Номер 2, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 1. Глава 3. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 15. Метод алгебраического сложения. Вопросы для самопроверки - номер 2, страница 86.

Условие.

2. Прокомментируйте метод алгебраического сложения на при-

мере решения системы уравнений:

a) $\begin{cases} 2x + 3y = 7, \\ 4x - 3y = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x + 3y = 7, \\ 3x - y = 5. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 8.

а) Метод алгебраического сложения заключается в том, чтобы сложить или вычесть уравнения системы с целью исключить одну из переменных.
Рассмотрим систему: $ \begin{cases} 2x + 3y = 7, \\ 4x - 3y = 5; \end{cases} $
1. Заметим, что коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($3$ и $-3$). Это означает, что если мы сложим два уравнения, слагаемые с $y$ взаимно уничтожатся.
2. Сложим левые и правые части уравнений почленно:
$(2x + 3y) + (4x - 3y) = 7 + 5$
$2x + 4x + 3y - 3y = 12$
$6x = 12$
3. Решим полученное уравнение относительно $x$:
$x = 12 / 6$
$x = 2$
4. Теперь, когда мы нашли значение одной переменной, подставим его в любое из исходных уравнений, чтобы найти вторую переменную. Подставим $x = 2$ в первое уравнение $2x + 3y = 7$:
$2 \cdot 2 + 3y = 7$
$4 + 3y = 7$
$3y = 7 - 4$
$3y = 3$
$y = 1$
5. Таким образом, решение системы — пара чисел $(2, 1)$.
Ответ: $(2, 1)$.

б) В данном случае коэффициенты при переменных не являются противоположными.
Рассмотрим систему: $ \begin{cases} 2x + 3y = 7, \\ 3x - y = 5. \end{cases} $
1. Чтобы использовать метод сложения, нужно сначала преобразовать одно или оба уравнения так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. Посмотрим на коэффициенты при $y$: это $3$ и $-1$. Если мы умножим второе уравнение на $3$, то коэффициент при $y$ станет $-3$, что является противоположным числу $3$ в первом уравнении.
2. Умножим все члены второго уравнения на $3$:
$3(3x - y) = 3 \cdot 5$
$9x - 3y = 15$
3. Теперь наша система выглядит так:
$ \begin{cases} 2x + 3y = 7, \\ 9x - 3y = 15. \end{cases} $
4. Теперь, как и в предыдущем примере, сложим уравнения почленно, чтобы исключить $y$:
$(2x + 3y) + (9x - 3y) = 7 + 15$
$11x = 22$
5. Решим полученное уравнение относительно $x$:
$x = 22 / 11$
$x = 2$
6. Подставим найденное значение $x = 2$ в одно из исходных уравнений (удобнее взять второе, $3x - y = 5$):
$3 \cdot 2 - y = 5$
$6 - y = 5$
$-y = 5 - 6$
$-y = -1$
$y = 1$
7. Решение системы — пара чисел $(2, 1)$.
Ответ: $(2, 1)$.