Номер 6, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

6. Расскажите, как графически решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными, которая составлена вами в задании 4 в).

Поскольку система уравнений, составленная в задании 4 в), не предоставлена, для демонстрации графического метода решения будет использована следующая примерная система:

$$ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases} $$

Графический метод решения системы уравнений заключается в построении графиков каждого уравнения в одной системе координат и нахождении координат точек их пересечения. Каждое линейное уравнение с двумя переменными вида $ax + by = c$ представляет собой прямую на плоскости. Решение системы — это координаты точки, которая принадлежит обеим прямым.

Шаг 1: Преобразование уравнений к виду линейной функции

Чтобы построить график линейного уравнения, удобнее всего выразить переменную $y$ через $x$, приведя уравнение к виду $y = kx + m$, где $k$ – угловой коэффициент (отвечает за наклон прямой), а $m$ – свободный член (показывает точку пересечения с осью $Oy$).

1. Преобразуем первое уравнение: $x + y = 5$

Вычитая $x$ из обеих частей, получаем:

$y = 5 - x$ или, в более привычном виде, $y = -x + 5$.

2. Преобразуем второе уравнение: $2x - y = 1$

Вычтем $2x$ из обеих частей: $-y = 1 - 2x$.

Умножим обе части на $-1$, чтобы выразить $y$:

$y = -1(1 - 2x) \implies y = 2x - 1$.

Шаг 2: Построение таблиц значений для каждой функции

Для построения прямой на плоскости достаточно знать координаты двух любых ее точек. Составим таблицы значений для каждой функции, выбрав произвольные значения $x$ и вычислив соответствующие значения $y$.

Для прямой $y = -x + 5$:

• Пусть $x = 0$, тогда $y = -0 + 5 = 5$. Получаем точку с координатами $(0, 5)$.
• Пусть $x = 5$, тогда $y = -5 + 5 = 0$. Получаем точку с координатами $(5, 0)$.

Для прямой $y = 2x - 1$:

• Пусть $x = 0$, тогда $y = 2 \cdot 0 - 1 = -1$. Получаем точку с координатами $(0, -1)$.
• Пусть $x = 2$, тогда $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$. Получаем точку с координатами $(2, 3)$.

Шаг 3: Построение графиков в одной системе координат

Начертим прямоугольную (декартову) систему координат $Oxy$.

1. Построим график первого уравнения $y = -x + 5$. Отметим на плоскости точки $(0, 5)$ и $(5, 0)$ и проведем через них прямую линию.

2. Построим график второго уравнения $y = 2x - 1$. На той же координатной плоскости отметим точки $(0, -1)$ и $(2, 3)$ и проведем через них вторую прямую.

Шаг 4: Нахождение координат точки пересечения

Решением системы уравнений являются координаты точки пересечения построенных прямых. Внимательно посмотрев на чертеж, мы находим точку, в которой две прямые пересекаются. Координаты этой точки и будут решением системы.

В нашем примере прямые пересекаются в точке с координатами $(2, 3)$.

Шаг 5: Проверка найденного решения

Чтобы убедиться, что решение найдено верно, необходимо подставить координаты точки пересечения ($x=2$, $y=3$) в оба исходных уравнения системы. Если оба уравнения превратятся в верные числовые равенства, то решение найдено правильно.

1. Проверка для первого уравнения $x + y = 5$:

$2 + 3 = 5$

$5 = 5$ (Верно)

2. Проверка для второго уравнения $2x - y = 1$:

$2 \cdot 2 - 3 = 1$

$4 - 3 = 1$

$1 = 1$ (Верно)

Оба равенства верны, следовательно, пара чисел $(2, 3)$ является решением данной системы уравнений.

Ответ: Чтобы графически решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными, необходимо: 1) построить график каждого уравнения в одной системе координат; 2) найти координаты точки пересечения графиков. Эти координаты и являются решением системы. Для приведённой в примере системы $ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases} $ решением является пара чисел $(2; 3)$.