Номер 2, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Темы исследовательских работ. Параграф 17. Нечисловые ряды данных. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Часть 1 - номер 2, страница 94.

Условие.

2. Решение систем линейных уравнений методом алгебраического сложения.

Решение 1.

Решение 8.

Метод алгебраического сложения — это один из способов решения систем линейных уравнений. Суть метода заключается в том, чтобы путем сложения или вычитания уравнений системы исключить одну из переменных. Это позволяет получить новое, более простое уравнение с одной переменной, которое легко решить.

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом сложения:

1. При необходимости, умножить одно или оба уравнения системы на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами (например, $5$ и $-5$).
2. Сложить левые и правые части уравнений. В результате получится одно линейное уравнение с одной переменной.
3. Решить полученное уравнение и найти значение одной переменной.
4. Подставить найденное значение переменной в любое из исходных уравнений системы.
5. Решить полученное уравнение и найти значение второй переменной.
6. Записать ответ в виде пары чисел $(x; y)$.

Пример 1

Решить систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - y = 3 \end{cases} $

Решение:
Коэффициенты при переменной $y$ в обоих уравнениях являются противоположными числами ($1$ и $-1$). Поэтому мы можем сразу сложить уравнения почленно, то есть сложить их левые части и их правые части.

$(2x + y) + (3x - y) = 7 + 3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x + y + 3x - y = 10$

$5x = 10$

Теперь решим это простое уравнение относительно $x$:

$x = \frac{10}{5}$

$x = 2$

Мы нашли значение переменной $x$. Теперь подставим его в любое из уравнений исходной системы, например, в первое:

$2(2) + y = 7$

$4 + y = 7$

$y = 7 - 4$

$y = 3$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(2; 3)$. Для проверки можно подставить найденные значения во второе уравнение: $3(2) - 3 = 6 - 3 = 3$. Равенство верное.

Ответ: $(2; 3)$

Пример 2

Решить систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 4x - 5y = 3 \end{cases} $

Решение:
В этой системе нет переменных с одинаковыми или противоположными коэффициентами. Чтобы исключить одну из переменных, например $y$, нам нужно сделать коэффициенты при ней противоположными. Найдем наименьшее общее кратное для модулей коэффициентов при $y$ (для $2$ и $5$). Это число $10$.

Умножим первое уравнение на $5$, а второе на $2$, чтобы получить коэффициенты $10$ и $-10$ при $y$:

$ \begin{cases} (3x + 2y) \cdot 5 = 8 \cdot 5 \\ (4x - 5y) \cdot 2 = 3 \cdot 2 \end{cases} $

Получим новую, равносильную систему:

$ \begin{cases} 15x + 10y = 40 \\ 8x - 10y = 6 \end{cases} $

Теперь сложим уравнения почленно:

$(15x + 10y) + (8x - 10y) = 40 + 6$

$23x = 46$

$x = \frac{46}{23}$

$x = 2$

Подставим найденное значение $x=2$ в одно из исходных уравнений, например, в первое:

$3(2) + 2y = 8$

$6 + 2y = 8$

$2y = 8 - 6$

$2y = 2$

$y = 1$

Решение системы — пара чисел $(2; 1)$.

Ответ: $(2; 1)$

Метод алгебраического сложения особенно удобен, когда коэффициенты при одной из переменных в уравнениях системы одинаковы или являются противоположными числами, или когда их легко сделать таковыми с помощью умножения на небольшие целые числа. Этот метод позволяет быстро и эффективно находить решение системы, избегая сложных подстановок.