Номер 1, страница 83, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Вопросы для самопроверки. Параграф 14. Метод подстановки. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Часть 1 - номер 1, страница 83.

Условие.

1. Расскажите, в чём суть метода подстановки при решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Решение 1.

Решение 8.

Метод подстановки — это один из аналитических способов решения систем уравнений. Суть метода заключается в том, чтобы избавиться от одной из переменных в одном из уравнений, тем самым сведя решение системы из двух уравнений с двумя переменными к решению одного уравнения с одной переменной.

Алгоритм решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки состоит из следующих шагов:

1. Выразить одну переменную через другую

Из любого уравнения системы нужно выразить одну переменную через другую. Удобнее всего выбирать то уравнение и ту переменную, где коэффициент при ней равен $1$ или $-1$, так как это позволяет избежать работы с дробями.

Например, для системы уравнений $ \begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases} $ из первого уравнения легко выразить $x$: $x = 8 - 2y$. Или из второго уравнения можно выразить $y$: $-y = 3 - 3x$, откуда $y = 3x - 3$.

2. Подставить полученное выражение в другое уравнение

Полученное на первом шаге выражение подставляем во второе (то, которое не использовали на первом шаге) уравнение системы вместо той переменной, которую мы выразили. В результате этих действий мы получаем линейное уравнение, содержащее только одну переменную.

Продолжая пример, если мы выбрали выражение $x = 8 - 2y$ из первого уравнения, то подставляем его во второе уравнение вместо $x$: $3(8 - 2y) - y = 3$.

3. Решить полученное уравнение с одной переменной

Решаем это простое уравнение и находим численное значение одной из переменных.

В нашем примере:

$24 - 6y - y = 3$

$24 - 7y = 3$

$-7y = 3 - 24$

$-7y = -21$

$y = 3$

4. Найти значение второй переменной

Подставляем найденное на третьем шаге значение переменной в выражение, которое мы получили на первом шаге. Вычисляем значение второй переменной.

Мы нашли, что $y = 3$. Подставим это значение в выражение для $x$: $x = 8 - 2y = 8 - 2 \cdot 3 = 8 - 6 = 2$.

5. Записать ответ

Решением системы является пара чисел. Ответ принято записывать в круглых скобках, на первом месте значение $x$, на втором — значение $y$.

Для нашего примера решением будет пара $(2; 3)$.

Ответ: Суть метода подстановки заключается в том, чтобы из одного уравнения системы выразить одну переменную через другую, а затем подставить это выражение во второе уравнение системы. Это позволяет перейти от системы двух уравнений с двумя переменными к одному уравнению с одной переменной. После нахождения корня этого уравнения вычисляют значение и второй переменной.