Номер 1, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 1. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 15. Метод алгебраического сложения. Вопросы для самопроверки - номер 1, страница 86.

Условие.

1. Расскажите, в чём суть метода алгебраического сложения при решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Решение 1.

Решение 8.

1. Метод алгебраического сложения — это один из способов решения систем линейных уравнений. Его основная идея заключается в том, чтобы преобразовать уравнения системы так, чтобы при их сложении (или вычитании) одна из переменных взаимно уничтожилась. Это позволяет получить одно уравнение с одной переменной, которое легко решить.

Рассмотрим алгоритм этого метода на примере общей системы двух линейных уравнений с переменными $x$ и $y$:

$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

Шаги решения методом алгебраического сложения:

1. Подготовка к сложению. Необходимо уравнять модули коэффициентов при одной из переменных. Для этого подбираются такие множители для каждого уравнения, чтобы после умножения коэффициенты при одной из переменных (например, $y$) стали противоположными числами (например, $k$ и $-k$). Если коэффициенты при какой-либо переменной уже являются противоположными или равными, этот шаг пропускается.

2. Алгебраическое сложение. Уравнения системы складываются почленно: левая часть одного уравнения складывается с левой частью другого, а правая — с правой. В результате получается новое уравнение, в котором отсутствует переменная, коэффициенты при которой были сделаны противоположными.

3. Решение полученного уравнения. Решается простое линейное уравнение с одной переменной, полученное на предыдущем шаге, и находится значение этой переменной.

4. Нахождение второй переменной. Полученное значение подставляется в любое из исходных уравнений системы. Затем решается полученное уравнение и находится значение второй переменной.

5. Запись ответа. Решение системы записывается в виде пары упорядоченных чисел $(x; y)$.

Пример:

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 4x - 3y = 1 \\ 3x + 2y = 5 \end{cases} $

1. Уравняем коэффициенты при переменной $y$. Для этого умножим первое уравнение на $2$, а второе — на $3$. В результате коэффициенты при $y$ станут $-6$ и $6$ (противоположные числа).

$ \begin{cases} (4x - 3y) \cdot 2 = 1 \cdot 2 \\ (3x + 2y) \cdot 3 = 5 \cdot 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 8x - 6y = 2 \\ 9x + 6y = 15 \end{cases} $

2. Сложим полученные уравнения:

$(8x - 6y) + (9x + 6y) = 2 + 15$

$17x = 17$

3. Решим это уравнение:

$x = 1$

4. Подставим найденное значение $x = 1$ во второе исходное уравнение ($3x + 2y = 5$):

$3 \cdot 1 + 2y = 5$

$3 + 2y = 5$

$2y = 2$

$y = 1$

5. Решением системы является пара чисел $(1; 1)$.

Ответ: Суть метода алгебраического сложения заключается в преобразовании уравнений системы (путем умножения на числа) с целью сделать коэффициенты при одной из переменных противоположными. Последующее сложение уравнений приводит к исключению этой переменной и получению простого уравнения с одной неизвестной. Найдя ее значение, его подставляют в одно из исходных уравнений, чтобы найти значение второй переменной.