Страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

17.5 Для варианта № 1 контрольной работы случайным образом выбирают одну из данных систем уравнений (см. задачу 17.4), а для варианта № 2 — одну из оставшихся.

а) Сколько всего имеется вариантов такого выбора?

б) В скольких случаях система в варианте № 2 не будет иметь решений?

в) В скольких случаях каждая выбранная система имеет хотя бы одно решение?

г) В скольких случаях каждая выбранная система имеет единственное решение?

Для решения этой задачи необходимо проанализировать системы уравнений, упомянутые в условии как "данные системы уравнений (см. задачу 17.4)". Стандартный набор систем для этой задачи следующий:

1) $\begin{cases} 5x + 2y = 12 \\ 4x + y = 3 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x - 5y = 1 \\ 2x + 7y = 9 \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x - 3y = 6 \\ 4x - 6y = 12 \end{cases}$

4) $\begin{cases} 2x - 3y = 6 \\ 4x - 6y = 5 \end{cases}$

Определим количество решений для каждой системы. Для системы вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ количество решений зависит от соотношения коэффициентов:

• единственное решение, если $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$;
• не имеет решений, если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$;
• имеет бесконечно много решений, если $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.

Проанализируем наши системы:
Система 1: $\frac{5}{4} \neq \frac{2}{1}$, следовательно, имеет единственное решение.
Система 2: $\frac{3}{2} \neq \frac{-5}{7}$, следовательно, имеет единственное решение.
Система 3: $\frac{2}{4} = \frac{-3}{-6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$, следовательно, имеет бесконечно много решений.
Система 4: $\frac{2}{4} = \frac{-3}{-6} \neq \frac{6}{5}$, следовательно, не имеет решений.

Таким образом, у нас есть 4 системы: две с единственным решением, одна с бесконечным числом решений и одна без решений. Выбор для контрольной работы происходит так: для варианта № 1 выбирается одна система из четырех, а для варианта № 2 — одна из трех оставшихся.

а) Сколько всего имеется вариантов такого выбора?

Для варианта № 1 есть 4 способа выбрать систему. После того как система для варианта № 1 выбрана, для варианта № 2 остается $4-1=3$ системы для выбора. Общее число вариантов — это число размещений без повторений из 4 элементов по 2, которое вычисляется как произведение числа выборов: $4 \times 3 = 12$.

Ответ: 12.

б) В скольких случаях система в варианте № 2 не будет иметь решений?

Среди данных систем только одна не имеет решений (система 4). Это означает, что для варианта № 2 должна быть выбрана именно эта система. Такой выбор возможен только одним способом. Для варианта № 1 в этом случае можно выбрать любую из $4-1=3$ оставшихся систем. Следовательно, общее число таких комбинаций равно $3 \times 1 = 3$.

Ответ: 3.

в) В скольких случаях каждая выбранная система имеет хотя бы одно решение?

Выражение "имеет хотя бы одно решение" означает, что система имеет либо одно решение, либо бесконечно много решений. В нашем наборе таких систем 3 (системы 1, 2 и 3). Нам нужно выбрать две системы из этих трех, причем порядок выбора важен (вариант № 1 и вариант № 2). Для варианта № 1 есть 3 варианта выбора. После этого для варианта № 2 остается $3-1=2$ варианта. Общее число таких способов равно $3 \times 2 = 6$.

Ответ: 6.

г) В скольких случаях каждая выбранная система имеет единственное решение?

Систем, имеющих единственное решение, всего две (системы 1 и 2). Нам нужно выбрать обе эти системы для двух вариантов. Для варианта № 1 есть 2 способа выбора. После этого для варианта № 2 остается только одна система. Таким образом, общее число способов равно $2 \times 1 = 2$.

Ответ: 2.

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3

Вариант 1

1 Подберите три решения линейного уравнения $4x - 2y = 3$ так, чтобы переменные $x$ и $y$ имели разные знаки.

Для решения задачи нам необходимо найти три пары чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют линейному уравнению $4x - 2y = 3$ и условию, что $x$ и $y$ имеют разные знаки (то есть, $x \cdot y < 0$).

Сначала преобразуем уравнение, выразив переменную $y$ через $x$:

$4x - 2y = 3$

$-2y = 3 - 4x$

$2y = 4x - 3$

$y = \frac{4x - 3}{2}$

$y = 2x - 1.5$

Теперь проанализируем условие о разных знаках переменных. Существует два возможных случая:

Случай 1: $x > 0$ и $y < 0$.

Если $x$ — положительное число, то для того чтобы $y$ был отрицательным, должно выполняться неравенство:

$y = 2x - 1.5 < 0$

$2x < 1.5$

$x < \frac{1.5}{2}$

$x < 0.75$

Таким образом, для этого случая нам нужно выбирать значения $x$ из интервала $(0, 0.75)$.

Случай 2: $x < 0$ и $y > 0$.

Если $x$ — отрицательное число, то для того чтобы $y$ был положительным, должно выполняться неравенство:

$y = 2x - 1.5 > 0$

$2x > 1.5$

$x > 0.75$

Этот случай невозможен, так как не существует числа, которое одновременно меньше 0 и больше 0.75.

Следовательно, все искомые решения должны удовлетворять условию $0 < x < 0.75$. Подберем три таких решения.

Решение 1

Выберем любое значение $x$ из интервала $(0, 0.75)$. Например, пусть $x = 0.5$.

Тогда найдем соответствующее значение $y$:

$y = 2 \cdot 0.5 - 1.5 = 1 - 1.5 = -0.5$

Получили пару $(0.5, -0.5)$. Знаки переменных разные ($x>0$, $y<0$).

Проверка: подставим значения в исходное уравнение $4(0.5) - 2(-0.5) = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3$. Верно.

Ответ: $(0.5, -0.5)$.

Решение 2

Выберем другое значение $x$ из интервала $(0, 0.75)$. Например, пусть $x = 0.25$ (что то же самое, что и $x = \frac{1}{4}$).

Тогда найдем $y$:

$y = 2 \cdot 0.25 - 1.5 = 0.5 - 1.5 = -1$

Получили пару $(0.25, -1)$. Знаки переменных разные ($x>0$, $y<0$).

Проверка: $4(0.25) - 2(-1) = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$. Верно.

Ответ: $(0.25, -1)$.

Решение 3

Выберем третье значение $x$ из интервала $(0, 0.75)$. Например, пусть $x = 0.1$.

Тогда найдем $y$:

$y = 2 \cdot 0.1 - 1.5 = 0.2 - 1.5 = -1.3$

Получили пару $(0.1, -1.3)$. Знаки переменных разные ($x>0$, $y<0$).

Проверка: $4(0.1) - 2(-1.3) = 0.4 - (-2.6) = 0.4 + 2.6 = 3$. Верно.

Ответ: $(0.1, -1.3)$.

2 Решите графически систему уравнений $ \begin{cases} x + 3y = 4, \\ 2x - y = 1. \end{cases} $

Чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить график для каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точки пересечения этих графиков будут являться решением системы.

1. Построение графика уравнения $x + 3y = 4$

Данное уравнение является линейным, его график — прямая линия. Для построения прямой нам необходимо найти координаты как минимум двух точек. Сначала выразим переменную y через x:

$3y = 4 - x$

$y = \frac{4-x}{3}$ или $y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$

Теперь найдем две точки, принадлежащие этой прямой, выбрав произвольные значения для x:

• Пусть $x=1$. Тогда $y = \frac{4-1}{3} = \frac{3}{3} = 1$. Получаем точку с координатами $(1; 1)$.
• Пусть $x=4$. Тогда $y = \frac{4-4}{3} = 0$. Получаем точку с координатами $(4; 0)$.

2. Построение графика уравнения $2x - y = 1$

Это уравнение также линейное, и его график — прямая. Выразим y через x:

$-y = 1 - 2x$

$y = 2x - 1$

Найдем две точки для построения этой прямой:

• Пусть $x=0$. Тогда $y = 2(0) - 1 = -1$. Получаем точку с координатами $(0; -1)$.
• Пусть $x=2$. Тогда $y = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$. Получаем точку с координатами $(2; 3)$.

3. Нахождение решения

Построив обе прямые на координатной плоскости (первую — через точки $(1; 1)$ и $(4; 0)$, вторую — через точки $(0; -1)$ и $(2; 3)$), мы найдем их точку пересечения. Из вычислений для первой прямой мы уже получили точку $(1; 1)$. Проверим, лежит ли эта точка на второй прямой, подставив ее координаты в уравнение $y=2x-1$:

$1 = 2(1) - 1$

$1 = 1$

Равенство верное, значит, точка $(1; 1)$ принадлежит и второй прямой. Следовательно, это и есть точка пересечения графиков.

4. Проверка

Для окончательной уверенности подставим координаты точки $(1; 1)$ в исходную систему уравнений:

$\begin{cases} 1 + 3(1) = 4 \\ 2(1) - 1 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 1 + 3 = 4 \\ 2 - 1 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 4 = 4 \\ 1 = 1 \end{cases}$

Оба равенства верны, что подтверждает правильность найденного решения.

Ответ: $(1; 1)$.

3 В уравнении $2 - 4x + 5y = 0$ выразите каждую переменную через другую.

Выразим x через y:

$x = \frac{2 + 5y}{4}$

Выразим y через x:

$y = \frac{4x - 2}{5}$

В данном задании необходимо выразить каждую переменную линейного уравнения с двумя переменными через другую. Исходное уравнение: $2 - 4x + 5y = 0$.

Выразим переменную y через x

Чтобы выразить переменную $y$ через $x$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Изолируем слагаемое, содержащее $y$, в левой части уравнения. Для этого перенесем все остальные слагаемые в правую часть, изменив их знаки на противоположные.

$2 - 4x + 5y = 0$

$5y = 4x - 2$

2. Разделим обе части полученного уравнения на коэффициент при $y$, то есть на 5.

$y = \frac{4x - 2}{5}$

Это выражение также можно записать, разделив каждый член числителя на знаменатель:

$y = \frac{4}{5}x - \frac{2}{5}$

Ответ: $y = \frac{4x - 2}{5}$

Выразим переменную x через y

Чтобы выразить переменную $x$ через $y$, выполним аналогичные действия:

1. Изолируем слагаемое, содержащее $x$, в левой части уравнения. Перенесем остальные слагаемые в правую часть с противоположными знаками.

$2 - 4x + 5y = 0$

$-4x = -5y - 2$

2. Чтобы упростить выражение, умножим обе части уравнения на -1. Это изменит знаки всех слагаемых на противоположные.

$4x = 5y + 2$

3. Разделим обе части полученного уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 4.

$x = \frac{5y + 2}{4}$

Также это выражение можно записать в виде:

$x = \frac{5}{4}y + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}y + \frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{5y + 2}{4}$

4 Решите систему уравнений методом подстановки:

$\begin{cases} x - 3y = 4, \\ 2x + y = 15. \end{cases}$

Для решения системы уравнений методом подстановки необходимо выполнить следующие шаги. Дана система:

$ \begin{cases} x - 3y = 4, \\ 2x + y = 15. \end{cases} $

1. Выразим одну переменную через другую из одного из уравнений.

Удобнее всего выразить переменную $x$ из первого уравнения, так как ее коэффициент равен 1:

$x - 3y = 4$

$x = 4 + 3y$

2. Подставим полученное выражение во второе уравнение.

Второе уравнение системы: $2x + y = 15$. Подставляем в него выражение $4 + 3y$ вместо $x$:

$2(4 + 3y) + y = 15$

3. Решим полученное уравнение относительно переменной $y$.

Раскроем скобки:

$8 + 6y + y = 15$

Приведем подобные слагаемые:

$8 + 7y = 15$

Перенесем 8 в правую часть уравнения, изменив знак:

$7y = 15 - 8$

$7y = 7$

Разделим обе части на 7:

$y = 1$

4. Найдем значение второй переменной.

Подставим найденное значение $y = 1$ в выражение для $x$, полученное на первом шаге:

$x = 4 + 3y$

$x = 4 + 3 \cdot 1$

$x = 4 + 3$

$x = 7$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(7, 1)$.

Для проверки подставим найденные значения в оба исходных уравнения:

$7 - 3 \cdot 1 = 7 - 3 = 4$ (Верно)

$2 \cdot 7 + 1 = 14 + 1 = 15$ (Верно)

Ответ: $(7, 1)$.