Страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

14.22 а) $\begin{cases} \frac{5x - 3 + 9y}{3} = \frac{2x + 3y - 2}{2} \\ \frac{x - 3y}{2} = \frac{2x - 3y}{3} \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{2x - y}{6} + \frac{2x + y}{9} = 3 \\ \frac{x + y}{3} - \frac{x - y}{4} = 4 \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{x + 3 - 5y}{2} = \frac{3x - 4y + 3}{3} \\ \frac{6 + 3x - y}{3} = \frac{12x - y}{4} \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{x + y}{8} + \frac{x - y}{6} = 5 \\ \frac{x + y}{4} + \frac{x - y}{5} = 10 \end{cases}$

а)

Данная система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{5x - 3 + 9y}{3} = \frac{2x + 3y - 2}{2} \\ \frac{x - 3y}{2} = \frac{2x - 3y}{3} \end{cases} $$ Для решения системы избавимся от знаменателей в каждом уравнении.
Преобразуем первое уравнение, используя основное свойство пропорции (умножим крест-накрест):
$2(5x - 3 + 9y) = 3(2x + 3y - 2)$
$10x - 6 + 18y = 6x + 9y - 6$
Перенесем слагаемые с переменными в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$10x - 6x + 18y - 9y = -6 + 6$
$4x + 9y = 0$

Теперь преобразуем второе уравнение:
$3(x - 3y) = 2(2x - 3y)$
$3x - 9y = 4x - 6y$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$3x - 4x - 9y + 6y = 0$
$-x - 3y = 0$
Умножим обе части уравнения на -1:
$x + 3y = 0$

Получили упрощенную систему: $$ \begin{cases} 4x + 9y = 0 \\ x + 3y = 0 \end{cases} $$ Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$:
$x = -3y$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$4(-3y) + 9y = 0$
$-12y + 9y = 0$
$-3y = 0$
$y = 0$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = -3y$:
$x = -3 \cdot 0 = 0$
Решение системы: $x=0$, $y=0$.
Ответ: $(0, 0)$.

б)

Данная система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{2x - y}{6} + \frac{2x + y}{9} = 3 \\ \frac{x + y}{3} - \frac{x - y}{4} = 4 \end{cases} $$ Упростим каждое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю.
Для первого уравнения общий знаменатель для 6 и 9 равен 18. Умножим обе части уравнения на 18:
$18 \cdot \frac{2x - y}{6} + 18 \cdot \frac{2x + y}{9} = 18 \cdot 3$
$3(2x - y) + 2(2x + y) = 54$
$6x - 3y + 4x + 2y = 54$
$10x - y = 54$

Для второго уравнения общий знаменатель для 3 и 4 равен 12. Умножим обе части уравнения на 12:
$12 \cdot \frac{x + y}{3} - 12 \cdot \frac{x - y}{4} = 12 \cdot 4$
$4(x + y) - 3(x - y) = 48$
$4x + 4y - 3x + 3y = 48$
$x + 7y = 48$

Получили систему: $$ \begin{cases} 10x - y = 54 \\ x + 7y = 48 \end{cases} $$ Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 10x - 54$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$x + 7(10x - 54) = 48$
$x + 70x - 378 = 48$
$71x = 48 + 378$
$71x = 426$
$x = \frac{426}{71} = 6$
Теперь найдем $y$, подставив $x=6$ в выражение $y = 10x - 54$:
$y = 10 \cdot 6 - 54 = 60 - 54 = 6$
Решение системы: $x=6$, $y=6$.
Ответ: $(6, 6)$.

в)

Данная система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{x + 3 - 5y}{2} = \frac{3x - 4y + 3}{3} \\ \frac{6 + 3x - y}{3} = \frac{12x - y}{4} \end{cases} $$ Упростим каждое уравнение, используя свойство пропорции.
Преобразуем первое уравнение:
$3(x + 3 - 5y) = 2(3x - 4y + 3)$
$3x + 9 - 15y = 6x - 8y + 6$
$3x - 6x - 15y + 8y = 6 - 9$
$-3x - 7y = -3$
$3x + 7y = 3$

Преобразуем второе уравнение:
$4(6 + 3x - y) = 3(12x - y)$
$24 + 12x - 4y = 36x - 3y$
$12x - 36x - 4y + 3y = -24$
$-24x - y = -24$
$24x + y = 24$

Получили систему: $$ \begin{cases} 3x + 7y = 3 \\ 24x + y = 24 \end{cases} $$ Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 24 - 24x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$3x + 7(24 - 24x) = 3$
$3x + 168 - 168x = 3$
$-165x = 3 - 168$
$-165x = -165$
$x = 1$
Найдем $y$, подставив $x=1$ в выражение $y = 24 - 24x$:
$y = 24 - 24 \cdot 1 = 0$
Решение системы: $x=1$, $y=0$.
Ответ: $(1, 0)$.

г)

Данная система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{x + y}{8} + \frac{x - y}{6} = 5 \\ \frac{x + y}{4} + \frac{x - y}{5} = 10 \end{cases} $$ Для упрощения решения введем новые переменные:
Пусть $a = x + y$ и $b = x - y$.
Тогда система примет вид: $$ \begin{cases} \frac{a}{8} + \frac{b}{6} = 5 \\ \frac{a}{4} + \frac{b}{5} = 10 \end{cases} $$ Теперь решим эту систему относительно $a$ и $b$. Умножим первое уравнение на 24 (НОК 8 и 6), а второе на 20 (НОК 4 и 5):
$24(\frac{a}{8} + \frac{b}{6}) = 24 \cdot 5 \implies 3a + 4b = 120$
$20(\frac{a}{4} + \frac{b}{5}) = 20 \cdot 10 \implies 5a + 4b = 200$

Получили систему: $$ \begin{cases} 3a + 4b = 120 \\ 5a + 4b = 200 \end{cases} $$ Решим систему методом вычитания. Вычтем из второго уравнения первое:
$(5a + 4b) - (3a + 4b) = 200 - 120$
$2a = 80$
$a = 40$
Подставим значение $a$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:
$3(40) + 4b = 120$
$120 + 4b = 120$
$4b = 0$
$b = 0$

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
$x + y = a = 40$
$x - y = b = 0$
Получили простую систему: $$ \begin{cases} x + y = 40 \\ x - y = 0 \end{cases} $$ Из второго уравнения следует, что $x = y$. Подставим это в первое уравнение:
$x + x = 40$
$2x = 40$
$x = 20$
Так как $x = y$, то $y = 20$.
Решение системы: $x=20$, $y=20$.
Ответ: $(20, 20)$.

Решите задачу, используя для составления математической модели две переменные:

14.23 Первое число составляет 25 % от второго. Найдите эти числа, если их сумма равна 52,5.

14.23Пусть первое искомое число — это $x$, а второе — $y$.
Согласно условиям задачи, составим систему уравнений с двумя переменными.
Первое условие: «Первое число составляет 25% от второго». В виде уравнения это можно записать так:
$x = \frac{25}{100}y$ или $x = 0.25y$.
Второе условие: «их сумма равна 52,5». Это дает нам второе уравнение:
$x + y = 52.5$.
Получаем следующую систему уравнений:
$\begin{cases} x = 0.25y \\ x + y = 52.5 \end{cases}$
Решим эту систему методом подстановки. Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$0.25y + y = 52.5$
Сложим коэффициенты при переменной $y$:
$1.25y = 52.5$
Теперь найдем значение $y$:
$y = \frac{52.5}{1.25} = \frac{5250}{125} = 42$
Мы нашли второе число. Теперь найдем первое число, подставив найденное значение $y=42$ в первое уравнение системы:
$x = 0.25 \cdot y = 0.25 \cdot 42 = 10.5$
Таким образом, первое число равно 10,5, а второе число равно 42.
Ответ: первое число — 10,5; второе число — 42.

Решите задачу, используя для составления математической модели две переменные:

14.24 Первое число составляет 87 % от второго. Найдите эти числа, если второе число больше первого на 3,9.

14.24

Пусть первое число — это $x$, а второе число — это $y$.

Согласно условию задачи, составим систему уравнений с двумя переменными.Первое условие: "Первое число составляет 87 % от второго". Чтобы найти процент от числа, нужно это число умножить на дробь, соответствующую проценту. $87\% = 0,87$. Таким образом, уравнение выглядит так:

$x = 0,87y$

Второе условие: "второе число больше первого на 3,9". Это означает, что разница между вторым и первым числом равна 3,9. Уравнение:

$y - x = 3,9$

Получаем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x = 0,87y \\ y - x = 3,9 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе уравнение:

$y - (0,87y) = 3,9$

Решим полученное уравнение относительно $y$:

$y(1 - 0,87) = 3,9$

$0,13y = 3,9$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 0,13:

$y = \frac{3,9}{0,13}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 100:

$y = \frac{390}{13}$

$y = 30$

Итак, второе число равно 30. Теперь найдем первое число $x$, подставив значение $y=30$ в первое уравнение системы:

$x = 0,87 \times 30$

$x = 26,1$

Итак, первое число равно 26,1, а второе число равно 30.

Проверка:
1. Найдем, сколько процентов составляет 26,1 от 30: $(\frac{26,1}{30}) \times 100\% = 0,87 \times 100\% = 87\%$. Условие выполняется.
2. Найдем разницу между вторым и первым числом: $30 - 26,1 = 3,9$. Условие выполняется.

Ответ: первое число — 26,1, второе число — 30.

Решите задачу, используя для составления математической модели две переменные:

14.25 Первое число составляет 124 % от второго. Найдите эти числа, если их сумма равна 112.

14.25

Для решения задачи, как указано в условии, введем две переменные. Пусть $x$ — это первое искомое число, а $y$ — второе искомое число.

Из условия задачи мы можем составить математическую модель в виде системы уравнений.

Первое условие: "Первое число составляет 124 % от второго". Чтобы выразить это математически, переведем проценты в десятичную дробь: $124\% = \frac{124}{100} = 1.24$. Тогда первое уравнение будет выглядеть так:

$x = 1.24y$

Второе условие: "их сумма равна 112". Это дает нам второе уравнение:

$x + y = 112$

Получаем систему из двух уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x = 1.24y \\ x + y = 112 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$(1.24y) + y = 112$

Складываем слагаемые, содержащие $y$:

$2.24y = 112$

Теперь найдем значение $y$, разделив обе части уравнения на $2.24$:

$y = \frac{112}{2.24}$

Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от дроби в знаменателе:

$y = \frac{11200}{224} = 50$

Итак, мы нашли второе число: $y = 50$.

Теперь найдем первое число $x$, подставив найденное значение $y$ в первое уравнение $x = 1.24y$:

$x = 1.24 \cdot 50 = 62$

Таким образом, первое число равно 62.

Проверим решение:

1. Сумма чисел: $62 + 50 = 112$. Это соответствует условию задачи.

2. Отношение чисел: $\frac{62}{50} = 1.24$. Умножив на 100, получаем $124\%$. Это также соответствует условию задачи.

Ответ: Первое число равно 62, второе число равно 50.

14.26 Найдите абсциссу точки пересечения графиков двух линейных уравнений с двумя переменными:

а) $4x - 3y = 12$ и $3x + 4y = -24;$

б) $5x + 2y = 20$ и $2x - 5y = 10;$

в) $2x - 3y = 12$ и $3x + 2y = 6;$

г) $5x - 3y = 5$ и $2x + 7y = 4.$

Чтобы найти абсциссу точки пересечения графиков двух линейных уравнений, необходимо решить соответствующую систему уравнений и найти значение переменной $x$. Точка пересечения $(x_0, y_0)$ удовлетворяет обоим уравнениям, поэтому мы можем решить систему, чтобы найти ее координаты. Мы будем использовать метод алгебраического сложения для исключения переменной $y$.

а) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4x - 3y = 12 \\ 3x + 4y = -24 \end{cases} $

Чтобы исключить переменную $y$, умножим первое уравнение на 4, а второе на 3:

$ \begin{cases} 16x - 12y = 48 \\ 9x + 12y = -72 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(16x - 12y) + (9x + 12y) = 48 + (-72)$

$25x = -24$

Отсюда находим абсциссу $x$:

$x = -\frac{24}{25}$

Ответ: $x = -\frac{24}{25}$.

б) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5x + 2y = 20 \\ 2x - 5y = 10 \end{cases} $

Чтобы исключить переменную $y$, умножим первое уравнение на 5, а второе на 2:

$ \begin{cases} 25x + 10y = 100 \\ 4x - 10y = 20 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(25x + 10y) + (4x - 10y) = 100 + 20$

$29x = 120$

Отсюда находим абсциссу $x$:

$x = \frac{120}{29}$

Ответ: $x = \frac{120}{29}$.

в) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 3y = 12 \\ 3x + 2y = 6 \end{cases} $

Чтобы исключить переменную $y$, умножим первое уравнение на 2, а второе на 3:

$ \begin{cases} 4x - 6y = 24 \\ 9x + 6y = 18 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(4x - 6y) + (9x + 6y) = 24 + 18$

$13x = 42$

Отсюда находим абсциссу $x$:

$x = \frac{42}{13}$

Ответ: $x = \frac{42}{13}$.

г) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 5x - 3y = 5 \\ 2x + 7y = 4 \end{cases} $

Чтобы исключить переменную $y$, умножим первое уравнение на 7, а второе на 3:

$ \begin{cases} 35x - 21y = 35 \\ 6x + 21y = 12 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(35x - 21y) + (6x + 21y) = 35 + 12$

$41x = 47$

Отсюда находим абсциссу $x$:

$x = \frac{47}{41}$

Ответ: $x = \frac{47}{41}$.

14.27 Составьте уравнение прямой, проходящей через данные точки:

a) $A\left(5; 0\right)$; $B\left(0; 2\right)$;

б) $C\left(-6; 0\right)$; $D\left(0; 4\right)$;

в) $E\left(7; 0\right)$; $F\left(0; -1\right)$;

г) $L\left(-2; 0\right)$; $K\left(0; -4\right)$.

а)

Чтобы составить уравнение прямой, проходящей через точки $A(5; 0)$ и $B(0; 2)$, воспользуемся уравнением прямой в виде $y = kx + b$, где $k$ - угловой коэффициент, а $b$ - ордината точки пересечения прямой с осью OY.

1. Найдем угловой коэффициент $k$ по формуле для двух точек $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Подставим координаты точек $A(5; 0)$ и $B(0; 2)$:

$k = \frac{2 - 0}{0 - 5} = \frac{2}{-5} = -\frac{2}{5}$

2. Коэффициент $b$ - это ордината точки пересечения прямой с осью OY. Точка $B(0; 2)$ лежит на оси OY, следовательно, $b = 2$.

3. Теперь подставим найденные значения $k$ и $b$ в уравнение прямой:

$y = -\frac{2}{5}x + 2$

Ответ: $y = -\frac{2}{5}x + 2$

б)

Составим уравнение прямой, проходящей через точки $C(-6; 0)$ и $D(0; 4)$, используя уравнение $y = kx + b$.

1. Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 0}{0 - (-6)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

2. Точка $D(0; 4)$ является точкой пересечения прямой с осью OY, поэтому $b = 4$.

3. Подставим значения $k$ и $b$ в уравнение:

$y = \frac{2}{3}x + 4$

Ответ: $y = \frac{2}{3}x + 4$

в)

Составим уравнение прямой, проходящей через точки $E(7; 0)$ и $F(0; -1)$, используя уравнение $y = kx + b$.

1. Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 0}{0 - 7} = \frac{-1}{-7} = \frac{1}{7}$

2. Точка $F(0; -1)$ является точкой пересечения прямой с осью OY, поэтому $b = -1$.

3. Подставим значения $k$ и $b$ в уравнение:

$y = \frac{1}{7}x - 1$

Ответ: $y = \frac{1}{7}x - 1$

г)

Составим уравнение прямой, проходящей через точки $L(-2; 0)$ и $K(0; -4)$, используя уравнение $y = kx + b$.

1. Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4 - 0}{0 - (-2)} = \frac{-4}{2} = -2$

2. Точка $K(0; -4)$ является точкой пересечения прямой с осью OY, поэтому $b = -4$.

3. Подставим значения $k$ и $b$ в уравнение:

$y = -2x - 4$

Ответ: $y = -2x - 4$

14.28 Составьте аналитическую модель линейной функции, график которой изображён:

а) на рис. 25;

$y = \frac{5}{3}x + 5$

б) на рис. 26;

$y = -2x + 4$

в) на рис. 27;

$y = -\frac{3}{4}x + 3$

г) на рис. 28.

$y = 3x - 3$

а) на рис. 25
Аналитическая модель линейной функции имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент (наклон прямой), а $b$ — ордината точки пересечения графика с осью $y$.
1. Найдем коэффициент $b$. Из графика видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0, 5)$. Следовательно, $b = 5$.
2. Найдем угловой коэффициент $k$. Для этого выберем на графике две удобные точки. Возьмем точку пересечения с осью $y$, $(0, 5)$, и точку пересечения с осью $x$, $(-3, 0)$.
Угловой коэффициент вычисляется по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
Подставим координаты наших точек $(x_1, y_1) = (-3, 0)$ и $(x_2, y_2) = (0, 5)$:
$k = \frac{5 - 0}{0 - (-3)} = \frac{5}{3}$.
3. Теперь подставим найденные значения $k$ и $b$ в общее уравнение линейной функции:
$y = \frac{5}{3}x + 5$.
Ответ: $y = \frac{5}{3}x + 5$.

б) на рис. 26
Используем уравнение линейной функции $y = kx + b$.
1. Найдем коэффициент $b$. Прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, 4)$, значит, $b = 4$.
2. Найдем угловой коэффициент $k$. Возьмем две точки на прямой: точку пересечения с осью $y$, $(0, 4)$, и точку пересечения с осью $x$, $(2, 0)$.
Вычислим $k$ по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
Подставим координаты точек $(x_1, y_1) = (0, 4)$ и $(x_2, y_2) = (2, 0)$:
$k = \frac{0 - 4}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2$.
3. Подставим значения $k = -2$ и $b = 4$ в уравнение:
$y = -2x + 4$.
Ответ: $y = -2x + 4$.

в) на рис. 27
Уравнение линейной функции имеет вид $y = kx + b$.
1. Найдем коэффициент $b$. График пересекает ось $y$ в точке $(0, 3)$, следовательно, $b = 3$.
2. Найдем угловой коэффициент $k$. Возьмем точки пересечения с осями координат: $(0, 3)$ и $(4, 0)$.
Вычислим $k$ по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
Подставим координаты точек $(x_1, y_1) = (0, 3)$ и $(x_2, y_2) = (4, 0)$:
$k = \frac{0 - 3}{4 - 0} = \frac{-3}{4} = -0.75$.
3. Подставим найденные значения в уравнение прямой:
$y = -\frac{3}{4}x + 3$.
Ответ: $y = -\frac{3}{4}x + 3$.

г) на рис. 28
Запишем уравнение линейной функции в общем виде: $y = kx + b$.
1. Найдем коэффициент $b$. Прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, -3)$. Таким образом, $b = -3$.
2. Найдем угловой коэффициент $k$. Выберем на прямой две точки: точку пересечения с осью $y$, $(0, -3)$, и точку пересечения с осью $x$, $(1, 0)$.
Вычислим $k$ по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
Подставим координаты точек $(x_1, y_1) = (0, -3)$ и $(x_2, y_2) = (1, 0)$:
$k = \frac{0 - (-3)}{1 - 0} = \frac{3}{1} = 3$.
3. Подставим значения $k = 3$ и $b = -3$ в уравнение:
$y = 3x - 3$.
Ответ: $y = 3x - 3$.