Номер 2, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Вопросы для самопроверки. Параграф 13. Основные понятия. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Часть 1 - номер 2, страница 79.

Условие.

2. Что такое система двух линейных уравнений с двумя переменными?

Решение 1.

Решение 8.

1.

Чтобы найти решения линейного уравнения с двумя переменными $x + 2y = 5$, необходимо найти такие пары чисел $(x; y)$, которые при подстановке в уравнение обращают его в верное равенство. Для этого удобно выразить одну переменную через другую.

Выразим переменную $x$ через $y$:
$x = 5 - 2y$

Теперь можно подбирать произвольные значения для $y$ и вычислять соответствующие им значения $x$. Найдем три таких решения.

1. Пусть $y = 0$.
Тогда $x = 5 - 2 \cdot 0 = 5 - 0 = 5$.
Первое решение: $(5; 0)$.
Проверка: $5 + 2 \cdot 0 = 5$, что верно.

2. Пусть $y = 2$.
Тогда $x = 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1$.
Второе решение: $(1; 2)$.
Проверка: $1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5$, что верно.

3. Пусть $x = -1$.
Тогда $-1 + 2y = 5$.
$2y = 5 + 1$
$2y = 6$
$y = 3$
Третье решение: $(-1; 3)$.
Проверка: $-1 + 2 \cdot 3 = -1 + 6 = 5$, что верно.

Ответ: например, $(5; 0)$, $(1; 2)$ и $(-1; 3)$.

2.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными — это два линейных уравнения, которые содержат одни и те же две переменные и рассматриваются совместно. Основная задача при работе с системой — найти общее решение, то есть такую пару значений переменных, которая одновременно удовлетворяет каждому из уравнений системы.

Общий вид такой системы, где переменными являются $x$ и $y$, записывается так:

$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

В данной записи $x$ и $y$ — это переменные (неизвестные), значения которых нужно найти. Символы $a_1, b_1, a_2, b_2$ — это числовые коэффициенты при переменных, а $c_1, c_2$ — это свободные члены (также числа).

Решением системы уравнений называют упорядоченную пару чисел $(x_0, y_0)$, которая при подстановке в оба уравнения системы обращает каждое из них в верное числовое равенство.

Решить систему — означает найти все её решения или доказать, что решений не существует.

Геометрически каждое такое уравнение на координатной плоскости задает прямую линию. Соответственно, решение системы — это координаты точки пересечения этих двух прямых. Если прямые параллельны и не совпадают, система не имеет решений. Если прямые совпадают, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: Система двух линейных уравнений с двумя переменными — это два линейных уравнения, для которых требуется найти общие решения, то есть пары значений переменных, удовлетворяющие обоим уравнениям одновременно.