Номер 7, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

7. Что такое неопределённая система уравнений?

Определение

Неопределённая система уравнений (также называемая недоопределённой или совместной неопределённой) — это система уравнений, которая имеет бесконечное множество решений. В отличие от определённой системы, имеющей единственное решение, или несовместной системы, не имеющей решений вовсе, неопределённая система не позволяет однозначно найти значения всех неизвестных.

Условия возникновения

Чаще всего неопределённая система возникает, когда количество линейно независимых уравнений в системе меньше, чем количество неизвестных переменных.

Если у нас есть система из $m$ линейных уравнений с $n$ переменными: $$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} $$ Система будет неопределённой, если она совместна (т.е. имеет хотя бы одно решение) и при этом ранг её основной матрицы меньше числа переменных ($ \text{rank}(A) < n $). Простыми словами, если после всех упрощений "существенно разных" уравнений оказывается меньше, чем неизвестных.

Пример 1: Одно уравнение с двумя неизвестными

Рассмотрим простое уравнение: $$ x + y = 10 $$ Здесь у нас одно уравнение и две неизвестные ($x$ и $y$). Мы не можем найти единственную пару чисел, которая бы удовлетворяла этому уравнению. Вместо этого мы можем выразить одну переменную через другую: $$ y = 10 - x $$ Теперь, придавая переменной $x$ любое значение, мы будем получать соответствующее значение $y$. Например:
- Если $x = 1$, то $y = 9$. Решение: $(1, 9)$.
- Если $x = 5$, то $y = 5$. Решение: $(5, 5)$.
- Если $x = -2$, то $y = 12$. Решение: $(-2, 12)$.
Поскольку $x$ может быть любым действительным числом, существует бесконечное множество таких пар. Общее решение можно записать в параметрическом виде. Пусть $x = c$, где $c$ — произвольный параметр. Тогда решение системы: $$ (c, 10 - c), \quad c \in \mathbb{R} $$ Геометрически это уравнение задаёт прямую на координатной плоскости, и каждая точка этой прямой является решением.

Пример 2: Система из двух уравнений с тремя неизвестными

Рассмотрим систему: $$ \begin{cases} x + y - z = 7 \\ x - y + 2z = 1 \end{cases} $$ Здесь два уравнения и три неизвестные ($x, y, z$). Для решения выразим одни переменные через другие.
1. Сложим два уравнения, чтобы исключить $y$: $$ (x + y - z) + (x - y + 2z) = 7 + 1 $$ $$ 2x + z = 8 \implies z = 8 - 2x $$ 2. Подставим полученное выражение для $z$ в первое уравнение: $$ x + y - (8 - 2x) = 7 $$ $$ x + y - 8 + 2x = 7 $$ $$ 3x + y = 15 \implies y = 15 - 3x $$ Мы выразили переменные $y$ и $z$ через $x$. Переменная $x$ называется свободной, так как может принимать любое значение. Обозначим её через параметр $t$: $x = t$. Тогда общее решение системы имеет вид: $$ \begin{cases} x = t \\ y = 15 - 3t \\ z = 8 - 2t \end{cases} $$ где $t$ — любое действительное число. Для каждого значения $t$ мы получаем свой набор $(x, y, z)$, являющийся решением. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений. Геометрически, каждое уравнение задаёт плоскость в трёхмерном пространстве. Их пересечение (если они не параллельны) образует прямую, каждая точка которой является решением системы.

Ответ: Неопределённая система уравнений — это система, имеющая бесконечное множество решений. Такая ситуация обычно возникает, когда число независимых уравнений в системе оказывается меньше числа неизвестных переменных, что не позволяет однозначно определить значения всех переменных и приводит к появлению свободных переменных в общем решении.