)

Чтобы найти x, сложим почленно левые и правые части уравнений системы. Коэффициенты при переменной y ($1$ и $-1$) являются противоположными числами, поэтому при сложении слагаемые с y взаимно уничтожатся.

$(x + y) + (x - y) = 12 + 8$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$x + y + x - y = 20$

$2x = 20$

Отсюда находим значение x:

$x = \frac{20}{2}$

$x = 10$

Второе применение метода сложения (для нахождения y)

Чтобы найти y, необходимо исключить переменную x. Для этого вычтем из первого уравнения системы второе. Вычитание одного уравнения из другого является разновидностью метода алгебраического сложения (сложение с уравнением, умноженным на $-1$).

$(x + y) - (x - y) = 12 - 8$

Раскрываем скобки. Важно помнить, что знак перед вторым слагаемым в скобке меняется на противоположный:

$x + y - x + y = 4$

Приводим подобные слагаемые:

$2y = 4$

Отсюда находим значение y:

$y = \frac{4}{2}$

$y = 2$

Проверим найденное решение $(10; 2)$, подставив значения в исходную систему:

$ \begin{cases} 10 + 2 = 12 \\ 10 - 2 = 8 \end{cases} \implies \begin{cases} 12 = 12 \\ 8 = 8 \end{cases} $

Оба равенства верны, следовательно, система решена правильно.

Ответ: $(10; 2)$.