Номер 2, страница 90, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Вопросы для самопроверки. Параграф 16. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Часть 1 - номер 2, страница 90.

Условие.

2. Решите систему уравнений, полученную вами в п. 1, методом подстановки и методом алгебраического сложения. Сравните получившиеся у вас ответы при решении системы уравнений.

Решение 1.

Решение 8.

В задании указано решить систему уравнений, полученную в пункте 1. Поскольку сама система не предоставлена, в качестве примера будет решена следующая система линейных уравнений, подходящая для демонстрации обоих методов:

$$ \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ x - 3y = -7 \end{cases} $$

Решение методом подстановки

Суть метода заключается в том, чтобы выразить одну переменную из одного уравнения и подставить это выражение в другое уравнение.

1. Выразим переменную $x$ из второго уравнения, так как коэффициент при ней равен 1, что упрощает вычисления:

$x - 3y = -7 \implies x = 3y - 7$

2. Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$3(3y - 7) + 2y = 12$

3. Теперь решим получившееся уравнение относительно переменной $y$:

$9y - 21 + 2y = 12$

$11y = 12 + 21$

$11y = 33$

$y = \frac{33}{11}$

$y = 3$

4. Найдем соответствующее значение $x$, подставив найденное значение $y=3$ в выражение для $x$, полученное на первом шаге:

$x = 3y - 7 = 3(3) - 7 = 9 - 7 = 2$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(2; 3)$.

Ответ: $(2; 3)$

Решение методом алгебраического сложения

Суть метода заключается в том, чтобы путем умножения уравнений на числа добиться того, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами, а затем сложить уравнения.

1. Исходная система:

$$ \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ x - 3y = -7 \end{cases} $$

Умножим второе уравнение на $-3$, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными ($3$ и $-3$):

$$ \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ (x - 3y) \cdot (-3) = -7 \cdot (-3) \end{cases} $$

Получим равносильную систему:

$$ \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ -3x + 9y = 21 \end{cases} $$

2. Сложим почленно левые и правые части уравнений полученной системы:

$(3x + 2y) + (-3x + 9y) = 12 + 21$

$3x - 3x + 2y + 9y = 33$

$11y = 33$

$y = 3$

3. Подставим найденное значение $y=3$ в любое из уравнений исходной системы, например, во второе:

$x - 3(3) = -7$

$x - 9 = -7$

$x = 9 - 7$

$x = 2$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(2; 3)$.

Ответ: $(2; 3)$

Сравнение получившихся ответов

При решении системы методом подстановки был получен ответ $(2; 3)$. При решении этой же системы методом алгебраического сложения был получен ответ $(2; 3)$. Ответы, полученные при решении системы двумя разными методами, полностью совпали. Это подтверждает правильность найденного решения. Выбор метода решения зависит от вида системы уравнений, но результат всегда должен быть одинаковым.