Номер 1, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 1. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 17. Нечисловые ряды данных. Темы исследовательских работ - номер 1, страница 94.

Условие.

1. Решение систем линейных уравнений методом подстановки.

Решение 1.

Решение 8.

Метод подстановки — это один из основных способов решения систем линейных уравнений. Суть метода заключается в том, чтобы из одного уравнения системы выразить одну переменную через другую, а затем подставить это выражение во второе уравнение. В результате мы получаем одно уравнение с одной неизвестной, которое легко решить.

Алгоритм решения систем линейных уравнений методом подстановки

Для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки следует придерживаться следующего алгоритма:

1. Из любого уравнения системы выразить одну переменную через другую. Проще всего это сделать, если коэффициент при какой-либо переменной равен $1$ или $-1$, так как это позволяет избежать работы с дробями.

2. Подставить полученное на первом шаге выражение в другое уравнение системы вместо соответствующей переменной. В результате этих действий получится линейное уравнение с одной переменной.

3. Решить полученное уравнение и найти численное значение этой переменной.

4. Подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге, чтобы вычислить значение второй переменной.

5. Записать ответ в виде упорядоченной пары чисел $(x; y)$. Рекомендуется выполнить проверку, подставив найденные значения в оба исходных уравнения системы.

Ответ: Ключевая идея метода — сведение системы двух уравнений с двумя переменными к одному уравнению с одной переменной путем выражения одной переменной через другую и ее последующей подстановки.

Пример

Решим систему уравнений методом подстановки:

$ \begin{cases} x + 3y = 7 \\ 2x - y = 0 \end{cases} $

Шаг 1: Выражаем одну переменную через другую.

В первом уравнении $x + 3y = 7$ коэффициент при переменной $x$ равен $1$. Поэтому удобно выразить $x$ из этого уравнения:

$x = 7 - 3y$

Также можно было бы выразить $y$ из второго уравнения: $y = 2x$. Выбор зависит от удобства.

Шаг 2: Подставляем полученное выражение в другое уравнение.

Подставим выражение $7 - 3y$ вместо $x$ во второе уравнение системы $2x - y = 0$:

$2(7 - 3y) - y = 0$

Шаг 3: Решаем полученное уравнение с одной переменной.

Раскроем скобки и решим уравнение относительно переменной $y$:

$14 - 6y - y = 0$

$14 - 7y = 0$

$-7y = -14$

$y = \frac{-14}{-7}$

$y = 2$

Шаг 4: Находим значение второй переменной.

Теперь, когда мы нашли значение $y$, подставим его в выражение для $x$, полученное на первом шаге:

$x = 7 - 3y$

$x = 7 - 3 \cdot 2$

$x = 7 - 6$

$x = 1$

Шаг 5: Записываем ответ.

Решением системы является пара чисел $(1; 2)$.

Проверим решение, подставив значения в исходные уравнения:

Первое уравнение: $1 + 3(2) = 1 + 6 = 7$. (Верно)

Второе уравнение: $2(1) - 2 = 2 - 2 = 0$. (Верно)

Ответ: $(1; 2)$