Номер 2, страница 73, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 1. Глава 2. Линейная функция. Параграф 12. Упорядочение данных. Таблица распределения. Темы исследовательских работ - номер 2, страница 73.

Условие.

2. Линейные уравнения с двумя переменными и линейные функции как математические модели реальных ситуаций.

Решение 1.

Решение 8.

Математическое моделирование — это процесс описания реальной ситуации или объекта с помощью математического языка. Линейные уравнения и функции являются одними из простейших, но в то же время мощных инструментов для такого моделирования. Они позволяют анализировать зависимости между различными величинами, делать прогнозы и принимать решения.

Линейные уравнения с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций

Линейное уравнение с двумя переменными имеет общий вид $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — переменные, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты). Такие уравнения часто используются для моделирования ситуаций, в которых существует некоторое фиксированное ограничение на две различные величины.

Рассмотрим пример. Фермеру нужно закупить саженцы яблонь и груш. Саженец яблони стоит 200 рублей, а саженец груши — 300 рублей. Всего на покупку фермер выделил 6000 рублей.

Составим математическую модель этой ситуации:

• Пусть $x$ — количество купленных саженцев яблонь.
• Пусть $y$ — количество купленных саженцев груш.

Тогда общая стоимость саженцев яблонь составит $200x$ рублей, а общая стоимость саженцев груш — $300y$ рублей. Поскольку общий бюджет ограничен 6000 рублями, мы можем составить уравнение:

$200x + 300y = 6000$

Это и есть математическая модель ситуации. Решениями этого уравнения являются пары чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют данному условию. В контексте задачи $x$ и $y$ должны быть целыми и неотрицательными числами. Например, если фермер купит 15 яблонь ($x=15$), то мы можем найти, сколько груш он сможет купить:

$200(15) + 300y = 6000$
$3000 + 300y = 6000$
$300y = 3000$
$y = 10$

Таким образом, пара $(15, 10)$ является одним из возможных решений. Модель позволяет найти все возможные комбинации покупок, не выходя за рамки бюджета.

Ответ: Линейное уравнение с двумя переменными вида $ax+by=c$ моделирует ситуации, где две величины ($x$ и $y$) связаны общим ограничением ($c$), например, общим бюджетом, весом или количеством. Коэффициенты $a$ и $b$ отражают вклад каждой величины (например, цену за единицу или вес одного предмета).

Линейные функции как математические модели реальных ситуаций

Линейная функция имеет вид $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $y$ — зависимая переменная (функция). Коэффициенты $k$ и $b$ имеют четкий физический или экономический смысл:

• $k$ — угловой коэффициент, который показывает скорость изменения величины $y$ при изменении $x$ на единицу. Это может быть скорость, цена за единицу, тариф и т.д.
• $b$ — свободный член, который показывает начальное значение величины $y$ (когда $x=0$). Это может быть начальное положение, абонентская плата, фиксированная стоимость и т.п.

Рассмотрим пример. Стоимость поездки на такси складывается из фиксированной платы за подачу машины (150 рублей) и платы за каждый километр пути (25 рублей за километр).

Составим математическую модель для расчета стоимости поездки:

• Пусть $x$ — расстояние поездки в километрах.
• Пусть $y$ — итоговая стоимость поездки в рублях.

В этой модели:

• Начальное значение (плата за подачу, не зависящая от расстояния) — это $b = 150$.
• Скорость изменения стоимости (цена за километр) — это $k = 25$.

Таким образом, зависимость стоимости поездки от расстояния описывается линейной функцией:

$y = 25x + 150$

С помощью этой модели можно легко рассчитать стоимость поездки на любое расстояние. Например, поездка на 10 км ($x=10$) будет стоить:

$y = 25(10) + 150 = 250 + 150 = 400$ рублей.

Интересно, что линейное уравнение с двумя переменными можно преобразовать в линейную функцию. Вернемся к примеру с саженцами: $200x + 300y = 6000$. Выразим $y$ через $x$:

$300y = 6000 - 200x$
$y = \frac{6000 - 200x}{300}$
$y = 20 - \frac{2}{3}x$

Мы получили линейную функцию $y = -\frac{2}{3}x + 20$. Здесь $k = -\frac{2}{3}$ показывает, что при покупке каждой дополнительной яблони ($x$) количество груш ($y$), которое можно купить, уменьшается. Начальное значение $b=20$ означает, что если не покупать яблони ($x=0$), можно купить 20 груш.

Ответ: Линейная функция вида $y=kx+b$ моделирует процессы, в которых одна величина ($y$) зависит от другой ($x$) с постоянной скоростью изменения ($k$). Параметр $b$ представляет собой начальное значение величины $y$ (при $x=0$). Примерами являются зависимость стоимости услуги от ее объема (например, такси) или зависимость пройденного пути от времени при движении с постоянной скоростью.