Страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Представьте заданное число в виде произведения степеней простых чисел:

19.8 a) 288;

б) 432;

в) 600;

г) 784.

а) 288;

Чтобы представить число 288 в виде произведения степеней простых чисел, необходимо разложить его на простые множители. Для этого будем последовательно делить число 288 и получаемые частные на наименьшие возможные простые числа, начиная с 2.
$288 : 2 = 144$
$144 : 2 = 72$
$72 : 2 = 36$
$36 : 2 = 18$
$18 : 2 = 9$
Число 9 не делится на 2. Следующее простое число — 3.
$9 : 3 = 3$
$3 : 3 = 1$
Таким образом, мы получили набор простых множителей для числа 288: $2, 2, 2, 2, 2, 3, 3$. Запишем это в виде произведения: $288 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$.
Сгруппируем одинаковые множители, представив их в виде степеней. У нас пять множителей "2" и два множителя "3".
$288 = 2^5 \cdot 3^2$.

Ответ: $2^5 \cdot 3^2$.

б) 432;

Разложим число 432 на простые множители, начиная с наименьшего простого делителя — 2.
$432 : 2 = 216$
$216 : 2 = 108$
$108 : 2 = 54$
$54 : 2 = 27$
Число 27 не делится на 2. Следующий простой делитель — 3.
$27 : 3 = 9$
$9 : 3 = 3$
$3 : 3 = 1$
Простые множители числа 432: $2, 2, 2, 2, 3, 3, 3$. Запишем в виде произведения: $432 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$.
Представим произведение одинаковых множителей в виде степеней: четыре множителя "2" и три множителя "3".
$432 = 2^4 \cdot 3^3$.

Ответ: $2^4 \cdot 3^3$.

в) 600;

Разложим число 600 на простые множители.
$600 : 2 = 300$
$300 : 2 = 150$
$150 : 2 = 75$
Число 75 не делится на 2. Проверяем делимость на 3. Сумма цифр $7+5=12$ делится на 3, значит и число 75 делится на 3.
$75 : 3 = 25$
Число 25 не делится на 3. Следующий простой делитель — 5.
$25 : 5 = 5$
$5 : 5 = 1$
Простые множители числа 600: $2, 2, 2, 3, 5, 5$. Запишем в виде произведения: $600 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$.
Сгруппируем множители в степени: три множителя "2", один множитель "3" и два множителя "5".
$600 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2$.

Ответ: $2^3 \cdot 3 \cdot 5^2$.

г) 784.

Разложим число 784 на простые множители.
$784 : 2 = 392$
$392 : 2 = 196$
$196 : 2 = 98$
$98 : 2 = 49$
Число 49 не делится на 2, 3, 5. Следующий простой делитель — 7.
$49 : 7 = 7$
$7 : 7 = 1$
Простые множители числа 784: $2, 2, 2, 2, 7, 7$. Запишем в виде произведения: $784 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7$.
Представим в виде произведения степеней: четыре множителя "2" и два множителя "7".
$784 = 2^4 \cdot 7^2$.

Ответ: $2^4 \cdot 7^2$.

19.9 a) 3969;

б) 64800;

в) 21600;

г) 19360.

а) Разложим число 3969 на простые множители.
Сумма цифр числа 3969 равна $3+9+6+9=27$. Поскольку 27 делится на 9, то и само число 3969 делится на 9.
$3969 \div 9 = 441$.
Теперь разложим на множители число 441. Сумма его цифр $4+4+1=9$ также делится на 9.
$441 \div 9 = 49$.
Число 49 является квадратом числа 7, то есть $49 = 7^2$.
Число 9 можно представить как квадрат числа 3, то есть $9 = 3^2$.
Таким образом, получаем разложение:
$3969 = 9 \cdot 441 = 9 \cdot 9 \cdot 49 = 3^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2 = 3^{2+2} \cdot 7^2 = 3^4 \cdot 7^2$.
Ответ: $3^4 \cdot 7^2$.

б) Разложим число 64800 на простые множители.
Число оканчивается на два нуля, поэтому оно делится на $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.
$64800 = 648 \cdot 100$.
Теперь разложим на множители число 648. Так как оно четное, будем последовательно делить его на 2:
$648 \div 2 = 324$.
$324 \div 2 = 162$.
$162 \div 2 = 81$.
Число 81 — это четвертая степень числа 3, то есть $81 = 3^4$.
Следовательно, $648 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 81 = 2^3 \cdot 3^4$.
Объединим все множители:
$64800 = 648 \cdot 100 = (2^3 \cdot 3^4) \cdot (2^2 \cdot 5^2) = 2^{3+2} \cdot 3^4 \cdot 5^2 = 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5^2$.
Ответ: $2^5 \cdot 3^4 \cdot 5^2$.

в) Разложим число 21600 на простые множители.
Число оканчивается на два нуля, значит, оно делится на $100 = 2^2 \cdot 5^2$.
$21600 = 216 \cdot 100$.
Теперь разложим на множители число 216. Это число является кубом числа 6.
$216 = 6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3$.
Теперь объединим полученные множители:
$21600 = 216 \cdot 100 = (2^3 \cdot 3^3) \cdot (2^2 \cdot 5^2) = 2^{3+2} \cdot 3^3 \cdot 5^2 = 2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^2$.
Ответ: $2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^2$.

г) Разложим число 19360 на простые множители.
Число оканчивается на ноль, поэтому оно делится на $10 = 2 \cdot 5$.
$19360 = 1936 \cdot 10$.
Теперь разложим на множители число 1936. Будем последовательно делить его на 2:
$1936 \div 2 = 968$.
$968 \div 2 = 484$.
$484 \div 2 = 242$.
$242 \div 2 = 121$.
Число 121 является квадратом числа 11, то есть $121 = 11^2$.
Таким образом, $1936 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 121 = 2^4 \cdot 11^2$.
Объединим все множители:
$19360 = 1936 \cdot 10 = (2^4 \cdot 11^2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^{4+1} \cdot 5 \cdot 11^2 = 2^5 \cdot 5 \cdot 11^2$.
Ответ: $2^5 \cdot 5 \cdot 11^2$.

19.10 a) Назовите числа, квадрат которых равен 1, 9, 64, 121.

б) Назовите числа, квадрат которых равен 0,04, 1,44, $\frac{25}{36}$, $2\frac{2}{49}$.

в) Назовите числа, четвёртая степень которых равна 1, 16, 81, 625.

г) Назовите числа, четвёртая степень которых равна 0,0001, 0,0016, $\frac{1}{81}$, $\frac{256}{625}$.

а) Чтобы найти числа, квадрат которых равен заданному числу, необходимо извлечь из него квадратный корень. Для любого положительного числа $a$ существует два квадратных корня: $\sqrt{a}$ и $-\sqrt{a}$.

• Для числа 1: искомые числа $x$ находятся из уравнения $x^2 = 1$. Отсюда $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x = 1$ и $x = -1$.
• Для числа 9: $x^2 = 9 \implies x = \pm\sqrt{9} = \pm 3$.
• Для числа 64: $x^2 = 64 \implies x = \pm\sqrt{64} = \pm 8$.
• Для числа 121: $x^2 = 121 \implies x = \pm\sqrt{121} = \pm 11$.

Ответ: $\pm 1$; $\pm 3$; $\pm 8$; $\pm 11$.

б) Аналогично предыдущему пункту, находим квадратные корни из заданных чисел.

• Для числа 0,04: $x^2 = 0,04 \implies x = \pm\sqrt{0,04} = \pm 0,2$.
• Для числа 1,44: $x^2 = 1,44 \implies x = \pm\sqrt{1,44} = \pm 1,2$.
• Для числа $\frac{25}{36}$: $x^2 = \frac{25}{36} \implies x = \pm\sqrt{\frac{25}{36}} = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}} = \pm \frac{5}{6}$.
• Для числа $2 \frac{2}{49}$: сначала представим его в виде неправильной дроби $2 \frac{2}{49} = \frac{2 \cdot 49 + 2}{49} = \frac{98 + 2}{49} = \frac{100}{49}$. Тогда $x^2 = \frac{100}{49} \implies x = \pm\sqrt{\frac{100}{49}} = \pm \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{49}} = \pm \frac{10}{7}$.

Ответ: $\pm 0,2$; $\pm 1,2$; $\pm \frac{5}{6}$; $\pm \frac{10}{7}$.

в) Чтобы найти числа, четвёртая степень которых равна заданному числу, нужно извлечь корень четвёртой степени. Так как степень (4) является чётной, для каждого положительного числа $a$ существует два действительных корня: $\sqrt[4]{a}$ и $-\sqrt[4]{a}$.

• Для числа 1: $x^4 = 1 \implies x = \pm\sqrt[4]{1} = \pm 1$.
• Для числа 16: $x^4 = 16 \implies x = \pm\sqrt[4]{16} = \pm 2$, так как $2^4 = 16$.
• Для числа 81: $x^4 = 81 \implies x = \pm\sqrt[4]{81} = \pm 3$, так как $3^4 = 81$.
• Для числа 625: $x^4 = 625 \implies x = \pm\sqrt[4]{625} = \pm 5$, так как $5^4 = 625$.

Ответ: $\pm 1$; $\pm 2$; $\pm 3$; $\pm 5$.

г) Аналогично предыдущему пункту, находим корни четвёртой степени из заданных чисел.

• Для числа 0,0001: $x^4 = 0,0001 \implies x = \pm\sqrt[4]{0,0001} = \pm 0,1$, так как $(0,1)^4 = 0,0001$.
• Для числа 0,0016: $x^4 = 0,0016 \implies x = \pm\sqrt[4]{0,0016} = \pm 0,2$, так как $(0,2)^4 = 0,0016$.
• Для числа $\frac{1}{81}$: $x^4 = \frac{1}{81} \implies x = \pm\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}} = \pm \frac{1}{3}$.
• Для числа $\frac{256}{625}$: $x^4 = \frac{256}{625} \implies x = \pm\sqrt[4]{\frac{256}{625}} = \pm \frac{\sqrt[4]{256}}{\sqrt[4]{625}} = \pm \frac{4}{5}$.

Ответ: $\pm 0,1$; $\pm 0,2$; $\pm \frac{1}{3}$; $\pm \frac{4}{5}$.

19.11 а) Назовите число, куб которого равен 1, -8, 125, -343.

б) Назовите число, куб которого равен 0,027, -0,216, $ \frac{1}{64} $, $ -\frac{343}{512} $.

в) Назовите число, пятая степень которого равна -1, -32, 243, 100 000.

г) Назовите число, пятая степень которого равна 0,03125, -0,00243, $ \frac{1}{32} $, $ -7\frac{19}{32} $.

а) Найти число, куб которого равен заданному значению, означает извлечь кубический корень из этого значения. Обозначим искомое число как $x$, тогда $x^3 = y$, где $y$ — заданное число. Следовательно, $x = \sqrt[3]{y}$.

• Для числа 1: $x^3 = 1$. Число, которое при возведении в куб дает 1, это 1. Таким образом, $x = \sqrt[3]{1} = 1$.
• Для числа -8: $x^3 = -8$. Так как степень нечетная, основание должно быть отрицательным. Мы знаем, что $2^3 = 8$, значит $(-2)^3 = -8$. Таким образом, $x = \sqrt[3]{-8} = -2$.
• Для числа 125: $x^3 = 125$. Мы знаем, что $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$. Таким образом, $x = \sqrt[3]{125} = 5$.
• Для числа -343: $x^3 = -343$. Основание должно быть отрицательным. Мы знаем, что $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$, значит $(-7)^3 = -343$. Таким образом, $x = \sqrt[3]{-343} = -7$.

Ответ: 1; -2; 5; -7.

б) Аналогично предыдущему пункту, извлекаем кубический корень из каждого числа.

• Для числа 0,027: $x^3 = 0,027$. $0,027 = \frac{27}{1000} = (\frac{3}{10})^3 = (0,3)^3$. Таким образом, $x = \sqrt[3]{0,027} = 0,3$.
• Для числа -0,216: $x^3 = -0,216$. $-0,216 = -\frac{216}{1000} = (-\frac{6}{10})^3 = (-0,6)^3$. Таким образом, $x = \sqrt[3]{-0,216} = -0,6$.
• Для числа $\frac{1}{64}$: $x^3 = \frac{1}{64}$. $x = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{4}$.
• Для числа $-\frac{343}{512}$: $x^3 = -\frac{343}{512}$. $x = \sqrt[3]{-\frac{343}{512}} = -\frac{\sqrt[3]{343}}{\sqrt[3]{512}} = -\frac{7}{8}$.

Ответ: 0,3; -0,6; $\frac{1}{4}$; $-\frac{7}{8}$.

в) Найти число, пятая степень которого равна заданному значению, означает извлечь корень пятой степени из этого значения. Обозначим искомое число как $x$, тогда $x^5 = y$, где $y$ — заданное число. Следовательно, $x = \sqrt[5]{y}$.

• Для числа -1: $x^5 = -1$. Так как степень нечетная, отрицательный результат получается при возведении в степень отрицательного основания. $(-1)^5 = -1$. Таким образом, $x = \sqrt[5]{-1} = -1$.
• Для числа -32: $x^5 = -32$. Мы знаем, что $2^5 = 32$, значит $(-2)^5 = -32$. Таким образом, $x = \sqrt[5]{-32} = -2$.
• Для числа 243: $x^5 = 243$. Мы знаем, что $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$. Таким образом, $x = \sqrt[5]{243} = 3$.
• Для числа 100 000: $x^5 = 100 000$. $100 000 = 10^5$. Таким образом, $x = \sqrt[5]{100000} = 10$.

Ответ: -1; -2; 3; 10.

г) Аналогично предыдущему пункту, извлекаем корень пятой степени из каждого числа.

• Для числа 0,03125: $x^5 = 0,03125$. $0,03125 = \frac{3125}{100000} = \frac{1}{32} = (\frac{1}{2})^5 = (0,5)^5$. Таким образом, $x = \sqrt[5]{0,03125} = 0,5$.
• Для числа -0,00243: $x^5 = -0,00243$. $-0,00243 = -\frac{243}{100000} = (-\frac{3}{10})^5 = (-0,3)^5$. Таким образом, $x = \sqrt[5]{-0,00243} = -0,3$.
• Для числа $\frac{1}{32}$: $x^5 = \frac{1}{32}$. $x = \sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{1}{2}$.
• Для числа $-7\frac{19}{32}$: Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-7\frac{19}{32} = -\frac{7 \cdot 32 + 19}{32} = -\frac{224 + 19}{32} = -\frac{243}{32}$. Тогда $x^5 = -\frac{243}{32}$. $x = \sqrt[5]{-\frac{243}{32}} = -\frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}} = -\frac{3}{2}$.

Ответ: 0,5; -0,3; $\frac{1}{2}$; $-\frac{3}{2}$.

Вычислите:

19.12

a) $ (-2)^5; $

б) $ (-3)^4; $

в) $ (-0,5)^3; $

г) $ \left(-\frac{1}{4}\right)^2. $

а) $(-2)^5$

Возведение отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае, 5) дает отрицательный результат. Нам нужно умножить число 2 само на себя 5 раз и поставить знак минус перед результатом.

$(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = - (2^5) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = - (16 \cdot 2) = -32$.

Ответ: $-32$

б) $(-3)^4$

Возведение отрицательного числа в четную степень (в данном случае, 4) дает положительный результат, так как минусы попарно сокращаются.

$(-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$.

Ответ: $81$

в) $(-0,5)^3$

Возводим отрицательное число -0,5 в нечетную степень 3. Результат будет отрицательным.

$(-0,5)^3 = (-0,5) \cdot (-0,5) \cdot (-0,5) = 0,25 \cdot (-0,5) = -0,125$.

Другой способ — представить десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,5 = -\frac{1}{2}$.

$(-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1^3}{2^3} = -\frac{1}{8}$.

Ответ: $-0,125$

г) $(-\frac{1}{4})^2$

Возводим отрицательную дробь в четную степень 2. Результат будет положительным. При возведении дроби в степень, в эту степень возводятся и числитель, и знаменатель.

$(-\frac{1}{4})^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1^2}{4^2} = \frac{1}{16}$.

Ответ: $\frac{1}{16}$

19.13 a) $(-2,5)^2 + 1,5^2;$

б) $\left(-\frac{2}{3}\right)^4 - \left(\frac{2}{9}\right)^2;$

в) $(-0,5)^3 + (-0,4)^2;$

г) $\left(-\frac{1}{6}\right)^2 - \left(-\frac{1}{3}\right)^3.$

а)

Для решения данного примера необходимо выполнить действия в соответствии с порядком операций: сначала возведение в степень, затем сложение.

1. Возведем в квадрат первое слагаемое: $(-2,5)^2$. Так как мы возводим отрицательное число в четную степень (2), результат будет положительным. $2,5^2 = 2,5 \times 2,5 = 6,25$.

2. Возведем в квадрат второе слагаемое: $1,5^2 = 1,5 \times 1,5 = 2,25$.

3. Сложим полученные результаты: $6,25 + 2,25 = 8,5$.

Таким образом, выражение равно: $(-2,5)^2 + 1,5^2 = 6,25 + 2,25 = 8,5$.

Ответ: 8,5.

б)

Сначала возведем каждую дробь в указанную степень, а затем выполним вычитание.

1. Возведем в четвертую степень уменьшаемое: $(-\frac{2}{3})^4$. Так как степень четная (4), знак минус исчезает. $(-\frac{2}{3})^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}$.

2. Возведем во вторую степень вычитаемое: $(\frac{2}{9})^2 = \frac{2^2}{9^2} = \frac{4}{81}$.

3. Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: $\frac{16}{81} - \frac{4}{81} = \frac{16-4}{81} = \frac{12}{81}$.

4. Сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 3: $\frac{12 \div 3}{81 \div 3} = \frac{4}{27}$.

Полное решение: $(-\frac{2}{3})^4 - (\frac{2}{9})^2 = \frac{16}{81} - \frac{4}{81} = \frac{12}{81} = \frac{4}{27}$.

Ответ: $\frac{4}{27}$.

в)

Возведем каждое число в степень, а затем сложим результаты.

1. Возведем в куб первое слагаемое: $(-0,5)^3$. Так как степень нечетная (3), результат будет отрицательным. $0,5^3 = 0,5 \times 0,5 \times 0,5 = 0,125$. Значит, $(-0,5)^3 = -0,125$.

2. Возведем в квадрат второе слагаемое: $(-0,4)^2$. Так как степень четная (2), результат будет положительным. $0,4^2 = 0,4 \times 0,4 = 0,16$.

3. Сложим полученные значения: $-0,125 + 0,16 = 0,16 - 0,125 = 0,035$.

Полное решение: $(-0,5)^3 + (-0,4)^2 = -0,125 + 0,16 = 0,035$.

Ответ: 0,035.

г)

Возведем дроби в степени, после чего выполним вычитание.

1. Возведем в квадрат уменьшаемое: $(-\frac{1}{6})^2$. Четная степень (2) дает положительный результат: $(-\frac{1}{6})^2 = \frac{1^2}{6^2} = \frac{1}{36}$.

2. Возведем в куб вычитаемое: $(-\frac{1}{3})^3$. Нечетная степень (3) сохраняет знак минус: $(-\frac{1}{3})^3 = -\frac{1^3}{3^3} = -\frac{1}{27}$.

3. Выполним вычитание. Вычитание отрицательного числа эквивалентно сложению: $\frac{1}{36} - (-\frac{1}{27}) = \frac{1}{36} + \frac{1}{27}$.

4. Для сложения дробей найдем наименьший общий знаменатель (НОК) для 36 и 27. $36 = 2^2 \cdot 3^2$, $27 = 3^3$. $НОК(36, 27) = 2^2 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108$.

5. Приведем дроби к общему знаменателю 108 и сложим их: $\frac{1 \cdot 3}{36 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 4}{27 \cdot 4} = \frac{3}{108} + \frac{4}{108} = \frac{3+4}{108} = \frac{7}{108}$.

Полное решение: $(-\frac{1}{6})^2 - (-\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{36} - (-\frac{1}{27}) = \frac{1}{36} + \frac{1}{27} = \frac{3}{108} + \frac{4}{108} = \frac{7}{108}$.

Ответ: $\frac{7}{108}$.

Вместо многоточия поставьте нужный знак неравенства:

19.14 a) $a^2 ... 0;$

б) $-a^2 ... 0;$

в) $(x+5)^2 ... 0;$

г) $-3(x-7)^2 ... 0.$

а) Рассмотрим выражение $a^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Это означает, что он либо больше нуля (если $a \ne 0$), либо равен нулю (если $a = 0$). Следовательно, выражение $a^2$ всегда больше или равно нулю.
Ответ: $a^2 \ge 0$

б) Рассмотрим выражение $-a^2$. Как было установлено в предыдущем пункте, $a^2 \ge 0$. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число (в данном случае на $-1$), знак неравенства меняется на противоположный. Таким образом, из $a^2 \ge 0$ следует, что $-a^2 \le 0$. Выражение $-a^2$ всегда меньше или равно нулю.
Ответ: $-a^2 \le 0$

в) Рассмотрим выражение $(x + 5)^2$. Это выражение представляет собой квадрат числа $(x + 5)$. Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю, то и $(x + 5)^2 \ge 0$ для любого значения $x$. Равенство достигается при $x = -5$.
Ответ: $(x + 5)^2 \ge 0$

г) Рассмотрим выражение $-3(x - 7)^2$. Сначала проанализируем множитель $(x - 7)^2$. Это квадрат действительного числа, поэтому $(x - 7)^2 \ge 0$. Далее, это неотрицательное выражение умножается на отрицательное число $-3$. При умножении неотрицательной величины на отрицательное число результат всегда будет неположительным, то есть меньше или равен нулю. Таким образом, $-3(x - 7)^2 \le 0$ для любого значения $x$. Равенство нулю достигается при $x = 7$.
Ответ: $-3(x - 7)^2 \le 0$

19.15 a) $x^2 + y^2 \dots 0;$

б) $(a + 51)^2 + (b^2 - 13)^2 \dots 0;$

В) $5(a^2 + b^2) \dots 0;$

Г) $-94(x + y)^2 \dots 0.$

а) Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Это означает, что $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$ для любых значений $x$ и $y$. Сумма двух неотрицательных величин также всегда является неотрицательной. Следовательно, выражение $x^2 + y^2$ всегда больше или равно нулю. Равенство нулю достигается только в том случае, когда оба слагаемых равны нулю, то есть при $x=0$ и $y=0$ одновременно. Таким образом, вместо многоточия следует поставить знак $\ge$.
Ответ: $x^2 + y^2 \ge 0$.

б) Данное выражение представляет собой сумму двух квадратов: $(a + 51)^2$ и $(b^2 - 13)^2$. Любое выражение, возведенное в квадрат, является неотрицательным. То есть, $(a + 51)^2 \ge 0$ и $(b^2 - 13)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых всегда неотрицательна. Равенство нулю возможно, только если оба слагаемых равны нулю: $a+51=0$ (что дает $a=-51$) и $b^2-13=0$ (что дает $b = \pm\sqrt{13}$). Значит, данное выражение всегда больше или равно нулю.
Ответ: $(a + 51)^2 + (b^2 - 13)^2 \ge 0$.

в) Рассмотрим выражение в скобках: $a^2 + b^2$. Как и в пункте а), это сумма квадратов двух действительных чисел, поэтому $a^2 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$, а их сумма $a^2 + b^2 \ge 0$. Данное неотрицательное выражение умножается на положительный коэффициент 5. Произведение неотрицательного числа на положительное число всегда является неотрицательным. Равенство нулю достигается при $a=0$ и $b=0$. Следовательно, выражение $5(a^2 + b^2)$ всегда больше или равно нулю.
Ответ: $5(a^2 + b^2) \ge 0$.

г) Выражение $(x + y)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(x + y)^2 \ge 0$. Затем это неотрицательное значение умножается на отрицательное число -94. При умножении неотрицательного числа (больше или равного нулю) на отрицательное число, результат всегда будет неположительным (меньше или равным нулю). Равенство нулю достигается, когда $(x + y)^2 = 0$, то есть при $x+y=0$ (или $x=-y$). Таким образом, выражение $-94(x + y)^2$ всегда меньше или равно нулю.
Ответ: $-94(x + y)^2 \le 0$.

19.16 Используя таблицу степеней однозначных чисел, найдите b, если:

а) $b^3 = 216$;

б) $b^5 = -32$;

в) $b^7 = 128$;

г) $b^3 = -343$.

а) В уравнении $b^3 = 216$ необходимо найти такое однозначное число $b$, которое при возведении в третью степень (в куб) дает $216$. Так как показатель степени $3$ является нечетным числом, а результат $216$ — положительным, то основание степени $b$ также должно быть положительным. Путем подбора из однозначных чисел или используя таблицу степеней, находим: $1^3 = 1$
$2^3 = 8$
$3^3 = 27$
$4^3 = 64$
$5^3 = 125$
$6^3 = 216$
Следовательно, искомое значение $b$ равно 6.
Ответ: $b = 6$.

б) В уравнении $b^5 = -32$ необходимо найти однозначное число $b$. Так как показатель степени $5$ является нечетным числом, а результат $-32$ — отрицательным, то основание степени $b$ должно быть отрицательным. Сначала найдем модуль числа $b$, для этого решим уравнение $|b|^5 = 32$.
Из таблицы степеней известно, что $2^5 = 32$.
Значит, $|b|=2$. Поскольку $b$ — отрицательное число, то $b = -2$.
Проверка: $(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32$.
Ответ: $b = -2$.

в) В уравнении $b^7 = 128$ необходимо найти однозначное число $b$. Так как показатель степени $7$ является нечетным числом, а результат $128$ — положительным, то основание степени $b$ должно быть положительным.
Используя таблицу степеней, находим, что $2^7 = 128$.
Следовательно, $b=2$.
Ответ: $b = 2$.

г) В уравнении $b^3 = -343$ необходимо найти однозначное число $b$. Так как показатель степени $3$ является нечетным числом, а результат $-343$ — отрицательным, то основание степени $b$ должно быть отрицательным. Найдем модуль числа $b$, решив уравнение $|b|^3 = 343$.
Из таблицы степеней известно, что $7^3 = 343$.
Значит, $|b|=7$. Поскольку $b$ — отрицательное число, то $b = -7$.
Проверка: $(-7)^3 = (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) = 49 \cdot (-7) = -343$.
Ответ: $b = -7$.