Номер 2, страница 83, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Вопросы для самопроверки. Параграф 14. Метод подстановки. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Часть 1 - номер 2, страница 83.

Условие.

2. Опишите алгоритм решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки на примере решения системы $ \begin{cases} 2x + 3y = 7, \\ x - y = 1. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 8.

Алгоритм решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки состоит из нескольких последовательных шагов. Рассмотрим этот алгоритм на примере решения следующей системы:

$ \begin{cases} 2x + 3y = 7, \\ x - y = 1. \end{cases} $

Шаг 1: Выразить одну переменную через другую

Из любого уравнения системы необходимо выразить одну переменную через другую. Удобнее всего выбирать то уравнение и ту переменную, где коэффициент равен 1 или -1, чтобы избежать появления дробей. В данной системе во втором уравнении ($x - y = 1$) коэффициент при переменной $x$ равен 1. Выразим $x$ из этого уравнения.

$x - y = 1$

$x = 1 + y$

Шаг 2: Подставить полученное выражение в другое уравнение

Теперь полученное на первом шаге выражение для переменной $x$ (то есть $1 + y$) нужно подставить во второе уравнение системы, то есть в то, которое мы не использовали на первом шаге. В нашем случае это первое уравнение: $2x + 3y = 7$. В результате мы получим уравнение с одной переменной $y$.

$2(1 + y) + 3y = 7$

Шаг 3: Решить полученное уравнение с одной переменной

Теперь решаем полученное на втором шаге уравнение относительно переменной $y$.

Раскрываем скобки: $2 \cdot 1 + 2 \cdot y + 3y = 7$

$2 + 2y + 3y = 7$

Приводим подобные слагаемые: $2 + 5y = 7$

Переносим свободный член в правую часть: $5y = 7 - 2$

$5y = 5$

Находим значение $y$: $y = \frac{5}{5}$

$y = 1$

Шаг 4: Найти значение второй переменной

Мы нашли значение одной переменной. Чтобы найти значение второй ($x$), нужно подставить найденное значение $y = 1$ в выражение, полученное на первом шаге: $x = 1 + y$.

$x = 1 + 1$

$x = 2$

Шаг 5: Записать ответ и выполнить проверку

Решением системы является пара чисел $(x; y)$. В нашем случае это $(2; 1)$. Для уверенности в правильности решения рекомендуется выполнить проверку, подставив найденные значения в оба исходных уравнения.

Проверка:

Подставляем $x=2$ и $y=1$ в первое уравнение: $2(2) + 3(1) = 4 + 3 = 7$. Получаем $7 = 7$. Верно.

Подставляем $x=2$ и $y=1$ во второе уравнение: $2 - 1 = 1$. Получаем $1 = 1$. Верно.

Так как оба равенства верные, решение найдено правильно.

Ответ: $(2; 1)$