Страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Результаты каких из перечисленных ниже измерений являются числовыми, номинативными, смешанными рядами данных?

а) Рост семиклассников школы в сантиметрах;

б) имена семиклассников школы;

в) мировые рекорды (в секундах) в беге на 100 м;

г) конечные пункты движения электричек;

д) оценки в журнале за контрольную работу;

е) перечень продаваемых на сайте игр;

ж) цены продаваемых на сайте игр;

з) количество промахов биатлониста на стрельбах лёжа и стоя в течение сезона.

Для классификации представленных рядов данных необходимо сначала определить, что означают понятия числового, номинативного и смешанного рядов.

Числовые ряды данных (количественные) состоят из чисел, которые отражают величину измеряемого признака. Эти данные можно упорядочить по возрастанию или убыванию, а также выполнять с ними осмысленные арифметические операции, например, находить среднее значение. Примерами являются рост, вес, цена.

Номинативные ряды данных (качественные, категориальные) состоят из названий, имён или категорий. Они служат для классификации объектов. Эти данные нельзя упорядочить по величине, и с ними не проводятся арифметические вычисления. Примерами являются имена людей, названия городов, марки автомобилей.

Смешанные ряды данных в данном контексте, скорее всего, обозначают порядковые (ранговые) данные. Такие данные можно упорядочить (например, от худшего к лучшему), но точная количественная разница между значениями неизвестна или не имеет смысла. Арифметические операции (кроме сравнения) с ними, как правило, некорректны. Классический пример — школьные оценки.

Основываясь на этих определениях, проанализируем каждый пункт.

а) Рост семиклассников в сантиметрах — это набор конкретных числовых измерений (например, 165 см, 172 см). Эти значения можно сравнивать, упорядочивать и вычислять для них среднее арифметическое, что характеризует их как числовые данные.
Ответ: числовой ряд данных.

б) Имена семиклассников (например, «Анна», «Петр», «Екатерина») — это набор слов, которые служат для идентификации. Их невозможно упорядочить по какому-либо математическому критерию или произвести с ними вычисления.
Ответ: номинативный ряд данных.

в) Мировые рекорды в беге на 100 м, выраженные в секундах (например, 9.58 с), представляют собой точные числовые измерения времени. Это количественные данные, с которыми можно выполнять все арифметические действия.
Ответ: числовой ряд данных.

г) Конечные пункты движения электричек (например, «Тверь», «Клин», «Одинцово») — это названия населенных пунктов или станций. Они являются категориями и не могут быть упорядочены по величине.
Ответ: номинативный ряд данных.

д) Оценки в журнале за контрольную работу (например, 5, 4, 3, 2) представляют собой упорядоченные категории. Можно сказать, что 5 лучше, чем 4, но нельзя утверждать, что разница в уровне знаний между «5» и «4» точно такая же, как между «4» и «3». Поскольку данные имеют порядок, но не являются в полной мере количественными, их относят к смешанному (порядковому) типу.
Ответ: смешанный ряд данных.

е) Перечень продаваемых на сайте игр — это список названий игр. Как и имена людей или названия городов, это идентификаторы, которые относятся к номинативным данным.
Ответ: номинативный ряд данных.

ж) Цены продаваемых на сайте игр — это числовые значения, выраженные в денежных единицах. Цены можно сравнивать, складывать и находить среднюю стоимость, что делает их числовым рядом данных.
Ответ: числовой ряд данных.

з) Количество промахов биатлониста — это результат подсчёта, выраженный целым числом (0, 1, 2, ...). Эти данные являются дискретными числовыми данными, с которыми можно производить любые математические вычисления.
Ответ: числовой ряд данных.

18.19 a) Площадь грани куба равна $25 \text{ см}^2$. Найдите объём куба.

б) Объём куба равен $27 \text{ м}^3$. Найдите площадь его грани.

а)

Грань куба является квадратом. Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда площадь одной грани $S_{грани}$ вычисляется по формуле $S_{грани} = a^2$.

По условию задачи, площадь грани равна $25 \text{ см}^2$. Следовательно: $a^2 = 25 \text{ см}^2$

Чтобы найти длину ребра $a$, извлечем квадратный корень: $a = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$.

Объём куба $V$ вычисляется по формуле $V = a^3$. Подставим найденное значение длины ребра: $V = 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 \text{ см}^3$.

Ответ: $125 \text{ см}^3$.

б)

Объём куба $V$ с ребром $a$ вычисляется по формуле $V = a^3$.

По условию задачи, объём куба равен $27 \text{ м}^3$. Следовательно: $a^3 = 27 \text{ м}^3$

Чтобы найти длину ребра $a$, извлечем кубический корень: $a = \sqrt[3]{27} = 3 \text{ м}$.

Грань куба — это квадрат со стороной $a$. Площадь грани $S_{грани}$ вычисляется по формуле $S_{грани} = a^2$. Подставим найденное значение длины ребра: $S_{грани} = 3^2 = 9 \text{ м}^2$.

Ответ: $9 \text{ м}^2$.

Вычислите:

18.20 a) $3 \cdot (-4)^2;$

б) $(-2)^5 \cdot 3;$

в) $8^1 \cdot 7^1;$

г) $(-0{,}5)^2 \cdot (-2)^2.$

а) $3 \cdot (-4)^2$

Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняется возведение в степень, а затем умножение.

1. Возведем $-4$ в квадрат. При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным.

$(-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16$

2. Теперь умножим результат на 3.

$3 \cdot 16 = 48$

Ответ: 48

б) $(-2)^5 \cdot 3$

Сначала возводим в степень, затем выполняем умножение.

1. Возведем $-2$ в пятую степень. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным.

$(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 \cdot (-2) = -32$

2. Умножим полученный результат на 3.

$(-32) \cdot 3 = -96$

Ответ: -96

в) $8^1 \cdot 7^1$

Любое число, возведенное в первую степень, равно самому себе.

1. Вычислим значения степеней:

$8^1 = 8$

$7^1 = 7$

2. Перемножим полученные значения.

$8 \cdot 7 = 56$

Ответ: 56

г) $(-0,5)^2 \cdot (-2)^2$

Можно решить двумя способами.

Способ 1: Последовательное вычисление.

1. Возведем каждое число в квадрат.

$(-0,5)^2 = 0,25$

$(-2)^2 = 4$

2. Перемножим результаты.

$0,25 \cdot 4 = 1$

Способ 2: Использование свойства степеней.

Поскольку показатели степени одинаковы, можно использовать свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

1. Сгруппируем множители.

$(-0,5)^2 \cdot (-2)^2 = ((-0,5) \cdot (-2))^2$

2. Вычислим произведение в скобках. Произведение двух отрицательных чисел положительно.

$(-0,5) \cdot (-2) = 1$

3. Возведем результат в квадрат.

$1^2 = 1$

Ответ: 1

18.21 а) $(\left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot 1 \frac{1}{3};)$

б) $(3^4 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^3;)$

в) $(1 : \left(-\frac{1}{3}\right)^3;)$

г) $(\left(\frac{3}{5}\right)^2 \cdot 1 \frac{2}{3}.)$

а) Чтобы решить это выражение, сначала возведем дробь $\frac{3}{4}$ в квадрат, а смешанное число $1\frac{1}{3}$ преобразуем в неправильную дробь.
$(\frac{3}{4})^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$
$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
Теперь выполним умножение полученных дробей:
$\frac{9}{16} \cdot \frac{4}{3} = \frac{9 \cdot 4}{16 \cdot 3}$
Сократим числитель и знаменатель. 9 и 3 делятся на 3, а 16 и 4 делятся на 4:
$\frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 1} = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$

б) Сначала вычислим значения степеней:
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$
$(-\frac{2}{3})^3 = (-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{2^3}{3^3} = -\frac{8}{27}$
Теперь умножим полученные результаты:
$81 \cdot (-\frac{8}{27}) = -\frac{81 \cdot 8}{27}$
Сократим 81 и 27 на 27:
$-\frac{3 \cdot 8}{1} = -24$
Ответ: -24

в) Сначала вычислим значение выражения в скобках, возведенного в степень:
$(-\frac{1}{3})^3 = -\frac{1^3}{3^3} = -\frac{1}{27}$
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:
$1 : (-\frac{1}{27}) = 1 \cdot (-\frac{27}{1}) = -27$
Ответ: -27

г) Возведем дробь $\frac{3}{5}$ в квадрат и преобразуем смешанное число $1\frac{2}{3}$ в неправильную дробь.
$(\frac{3}{5})^2 = \frac{3^2}{5^2} = \frac{9}{25}$
$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$
Теперь выполним умножение:
$\frac{9}{25} \cdot \frac{5}{3} = \frac{9 \cdot 5}{25 \cdot 3}$
Сократим дроби: 9 и 3 делятся на 3, а 25 и 5 делятся на 5.
$\frac{3 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{3}{5}$
Ответ: $\frac{3}{5}$

18.22 а) $ \frac{0,2^4}{40} $;

б) $ \frac{1,8}{(0,3)^2} $;

в) $ \frac{1}{(-0,1)^3} $;

г) $ \frac{1,6}{(0,4)^2} $.

а) Чтобы вычислить данное выражение $\frac{0,2^4}{40}$, представим числа в виде произведений с использованием степеней десяти. Число $0,2$ можно записать как $2 \cdot 10^{-1}$. Тогда его четвертая степень будет $0,2^4 = (2 \cdot 10^{-1})^4 = 2^4 \cdot (10^{-1})^4 = 16 \cdot 10^{-4}$. Знаменатель $40$ можно представить как $4 \cdot 10^1$. Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{16 \cdot 10^{-4}}{4 \cdot 10^1}$. Выполним деление коэффициентов и степеней отдельно: $\frac{16}{4} \cdot \frac{10^{-4}}{10^1} = 4 \cdot 10^{-4-1} = 4 \cdot 10^{-5}$. Запишем полученное число в виде десятичной дроби: $0,00004$.
Ответ: 0,00004

б) Рассмотрим выражение $\frac{1,8}{(0,3)^2}$. Сначала вычислим значение знаменателя: $(0,3)^2 = 0,3 \cdot 0,3 = 0,09$. Теперь выражение принимает вид $\frac{1,8}{0,09}$. Для удобства деления избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 100 (так как в знаменателе два знака после запятой): $\frac{1,8 \cdot 100}{0,09 \cdot 100} = \frac{180}{9}$. Выполнив деление, получаем $180 \div 9 = 20$.
Ответ: 20

в) Найдем значение выражения $\frac{1}{(-0,1)^3}$. Сначала возведем в степень знаменатель. Представим $-0,1$ в виде обыкновенной дроби: $-0,1 = -\frac{1}{10}$. Возведем эту дробь в третью степень (поскольку степень нечетная, знак минус сохранится): $(-0,1)^3 = (-\frac{1}{10})^3 = -\frac{1^3}{10^3} = -\frac{1}{1000}$. Теперь исходное выражение равно $\frac{1}{-1/1000}$. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей (перевернутую) дробь: $1 \cdot (-\frac{1000}{1}) = -1000$.
Ответ: -1000

г) Требуется вычислить $\frac{1,6}{(0,4)^2}$. Заметим, что числитель $1,6$ можно представить через основание степени в знаменателе: $1,6 = 4 \cdot 0,4$. Подставим это в исходное выражение: $\frac{4 \cdot 0,4}{(0,4)^2}$. Теперь можно сократить дробь на $0,4$. Используя свойство степеней $\frac{a}{a^2} = \frac{1}{a}$, получаем: $\frac{4}{0,4}$. Чтобы выполнить деление, умножим числитель и знаменатель на 10: $\frac{4 \cdot 10}{0,4 \cdot 10} = \frac{40}{4} = 10$.
Ответ: 10

18.23 а) $(2\frac{1}{5})^2$;

б) $(-3\frac{1}{3})^3$;

в) $(-1\frac{2}{3})^4$;

г) $(5\frac{1}{4})^2$.

а) Чтобы возвести смешанное число в степень, необходимо сначала представить его в виде неправильной дроби.

$2\frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{11}{5}$

Теперь возведем полученную дробь в квадрат:

$(2\frac{1}{5})^2 = (\frac{11}{5})^2 = \frac{11^2}{5^2} = \frac{121}{25}$

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число, выделив целую часть:

$\frac{121}{25} = 4\frac{21}{25}$

Ответ: $4\frac{21}{25}$

б) Сначала преобразуем смешанное число $-3\frac{1}{3}$ в неправильную дробь.

$-3\frac{1}{3} = -(\frac{3 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{10}{3}$

Далее возведем эту дробь в куб. Поскольку основание отрицательное, а показатель степени нечетный (3), результат будет отрицательным.

$(-3\frac{1}{3})^3 = (-\frac{10}{3})^3 = -\frac{10^3}{3^3} = -\frac{1000}{27}$

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$-\frac{1000}{27} = -37\frac{1}{27}$

Ответ: $-37\frac{1}{27}$

в) Переведем смешанное число $-1\frac{2}{3}$ в неправильную дробь.

$-1\frac{2}{3} = -(\frac{1 \cdot 3 + 2}{3}) = -\frac{5}{3}$

Теперь возведем полученную дробь в четвертую степень. Так как основание отрицательное, а показатель степени четный (4), результат будет положительным.

$(-1\frac{2}{3})^4 = (-\frac{5}{3})^4 = (\frac{5}{3})^4 = \frac{5^4}{3^4} = \frac{625}{81}$

Преобразуем результат в смешанное число:

$\frac{625}{81} = 7\frac{58}{81}$

Ответ: $7\frac{58}{81}$

г) Представим смешанное число $5\frac{1}{4}$ в виде неправильной дроби.

$5\frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{21}{4}$

Возведем полученную дробь в квадрат:

$(5\frac{1}{4})^2 = (\frac{21}{4})^2 = \frac{21^2}{4^2} = \frac{441}{16}$

Выделим целую часть, чтобы получить смешанное число:

$\frac{441}{16} = 27\frac{9}{16}$

Ответ: $27\frac{9}{16}$

Запишите произведение в виде степени, назовите основание и показатель каждой степени:

18.24 а) $\underbrace{6 \cdot 6 \dots 6}_{m \text{ множителей}}$;

в) $\underbrace{a \cdot a \dots a}_{k \text{ множителей}}$;

б) $\underbrace{(-7) \cdot (-7) \dots (-7)}_{n \text{ множителей}}$;

г) $\underbrace{b \cdot b \dots b}_{m \text{ множителей}}$.

а) В выражении $6 \cdot 6 \cdot ... \cdot 6$ представлено произведение, состоящее из $m$ одинаковых множителей. По определению, степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ называется произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$. Число $a$ называют основанием степени, а число $n$ — показателем степени. В данном случае, повторяющийся множитель — это 6, поэтому 6 является основанием степени. Количество множителей равно $m$, следовательно, $m$ является показателем степени. Таким образом, произведение записывается в виде степени $6^m$.
Ответ: степень $6^m$; основание 6, показатель $m$.

б) В выражении $(-7) \cdot (-7) \cdot ... \cdot (-7)$ число -7 умножается само на себя $n$ раз. Основанием степени является повторяющийся множитель, то есть -7. Показателем степени является количество этих множителей, то есть $n$. Следовательно, данное произведение можно записать в виде степени $(-7)^n$. Важно использовать скобки, чтобы показать, что в степень возводится именно отрицательное число -7.
Ответ: степень $(-7)^n$; основание -7, показатель $n$.

в) В выражении $a \cdot a \cdot ... \cdot a$ буквенный множитель $a$ умножается сам на себя $k$ раз. Основанием степени в этом случае будет переменная $a$. Показателем степени будет количество множителей, равное $k$. В результате произведение записывается в виде степени $a^k$.
Ответ: степень $a^k$; основание $a$, показатель $k$.

г) В выражении $b \cdot b \cdot ... \cdot b$ буквенный множитель $b$ умножается сам на себя $m$ раз. Аналогично предыдущим пунктам, основанием степени является повторяющийся множитель $b$, а показателем степени — количество множителей $m$. Таким образом, данное произведение записывается в виде степени $b^m$.
Ответ: степень $b^m$; основание $b$, показатель $m$.

18.25 а) $\underbrace{(xy) \cdot (xy) \dots (xy)}_{n \text{ множителей}}$;

б) $\underbrace{(-cd) \cdot (-cd) \dots (-cd)}_{m \text{ множителей}}$;

в) $\underbrace{(m-n) \cdot (m-n) \dots (m-n)}_{k \text{ множителей}}$;

г) $\underbrace{(t+v) \cdot (t+v) \dots (t+v)}_{n \text{ множителей}}$.

а) Данное выражение представляет собой произведение $n$ одинаковых множителей, каждый из которых равен $(xy)$. По определению степени, произведение одинаковых множителей можно записать в виде степени. Основанием степени будет повторяющийся множитель, а показателем степени — количество таких множителей.
Таким образом, произведение $n$ множителей $(xy)$ равно $(xy)$ в степени $n$.
$(xy) \cdot (xy) \cdot ... \cdot (xy) = (xy)^n$
Ответ: $(xy)^n$

б) В данном случае выражение является произведением $m$ множителей, равных $(-cd)$. Аналогично предыдущему пункту, это можно представить в виде степени. Основанием степени является выражение $(-cd)$, а показателем степени — число множителей $m$.
$(-cd) \cdot (-cd) \cdot ... \cdot (-cd) = (-cd)^m$
Ответ: $(-cd)^m$

в) В этом выражении множитель $(m-n)$ повторяется $k$ раз. Произведение $k$ одинаковых множителей записывается как степень этого множителя с показателем $k$. Основанием степени будет $(m-n)$, а показателем — $k$.
$(m-n) \cdot (m-n) \cdot ... \cdot (m-n) = (m-n)^k$
Ответ: $(m-n)^k$

г) Здесь мы имеем произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $(t+v)$. По определению степени, это выражение равно основанию $(t+v)$, возведенному в степень $n$, так как множитель повторяется $n$ раз.
$(t+v) \cdot (t+v) \cdot ... \cdot (t+v) = (t+v)^n$
Ответ: $(t+v)^n$

18.26 Упростите выражение:

a) $\underbrace{c \cdot c \dots c}_{k \text{ множителей}} \cdot \underbrace{d \cdot d \dots d}_{n \text{ множителей}};$

б) $\underbrace{(-a)\cdot(-a)\dots (-a)}_{n \text{ множителей}} \cdot \underbrace{b \cdot b \dots b}_{k \text{ множителей}};$

в) $\underbrace{(a-b)\cdot(a-b)\dots (a-b)}_{m \text{ множителей}} \cdot (x-z);$

г) $(p-q)\cdot(p-q)\cdot \underbrace{(x-y)\dots (x-y)}_{m \text{ множителей}}.$

а)

В данном выражении требуется упростить произведение одинаковых множителей. Произведение $k$ множителей, каждый из которых равен $c$, по определению степени записывается как $c^k$. Аналогично, произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $d$, записывается как $d^n$. Итоговое выражение является произведением этих двух степеней.

$ \underbrace{c \cdot c \cdot \ldots \cdot c}_{k \text{ множителей}} \cdot \underbrace{d \cdot d \cdot \ldots \cdot d}_{n \text{ множителей}} = c^k \cdot d^n $

Ответ: $c^k d^n$

б)

Это выражение состоит из двух частей. Первая часть — это произведение множителя $(-a)$ самого на себя $n$ раз, что по определению степени равно $(-a)^n$. Вторая часть — это произведение множителя $b$ самого на себя $k$ раз, что равно $b^k$. Результатом является произведение этих двух степеней.

$ \underbrace{(-a) \cdot (-a) \cdot \ldots \cdot (-a)}_{n \text{ множителей}} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{k \text{ множителей}} = (-a)^n \cdot b^k $

Стоит отметить, что $(-a)^n$ можно также записать как $(-1)^n a^n$. Знак этого выражения зависит от четности $n$: если $n$ четное, то $(-a)^n = a^n$; если $n$ нечетное, то $(-a)^n = -a^n$.

Ответ: $(-a)^n b^k$

в)

Здесь мы имеем произведение выражения в скобках $(a-b)$ самого на себя $m$ раз. Это записывается как степень $(a-b)^m$. Затем это произведение умножается на еще один множитель $(x-z)$.

$ \underbrace{(a-b) \cdot (a-b) \cdot \ldots \cdot (a-b)}_{m \text{ множителей}} \cdot (x-z) = (a-b)^m (x-z) $

Ответ: $(a-b)^m (x-z)$

г)

В этом выражении есть два множителя $(p-q)$ и $m$ множителей $(x-y)$. Произведение двух множителей $(p-q)$ равно $(p-q)^2$. Произведение $m$ множителей $(x-y)$ равно $(x-y)^m$. Итоговое выражение — это произведение этих двух полученных степеней.

$ (p-q) \cdot (p-q) \cdot \underbrace{(x-y) \cdot \ldots \cdot (x-y)}_{m \text{ множителей}} = (p-q)^2 \cdot (x-y)^m $

Ответ: $(p-q)^2 (x-y)^m$