Номер 4, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Вопросы для самопроверки. Параграф 15. Метод алгебраического сложения. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Часть 1 - номер 4, страница 86.

Условие.

4. Как вы считаете, в каких случаях при решении системы линейных уравнений с двумя переменными метод алгебраического сложения использовать удобнее, чем метод подстановки?

Решение 1.

Решение 8.

При решении систем линейных уравнений с двумя переменными выбор между методом алгебраического сложения и методом подстановки зависит от конкретного вида уравнений, а именно от коэффициентов при переменных. Метод алгебраического сложения является более удобным и эффективным в следующих основных случаях.

Случай 1: Коэффициенты при одной из переменных являются противоположными числами

Это самый простой и очевидный случай для применения метода сложения. Если в двух уравнениях коэффициенты при $x$ или при $y$ являются противоположными числами (например, $5$ и $-5$), то при почленном сложении этих уравнений данная переменная взаимно уничтожается. Это позволяет мгновенно перейти к уравнению с одной переменной.

Пример:

Рассмотрим систему:

$ \begin{cases} 2x + 5y = 1 \\ 3x - 5y = 9 \end{cases} $

Коэффициенты при переменной $y$ — это $5$ и $-5$. Сложим левые и правые части уравнений:

$(2x + 5y) + (3x - 5y) = 1 + 9$

$5x = 10$

$x = 2$

Вычисление получается очень быстрым. В то время как при использовании метода подстановки пришлось бы выражать одну переменную через другую, что привело бы к появлению дробей (например, $y = \frac{1 - 2x}{5}$), и дальнейшие вычисления стали бы более громоздкими.

Ответ: Метод сложения удобнее, когда коэффициенты при одной из переменных в разных уравнениях являются противоположными числами.

Случай 2: Коэффициенты при одной из переменных равны

Если коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях одинаковы, то для исключения этой переменной можно вычесть одно уравнение из другого. Это является частным случаем метода алгебраического сложения (вычитание эквивалентно сложению с уравнением, умноженным на $-1$).

Пример:

$ \begin{cases} 7x + 2y = 12 \\ 4x + 2y = 6 \end{cases} $

Коэффициенты при $y$ равны. Вычтем второе уравнение из первого:

$(7x + 2y) - (4x + 2y) = 12 - 6$

$3x = 6$

$x = 2$

Как и в предыдущем случае, мы избегаем дробных выражений, которые появились бы при использовании метода подстановки.

Ответ: Метод сложения (через вычитание) удобнее, когда коэффициенты при одной из переменных в уравнениях равны.

Случай 3: Коэффициенты при одной из переменных можно легко сделать равными или противоположными

Это наиболее общий случай. Метод сложения очень удобен, когда ни один из коэффициентов не равен $1$ или $-1$, но коэффициенты при одной из переменных можно легко привести к общему модулю путем умножения одного или обоих уравнений на целые числа.

Пример:

$ \begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 4x - 3y = -2 \end{cases} $

Здесь нет ни равных, ни противоположных коэффициентов. Однако, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными ($6y$ и $-6y$), можно умножить первое уравнение на $3$, а второе на $2$:

$ \begin{cases} 3x + 2y = 7 & |\cdot 3 \\ 4x - 3y = -2 & |\cdot 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 9x + 6y = 21 \\ 8x - 6y = -4 \end{cases} $

Теперь система приведена к Случаю 1. Складываем уравнения:

$(9x + 6y) + (8x - 6y) = 21 + (-4)$

$17x = 17$

$x = 1$

Попытка решить эту систему методом подстановки (например, выразив $x = \frac{7 - 2y}{3}$) сразу же привела бы к сложным вычислениям с дробями, что повышает вероятность ошибки.

Ответ: Метод сложения удобнее, когда ни одна из переменных не выражается легко (т.е. нет коэффициентов $1$ или $-1$), но коэффициенты можно сделать равными или противоположными путем домножения уравнений на небольшие целые множители.

Таким образом, можно сделать общий вывод: метод алгебраического сложения предпочтительнее метода подстановки тогда, когда выражение одной переменной через другую приводит к появлению дробных коэффициентов. Метод сложения позволяет избежать работы с дробями, что делает решение более простым и менее подверженным ошибкам.