Номер 3, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

3. Системы линейных уравнений как математические модели реальных ситуаций.

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) являются мощным инструментом для создания математических моделей реальных ситуаций. Математическая модель — это описание реального процесса или явления с помощью математических символов и соотношений. СЛАУ применяются тогда, когда между искомыми величинами существуют линейные зависимости.

Этапы построения математической модели с помощью СЛАУ

Процесс моделирования, как правило, включает в себя следующие шаги:

1. Анализ проблемы и введение переменных. На этом этапе необходимо понять суть реальной ситуации, определить, какие величины являются неизвестными, и обозначить их переменными (например, $x, y, z$ или $x_1, x_2, x_3, \dots$).
2. Составление уравнений. Условия задачи, которые описывают связи между введенными переменными, переводятся на язык математики в виде линейных уравнений. Каждое независимое условие порождает одно уравнение. Общий вид линейного уравнения с $n$ переменными: $a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = b$.
3. Формирование и решение системы. Все полученные уравнения объединяются в систему. Затем эту систему решают одним из известных методов (метод подстановки, метод сложения, метод Гаусса, метод Крамера, матричный метод).
4. Интерпретация решения. Найденные значения переменных (математическое решение) переводятся обратно на язык исходной задачи. Необходимо проанализировать, является ли полученный ответ осмысленным в контексте реальной ситуации (например, количество товара не может быть отрицательным).

Пример 1: Производственная задача

Условие: Швейная фабрика производит плащи и куртки. На изготовление одного плаща требуется 2 метра ткани и 4 катушки ниток. На изготовление одной куртки — 3 метра ткани и 2 катушки ниток. На складе имеется 180 метров ткани и 200 катушек ниток. Сколько плащей и курток может произвести фабрика, чтобы полностью использовать все имеющиеся материалы?

Решение:

1. Введем переменные. Пусть $x$ — количество плащей, а $y$ — количество курток, которые произведет фабрика.
2. Составим уравнения на основе ограничений по ресурсам.
   • Ограничение по ткани: на $x$ плащей уйдет $2x$ метров ткани, а на $y$ курток — $3y$ метров. Всего ткани 180 метров. Получаем уравнение: $2x + 3y = 180$.
   • Ограничение по ниткам: на $x$ плащей уйдет $4x$ катушек, а на $y$ курток — $2y$ катушек. Всего ниток 200. Получаем уравнение: $4x + 2y = 200$.
3. Составим и решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2x + 3y = 180 \\ 4x + 2y = 200 \end{cases} $$ Второе уравнение можно упростить, разделив обе части на 2: $$ \begin{cases} 2x + 3y = 180 \\ 2x + y = 100 \end{cases} $$ Вычтем из первого уравнения второе: $(2x + 3y) - (2x + y) = 180 - 100$ $2y = 80$ $y = 40$
   Подставим найденное значение $y$ во второе уравнение системы: $2x + 40 = 100$ $2x = 60$ $x = 30$
4. Интерпретируем результат. Фабрика может произвести 30 плащей и 40 курток, чтобы полностью израсходовать все запасы ткани и ниток.

Ответ: Для полного использования ресурсов фабрика должна произвести 30 плащей и 40 курток.

Пример 2: Задача на смеси (химическая или пищевая промышленность)

Условие: Необходимо получить 500 кг смеси двух сортов кофе стоимостью 384 рубля за кг. Цена одного сорта — 360 рублей за кг, а другого — 400 рублей за кг. Сколько килограммов кофе каждого сорта нужно взять для приготовления смеси?

Решение:

1. Введем переменные. Пусть $x$ — масса (в кг) первого сорта кофе, а $y$ — масса (в кг) второго сорта кофе.
2. Составим уравнения.
   • По общей массе: суммарная масса смеси должна быть 500 кг. Уравнение: $x + y = 500$.
   • По общей стоимости: стоимость $x$ кг первого сорта равна $360x$ рублей, стоимость $y$ кг второго сорта — $400y$ рублей. Общая стоимость 500 кг смеси по цене 384 руб./кг равна $500 \cdot 384 = 192000$ рублей. Уравнение: $360x + 400y = 192000$.
3. Составим и решим систему: $$ \begin{cases} x + y = 500 \\ 360x + 400y = 192000 \end{cases} $$ Упростим второе уравнение, разделив его на 40: $$ \begin{cases} x + y = 500 \\ 9x + 10y = 4800 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $x$: $x = 500 - y$. Подставим это выражение во второе уравнение: $9(500 - y) + 10y = 4800$ $4500 - 9y + 10y = 4800$ $y = 4800 - 4500$ $y = 300$
   Теперь найдем $x$: $x = 500 - y = 500 - 300 = 200$
4. Интерпретируем результат. Для приготовления смеси необходимо взять 200 кг кофе первого сорта и 300 кг кофе второго сорта.

Ответ: Необходимо взять 200 кг кофе по 360 руб./кг и 300 кг кофе по 400 руб./кг.

Пример 3: Потоковые задачи (транспорт, электротехника)

Описание: Системы линейных уравнений используются для моделирования потоков в сетях. Например, в транспортной сети на каждом перекрестке количество въезжающих автомобилей должно быть равно количеству выезжающих (закон сохранения потока). Аналогично, в электрических цепях, согласно первому правилу Кирхгофа, сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из него. Каждому узлу сети соответствует линейное уравнение. Совокупность таких уравнений для всех узлов образует систему, решив которую, можно найти интенсивность потока на каждом участке сети.

Например, для узла, в который входят дороги с потоками $x_1$ и $x_2$, а выходят дороги с потоками $x_3$ и $x_4$, уравнение будет иметь вид: $x_1 + x_2 = x_3 + x_4$.

Ответ: Системы линейных уравнений позволяют моделировать потоковые процессы в различных сетях (транспортных, электрических, информационных), основываясь на законе сохранения потока в узлах сети.