Страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

16.7 Найдите два числа, если известно, что утроенная разность этих чисел на 6 больше их суммы, а удвоенная разность этих чисел на 9 больше их суммы.

Пусть искомые числа будут $x$ и $y$.

Согласно условию, "утроенная разность этих чисел на 6 больше их суммы". Предположим, что разность это $x - y$. Тогда это условие можно записать в виде уравнения:

$3(x - y) = (x + y) + 6$

Второе условие гласит, что "удвоенная разность этих чисел на 9 больше их суммы". Запишем второе уравнение:

$2(x - y) = (x + y) + 9$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 3(x-y) = x+y+6 \\ 2(x-y) = x+y+9 \end{cases}$

Для решения системы упростим каждое уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Упростим первое уравнение:

$3x - 3y = x + y + 6$

$3x - x - 3y - y = 6$

$2x - 4y = 6$

Разделив обе части уравнения на 2, получим:

$x - 2y = 3$

Теперь упростим второе уравнение:

$2x - 2y = x + y + 9$

$2x - x - 2y - y = 9$

$x - 3y = 9$

Теперь система уравнений выглядит значительно проще:

$\begin{cases} x - 2y = 3 \\ x - 3y = 9 \end{cases}$

Решим эту систему методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:

$(x - 2y) - (x - 3y) = 3 - 9$

$x - 2y - x + 3y = -6$

$y = -6$

Теперь, зная значение $y$, подставим его в любое из упрощенных уравнений, чтобы найти $x$. Воспользуемся уравнением $x - 2y = 3$:

$x - 2(-6) = 3$

$x + 12 = 3$

$x = 3 - 12$

$x = -9$

Итак, мы нашли два числа: $-9$ и $-6$. Проверим, удовлетворяют ли они условиям задачи.

Сумма чисел: $-9 + (-6) = -15$.

Разность чисел: $-9 - (-6) = -3$.

Утроенная разность: $3 \times (-3) = -9$. Это значение на 6 больше суммы, так как $-15 + 6 = -9$. Первое условие выполняется.

Удвоенная разность: $2 \times (-3) = -6$. Это значение на 9 больше суммы, так как $-15 + 9 = -6$. Второе условие также выполняется.

Ответ: $-9$ и $-6$.

16.8 Если числитель дроби умножить на 2, а из знаменателя вычесть 2, то получится 2. Если же из числителя вычесть 4, а знаменатель умножить на 4, то получится $\frac{1}{12}$. Найдите эту дробь.

Пусть искомая дробь имеет вид $ \frac{x}{y} $, где $ x $ — числитель, а $ y $ — знаменатель.

Согласно первому условию задачи, если числитель умножить на 2, а из знаменателя вычесть 2, то получится 2. Составим первое уравнение, учитывая, что $ y \neq 2 $:

$ \frac{2x}{y - 2} = 2 $

Согласно второму условию, если из числителя вычесть 4, а знаменатель умножить на 4, то получится $ \frac{1}{12} $. Составим второе уравнение, учитывая, что $ y \neq 0 $:

$ \frac{x - 4}{4y} = \frac{1}{12} $

Получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} \frac{2x}{y - 2} = 2 \\ \frac{x - 4}{4y} = \frac{1}{12} \end{cases} $

Упростим каждое уравнение.

Из первого уравнения:

$ 2x = 2(y - 2) $

$ x = y - 2 $

Из второго уравнения (используя свойство пропорции):

$ 12(x - 4) = 4y $

Разделим обе части уравнения на 4:

$ 3(x - 4) = y $

$ y = 3x - 12 $

Теперь решим систему двух упрощенных уравнений:

$ \begin{cases} x = y - 2 \\ y = 3x - 12 \end{cases} $

Подставим выражение для $ y $ из второго уравнения в первое:

$ x = (3x - 12) - 2 $

$ x = 3x - 14 $

$ 14 = 3x - x $

$ 14 = 2x $

$ x = 7 $

Теперь найдем $ y $, подставив значение $ x = 7 $ в уравнение $ y = 3x - 12 $:

$ y = 3 \cdot 7 - 12 $

$ y = 21 - 12 $

$ y = 9 $

Таким образом, искомая дробь — $ \frac{7}{9} $.

Выполним проверку:

1. $ \frac{2 \cdot 7}{9 - 2} = \frac{14}{7} = 2 $. Верно.

2. $ \frac{7 - 4}{4 \cdot 9} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} $. Верно.

Ответ: $ \frac{7}{9} $

16.9 Если к числителю и знаменателю дроби прибавить по единице, то получится $\frac{1}{2}$, а если из них вычесть по единице, то получится $\frac{1}{3}$. Найдите эту дробь.

Обозначим искомую дробь как $\frac{x}{y}$, где $x$ — числитель, а $y$ — знаменатель.

Исходя из условия задачи, мы можем составить два уравнения.

Первое условие: если к числителю и знаменателю прибавить по единице, то получится дробь $\frac{1}{2}$.Математически это записывается так:$$ \frac{x + 1}{y + 1} = \frac{1}{2} $$

Второе условие: если из числителя и знаменателя вычесть по единице, то получится дробь $\frac{1}{3}$.Математически это записывается так:$$ \frac{x - 1}{y - 1} = \frac{1}{3} $$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:$$ \begin{cases} \frac{x + 1}{y + 1} = \frac{1}{2} \\ \frac{x - 1}{y - 1} = \frac{1}{3} \end{cases} $$

Решим эту систему. Упростим каждое уравнение, используя свойство пропорции (перекрестное умножение).

Из первого уравнения:$2(x + 1) = 1(y + 1)$$2x + 2 = y + 1$$y = 2x + 1$

Из второго уравнения:$3(x - 1) = 1(y - 1)$$3x - 3 = y - 1$

Теперь подставим выражение для $y$ из первого преобразованного уравнения ($y = 2x + 1$) во второе преобразованное уравнение:$3x - 3 = (2x + 1) - 1$$3x - 3 = 2x$$3x - 2x = 3$$x = 3$

Мы нашли значение числителя. Теперь найдем значение знаменателя, подставив $x = 3$ в выражение $y = 2x + 1$:$y = 2(3) + 1$$y = 6 + 1$$y = 7$

Таким образом, искомая дробь — это $\frac{3}{7}$.

Проверим правильность решения:
1) Прибавляем 1 к числителю и знаменателю: $\frac{3+1}{7+1} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Верно.
2) Вычитаем 1 из числителя и знаменателя: $\frac{3-1}{7-1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Верно.

Ответ: $\frac{3}{7}$.

16.10 Два тракториста вспахали вместе 678 га. Первый тракторист работал 8 дней, а второй — 11 дней. Сколько гектаров вспахивал за день каждый тракторист, если первый тракторист за каждые 3 дня вспахивал на 22 га меньше, чем второй за 4 дня?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — количество гектаров, которое вспахивал за день первый тракторист, а $y$ — количество гектаров, которое вспахивал за день второй тракторист.

Из условия, что первый тракторист работал 8 дней, а второй — 11 дней, и вместе они вспахали 678 га, составим первое уравнение:

$8x + 11y = 678$

Из условия, что первый тракторист за 3 дня вспахал на 22 га меньше, чем второй за 4 дня, составим второе уравнение:

$4y - 3x = 22$

В результате мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными. Для её решения выразим переменную $x$ из второго уравнения:

$3x = 4y - 22 \implies x = \frac{4y - 22}{3}$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение:

$8 \left( \frac{4y - 22}{3} \right) + 11y = 678$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$8(4y - 22) + 3 \cdot 11y = 678 \cdot 3$

$32y - 176 + 33y = 2034$

Приведем подобные слагаемые и решим уравнение относительно $y$:

$65y = 2034 + 176$

$65y = 2210$

$y = \frac{2210}{65} = 34$

Таким образом, производительность второго тракториста составляет 34 га в день.

Теперь найдем производительность первого тракториста, подставив найденное значение $y$ в выражение для $x$:

$x = \frac{4 \cdot 34 - 22}{3} = \frac{136 - 22}{3} = \frac{114}{3} = 38$

Следовательно, производительность первого тракториста составляет 38 га в день.

Выполним проверку.
1. Общая площадь: $8 \text{ дней} \cdot 38 \text{ га/день} + 11 \text{ дней} \cdot 34 \text{ га/день} = 304 + 374 = 678$ га. Соответствует условию.
2. Разница в выработке: работа второго за 4 дня ($4 \cdot 34 = 136$ га) больше работы первого за 3 дня ($3 \cdot 38 = 114$ га) на $136 - 114 = 22$ га. Соответствует условию.

Ответ: первый тракторист вспахивал 38 га в день, а второй — 34 га в день.

O 16.11 Две бригады работали на уборке картофеля. В первый день одна бригада работала 2 ч, а вторая — 3 ч, причём ими было собрано 23 ц картофеля. Во второй день первая бригада за 3 ч работы собрала на 2 ц больше, чем вторая за 2 ч. Сколько центнеров картофеля собирала каждая бригада за 1 ч работы?

Для решения задачи введем переменные. Пусть производительность первой бригады составляет $x$ центнеров картофеля в час, а производительность второй бригады — $y$ центнеров картофеля в час.

На основе условий задачи составим систему уравнений.

1. В первый день первая бригада, работая 2 часа, собрала $2x$ центнеров картофеля. Вторая бригада за 3 часа работы собрала $3y$ центнеров. Вместе они собрали 23 центнера. Это дает нам первое уравнение:
$2x + 3y = 23$

2. Во второй день первая бригада за 3 часа работы собрала $3x$ центнеров. Вторая бригада за 2 часа собрала $2y$ центнеров. Известно, что первая бригада собрала на 2 центнера больше, чем вторая. Это дает нам второе уравнение:
$3x = 2y + 2$
или
$3x - 2y = 2$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$$ \begin{cases} 2x + 3y = 23 \\ 3x - 2y = 2 \end{cases} $$

Решим эту систему методом сложения. Для этого умножим первое уравнение на 2, а второе — на 3, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами:
$$ \begin{cases} 2(2x + 3y) = 2 \cdot 23 \\ 3(3x - 2y) = 3 \cdot 2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} 4x + 6y = 46 \\ 9x - 6y = 6 \end{cases} $$

Теперь сложим два полученных уравнения почленно:
$(4x + 6y) + (9x - 6y) = 46 + 6$
$13x = 52$

Найдем значение $x$:
$x = \frac{52}{13}$
$x = 4$

Подставим найденное значение $x=4$ в первое исходное уравнение $2x + 3y = 23$, чтобы найти $y$:
$2(4) + 3y = 23$
$8 + 3y = 23$
$3y = 23 - 8$
$3y = 15$
$y = \frac{15}{3}$
$y = 5$

Таким образом, первая бригада собирала 4 центнера картофеля в час, а вторая бригада — 5 центнеров картофеля в час.

Ответ: первая бригада собирала 4 ц картофеля за 1 час работы, вторая бригада — 5 ц.

16.12 Зерно перевозили на двух автомашинах различной грузоподъемности. В первый день было вывезено 27 т зерна, причём одна машина сделала 4 рейса, а другая — 3 рейса. На следующий день вторая машина за 4 рейса перевезла на 11 т зерна больше, чем первая машина за 3 рейса. Сколько тонн зерна перевезли на каждой машине за один рейс?

Для решения задачи введём переменные. Пусть $x$ — грузоподъёмность первой машины (в тоннах за рейс), а $y$ — грузоподъёмность второй машины (в тоннах за рейс).

Из условия о работе машин на второй день известно, что вторая машина за 4 рейса перевезла на 11 т зерна больше, чем первая машина за 3 рейса. Это можно записать в виде уравнения:
$4y = 3x + 11$
Перенесём $3x$ в левую часть, чтобы получить уравнение в стандартном виде:
$4y - 3x = 11$

Из условия о работе в первый день известно, что всего было вывезено 27 т зерна, причём «одна машина сделала 4 рейса, а другая — 3 рейса». В условии не уточнено, какая из машин сколько рейсов сделала. Поэтому рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: В первый день первая машина сделала 4 рейса, а вторая — 3 рейса.
Тогда уравнение для первого дня будет: $4x + 3y = 27$.
Составим и решим систему уравнений:
$\begin{cases} 4x + 3y = 27 \\ -3x + 4y = 11 \end{cases}$
Чтобы решить систему методом сложения, умножим первое уравнение на 3, а второе — на 4:
$\begin{cases} 12x + 9y = 81 \\ -12x + 16y = 44 \end{cases}$
Теперь сложим оба уравнения:
$(12x + 9y) + (-12x + 16y) = 81 + 44$
$25y = 125$
$y = \frac{125}{25} = 5$
Подставим найденное значение $y=5$ в первое уравнение исходной системы ($4x + 3y = 27$):
$4x + 3 \cdot 5 = 27$
$4x + 15 = 27$
$4x = 27 - 15$
$4x = 12$
$x = \frac{12}{4} = 3$
В этом случае грузоподъёмность первой машины — 3 тонны, а второй — 5 тонн.
Ответ: первая машина перевозила 3 т зерна за рейс, а вторая — 5 т.

Случай 2: В первый день первая машина сделала 3 рейса, а вторая — 4 рейса.
Тогда уравнение для первого дня будет: $3x + 4y = 27$.
Составим и решим систему уравнений:
$\begin{cases} 3x + 4y = 27 \\ -3x + 4y = 11 \end{cases}$
Сложим два уравнения, чтобы исключить переменную $x$:
$(3x + 4y) + (-3x + 4y) = 27 + 11$
$8y = 38$
$y = \frac{38}{8} = \frac{19}{4} = 4,75$
Подставим найденное значение $y = 4,75$ в первое уравнение системы ($3x + 4y = 27$):
$3x + 4 \cdot 4,75 = 27$
$3x + 19 = 27$
$3x = 27 - 19$
$3x = 8$
$x = \frac{8}{3}$
В этом случае грузоподъёмность первой машины — $\frac{8}{3}$ тонны, а второй — $4,75$ тонны.
Ответ: первая машина перевозила $\frac{8}{3}$ т зерна за рейс, а вторая — 4,75 т.

Поскольку условие задачи не позволяет однозначно определить, какая из машин сделала 4 рейса в первый день, а какая — 3, оба найденных решения являются математически верными. Однако в школьных задачах чаще всего предполагается целочисленный ответ, поэтому наиболее вероятным является первый вариант.

16.13 Для перевозки руды из карьера были отправлены пятитонные и трёхтонные самосвалы. За 1 рейс пятитонные самосвалы перевозят руды на 18 т больше, чем трёхтонные. За рабочий день пятитонные самосвалы совершили 4 рейса, а трёхтонные — 6 рейсов, и всего ими перевезено за день 192 т руды. Сколько самосвалов каждой грузоподъёмности перевозили руду?

Для решения задачи введём переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — количество пятитонных самосвалов, а $y$ — количество трёхтонных самосвалов.

Согласно условию, за один рейс все пятитонные самосвалы перевозят на 18 тонн руды больше, чем все трёхтонные. Объём руды, перевозимой за один рейс пятитонными самосвалами, равен $5x$ тонн, а трёхтонными — $3y$ тонн. Составим первое уравнение:

$5x - 3y = 18$

Также известно, что за рабочий день пятитонные самосвалы совершили 4 рейса, а трёхтонные — 6 рейсов, и всего было перевезено 192 тонны руды. Составим второе уравнение:

$4 \cdot (5x) + 6 \cdot (3y) = 192$

Упростим второе уравнение:

$20x + 18y = 192$

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} 5x - 3y = 18 \\ 20x + 18y = 192 \end{cases} $

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 6, чтобы уравнять коэффициенты при переменной $y$ по модулю:

$6 \cdot (5x - 3y) = 6 \cdot 18$

$30x - 18y = 108$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(30x - 18y) + (20x + 18y) = 108 + 192$

$50x = 300$

Найдём $x$:

$x = \frac{300}{50}$

$x = 6$

Теперь подставим найденное значение $x=6$ в первое уравнение ($5x - 3y = 18$) для нахождения $y$:

$5(6) - 3y = 18$

$30 - 3y = 18$

$3y = 30 - 18$

$3y = 12$

$y = \frac{12}{3}$

$y = 4$

Таким образом, в перевозке руды участвовало 6 пятитонных и 4 трёхтонных самосвала.

Проверка:

1. Найдём, сколько руды перевозят самосвалы за 1 рейс. 6 пятитонных: $6 \cdot 5 = 30$ т. 4 трёхтонных: $4 \cdot 3 = 12$ т. Разница: $30 - 12 = 18$ т. Это соответствует условию задачи.

2. Найдём, сколько руды перевезли за день. Пятитонные за 4 рейса: $30 \cdot 4 = 120$ т. Трёхтонные за 6 рейсов: $12 \cdot 6 = 72$ т. Всего за день: $120 + 72 = 192$ т. Это соответствует условию задачи.

Ответ: руду перевозили 6 пятитонных и 4 трёхтонных самосвала.

16.14 На рынке было закуплено 84 кг черешни и вишни, причём черешни куплено на 3 ящика меньше, чем вишни. Сколько ящиков черешни и вишни закуплено по отдельности, если в 1 ящике черешни 8 кг, а вишни 10 кг?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество ящиков черешни, а $y$ — количество ящиков вишни.

Основываясь на условиях задачи, составим систему уравнений:

1. Общая масса купленных ягод составляет 84 кг. Масса одного ящика черешни — 8 кг, а вишни — 10 кг. Это можно выразить уравнением:

$8x + 10y = 84$

2. Ящиков с черешней было куплено на 3 меньше, чем ящиков с вишней. Это дает нам второе уравнение:

$x = y - 3$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} 8x + 10y = 84 \\ x = y - 3 \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:

$8(y - 3) + 10y = 84$

Теперь решим полученное уравнение относительно $y$:

$8y - 24 + 10y = 84$

Приведем подобные слагаемые:

$18y - 24 = 84$

Перенесем -24 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$18y = 84 + 24$

$18y = 108$

Найдем $y$:

$y = \frac{108}{18}$

$y = 6$

Итак, было закуплено 6 ящиков вишни.

Теперь, зная $y$, найдем количество ящиков черешни ($x$), используя второе уравнение системы:

$x = y - 3$

$x = 6 - 3$

$x = 3$

Следовательно, было закуплено 3 ящика черешни.

Проверим правильность найденных значений:

• Разница в количестве ящиков: $6 \text{ (вишня)} - 3 \text{ (черешня)} = 3$ ящика, что соответствует условию.

• Общая масса: $(3 \text{ ящика} \times 8 \text{ кг/ящик}) + (6 \text{ ящиков} \times 10 \text{ кг/ящик}) = 24 \text{ кг} + 60 \text{ кг} = 84 \text{ кг}$, что также соответствует условию.

Ответ: было закуплено 3 ящика черешни и 6 ящиков вишни.