Страница 102, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

20.34 Замените символ * таким выражением, чтобы выполнялось равенство:

а) $(*)^5 = a^{30}$;

б) $(z^*)^3 = z^{12}$;

в) $(*)^7 = b^{14}$;

г) $(p^{12})^* = p^{24}$.

Для решения данной задачи используется основное свойство степени: при возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели перемножаются. Формула этого свойства: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

а) $(*)^5 = a^{30}$

Пусть выражение, которое нужно подставить вместо символа *, равно $X$. Тогда равенство имеет вид $(X)^5 = a^{30}$. Нам нужно найти такое выражение $X$, которое при возведении в пятую степень будет равно $a^{30}$. Если предположить, что $X$ имеет вид $a^m$, то, используя свойство степени, получим $(a^m)^5 = a^{m \cdot 5}$. Таким образом, нам нужно, чтобы выполнялось равенство $a^{5m} = a^{30}$. Это возможно, только если показатели степеней равны: $5m = 30$. Решая это простое уравнение, находим $m = 30 / 5 = 6$. Следовательно, искомое выражение — это $a^6$.

Проверка: $(a^6)^5 = a^{6 \cdot 5} = a^{30}$. Равенство верно.

Ответ: $a^6$.

б) $(z^*)^3 = z^{12}$

В этом случае символ * находится в показателе степени внутри скобок. Обозначим его за $m$. Тогда равенство примет вид $(z^m)^3 = z^{12}$. Применяя свойство возведения степени в степень, преобразуем левую часть: $(z^m)^3 = z^{m \cdot 3}$. Теперь равенство выглядит так: $z^{3m} = z^{12}$. Так как основания степеней одинаковы, мы можем приравнять их показатели: $3m = 12$. Отсюда находим $m = 12 / 3 = 4$. Значит, символ * нужно заменить числом 4.

Проверка: $(z^4)^3 = z^{4 \cdot 3} = z^{12}$. Равенство верно.

Ответ: 4.

в) $(*)^7 = b^{14}$

Это задание аналогично пункту а). Обозначим искомое выражение, стоящее вместо *, за $X$. Получаем равенство $(X)^7 = b^{14}$. Предположим, что $X = b^m$. Тогда, по свойству степени, $(b^m)^7 = b^{m \cdot 7}$. Нам нужно, чтобы $b^{7m} = b^{14}$. Приравниваем показатели степеней: $7m = 14$. Решая уравнение, находим $m = 14 / 7 = 2$. Таким образом, вместо символа * нужно подставить выражение $b^2$.

Проверка: $(b^2)^7 = b^{2 \cdot 7} = b^{14}$. Равенство верно.

Ответ: $b^2$.

г) $(p^{12})^* = p^{24}$

Здесь символ * является показателем степени, в которую возводится выражение в скобках. Обозначим его за $n$. Тогда равенство примет вид $(p^{12})^n = p^{24}$. Используя свойство степени, преобразуем левую часть: $(p^{12})^n = p^{12 \cdot n}$. Теперь равенство выглядит как $p^{12n} = p^{24}$. Приравниваем показатели степеней, так как основания равны: $12n = 24$. Отсюда находим $n = 24 / 12 = 2$. Значит, символ * следует заменить числом 2.

Проверка: $(p^{12})^2 = p^{12 \cdot 2} = p^{24}$. Равенство верно.

Ответ: 2.

20.35 Упростите выражение:

а) $ (a^3)^6 \cdot a^4; $

б) $ b^5 \cdot (b^3)^4; $

в) $ c^6 \cdot (c^2)^3; $

г) $ (d^8)^4 \cdot d^{23}. $

а) Для упрощения выражения $(a^3)^6 \cdot a^4$ воспользуемся свойствами степеней.
Сначала применим правило возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
$(a^3)^6 = a^{3 \cdot 6} = a^{18}$.
Теперь выражение имеет вид $a^{18} \cdot a^4$.
Далее применим правило умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
$a^{18} \cdot a^4 = a^{18+4} = a^{22}$.
Ответ: $a^{22}$.

б) Для упрощения выражения $b^5 \cdot (b^3)^4$ воспользуемся свойствами степеней.
Сначала возведем степень в степень:
$(b^3)^4 = b^{3 \cdot 4} = b^{12}$.
Теперь выражение имеет вид $b^5 \cdot b^{12}$.
Далее умножим степени с одинаковым основанием:
$b^5 \cdot b^{12} = b^{5+12} = b^{17}$.
Ответ: $b^{17}$.

в) Для упрощения выражения $c^6 \cdot (c^2)^3$ воспользуемся свойствами степеней.
Сначала возведем степень в степень:
$(c^2)^3 = c^{2 \cdot 3} = c^6$.
Теперь выражение имеет вид $c^6 \cdot c^6$.
Далее умножим степени с одинаковым основанием:
$c^6 \cdot c^6 = c^{6+6} = c^{12}$.
Ответ: $c^{12}$.

г) Для упрощения выражения $(d^8)^4 \cdot d^{23}$ воспользуемся свойствами степеней.
Сначала возведем степень в степень:
$(d^8)^4 = d^{8 \cdot 4} = d^{32}$.
Теперь выражение имеет вид $d^{32} \cdot d^{23}$.
Далее умножим степени с одинаковым основанием:
$d^{32} \cdot d^{23} = d^{32+23} = d^{55}$.
Ответ: $d^{55}$.

20.36 Используя правила умножения и деления степеней, упростите выражение:

а) $\frac{a^3 \cdot a^5 : a^6}{a^7 \cdot a^8 : a^{14}}$;

б) $\frac{z^3 \cdot z^{17}}{z^{19}} \cdot \frac{q^{43} \cdot q^2}{q^{44}}$;

в) $\frac{b^{13} \cdot b^{12} : b^3}{b^{20} \cdot b^4 : b^3}$;

г) $\frac{m^{79} \cdot m^4}{m^{99}} \cdot \frac{m^{63} \cdot m^{57}}{m^{96}}$.

а) $ \frac{a^3 \cdot a^5 : a^6}{a^7 \cdot a^8 : a^{14}} $

Для упрощения данного выражения мы будем использовать правила действий со степенями с одинаковым основанием: при умножении степеней их показатели складываются ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$), а при делении — вычитаются ($x^m : x^n = x^{m-n}$ или $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$).

1. Упростим выражение в числителе дроби, выполняя действия последовательно слева направо:
$a^3 \cdot a^5 : a^6 = a^{3+5} : a^6 = a^8 : a^6 = a^{8-6} = a^2$.

2. Упростим выражение в знаменателе дроби:
$a^7 \cdot a^8 : a^{14} = a^{7+8} : a^{14} = a^{15} : a^{14} = a^{15-14} = a^1 = a$.

3. Теперь разделим результат числителя на результат знаменателя:
$\frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a^1 = a$.

Ответ: $a$.

б) $ \frac{z^3 \cdot z^{17}}{z^{19}} \cdot \frac{q^{43} \cdot q^2}{q^{44}} $

Упростим каждую из дробей по отдельности, а затем перемножим полученные результаты.

1. Упростим первую дробь с переменной $z$:
Сначала выполним умножение в числителе: $z^3 \cdot z^{17} = z^{3+17} = z^{20}$.
Затем выполним деление: $\frac{z^{20}}{z^{19}} = z^{20-19} = z^1 = z$.

2. Упростим вторую дробь с переменной $q$:
Сначала выполним умножение в числителе: $q^{43} \cdot q^2 = q^{43+2} = q^{45}$.
Затем выполним деление: $\frac{q^{45}}{q^{44}} = q^{45-44} = q^1 = q$.

3. Перемножим упрощенные дроби:
$z \cdot q = zq$.

Ответ: $zq$.

в) $ \frac{b^{13} \cdot b^{12} : b^3}{b^{20} \cdot b^4 : b^3} $

Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности, используя правила действий со степенями.

1. Упростим числитель:
$b^{13} \cdot b^{12} : b^3 = b^{13+12} : b^3 = b^{25} : b^3 = b^{25-3} = b^{22}$.

2. Упростим знаменатель:
$b^{20} \cdot b^4 : b^3 = b^{20+4} : b^3 = b^{24} : b^3 = b^{24-3} = b^{21}$.

3. Выполним деление полученных выражений:
$\frac{b^{22}}{b^{21}} = b^{22-21} = b^1 = b$.

Ответ: $b$.

г) $ \frac{m^{79} \cdot m^4}{m^{99}} \cdot \frac{m^{63} \cdot m^{57}}{m^{96}} $

Для упрощения этого выражения можно сначала перемножить дроби, а затем упростить полученную большую дробь.

1. Перемножим числители и знаменатели дробей:
$\frac{m^{79} \cdot m^4 \cdot m^{63} \cdot m^{57}}{m^{99} \cdot m^{96}}$

2. Упростим числитель, сложив показатели степеней:
$m^{79+4+63+57} = m^{83+120} = m^{203}$.

3. Упростим знаменатель, сложив показатели степеней:
$m^{99+96} = m^{195}$.

4. Выполним деление, вычитая из показателя числителя показатель знаменателя:
$\frac{m^{203}}{m^{195}} = m^{203-195} = m^8$.

Ответ: $m^8$.

20.37 Известно, что $x^2 = y$. Чему равно:

а) $x^6$;

б) $x^{12}$;

в) $x^{20}$;

г) $x^{40}$?

Для решения этой задачи мы воспользуемся основным свойством степеней: при возведении степени в степень их показатели перемножаются, то есть $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Нам дано, что $x^2 = y$. Мы будем представлять каждую требуемую степень $x$ как степень от $x^2$, чтобы затем выполнить замену.

а) Нам нужно выразить $x^6$ через $y$. Представим показатель степени 6 как произведение $2 \cdot 3$.
Используя свойство степеней, получаем: $x^6 = x^{2 \cdot 3} = (x^2)^3$.
Теперь, зная, что $x^2 = y$, подставим $y$ в полученное выражение:
$(x^2)^3 = y^3$.
Ответ: $y^3$.

б) Нам нужно выразить $x^{12}$ через $y$. Представим показатель степени 12 как произведение $2 \cdot 6$.
Используя свойство степеней, получаем: $x^{12} = x^{2 \cdot 6} = (x^2)^6$.
Подставим $y$ вместо $x^2$:
$(x^2)^6 = y^6$.
Ответ: $y^6$.

в) Нам нужно выразить $x^{20}$ через $y$. Представим показатель степени 20 как произведение $2 \cdot 10$.
Используя свойство степеней, получаем: $x^{20} = x^{2 \cdot 10} = (x^2)^{10}$.
Подставим $y$ вместо $x^2$:
$(x^2)^{10} = y^{10}$.
Ответ: $y^{10}$.

г) Нам нужно выразить $x^{40}$ через $y$. Представим показатель степени 40 как произведение $2 \cdot 20$.
Используя свойство степеней, получаем: $x^{40} = x^{2 \cdot 20} = (x^2)^{20}$.
Подставим $y$ вместо $x^2$:
$(x^2)^{20} = y^{20}$.
Ответ: $y^{20}$.

Упростите выражение:

20.38 a) $ (x^5)^4 \cdot (x^6)^7; $

б) $ (y^8)^2 \cdot (y^{12})^3; $

в) $ (z^{13})^3 \cdot (z^5)^9; $

г) $ (t^{25})^2 \cdot (t^{10})^4. $

а) Для упрощения выражения $(x^5)^4 \cdot (x^6)^7$ воспользуемся свойствами степеней.

Сначала применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к каждому множителю:

$(x^5)^4 = x^{5 \cdot 4} = x^{20}$

$(x^6)^7 = x^{6 \cdot 7} = x^{42}$

Теперь выражение имеет вид $x^{20} \cdot x^{42}$.

Далее применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^{20} \cdot x^{42} = x^{20+42} = x^{62}$

Ответ: $x^{62}$.

б) Упростим выражение $(y^8)^2 \cdot (y^{12})^3$.

Используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(y^8)^2 = y^{8 \cdot 2} = y^{16}$

$(y^{12})^3 = y^{12 \cdot 3} = y^{36}$

Теперь умножим полученные степени, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$y^{16} \cdot y^{36} = y^{16+36} = y^{52}$

Ответ: $y^{52}$.

в) Упростим выражение $(z^{13})^3 \cdot (z^5)^9$.

Возводим каждую степень в степень, перемножая показатели $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(z^{13})^3 = z^{13 \cdot 3} = z^{39}$

$(z^5)^9 = z^{5 \cdot 9} = z^{45}$

Перемножаем результаты, складывая показатели степеней по правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$z^{39} \cdot z^{45} = z^{39+45} = z^{84}$

Ответ: $z^{84}$.

г) Упростим выражение $(t^{25})^2 \cdot (t^{10})^4$.

Упростим каждый множитель по правилу возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(t^{25})^2 = t^{25 \cdot 2} = t^{50}$

$(t^{10})^4 = t^{10 \cdot 4} = t^{40}$

Теперь умножим степени, сложив их показатели по правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$t^{50} \cdot t^{40} = t^{50+40} = t^{90}$

Ответ: $t^{90}$.

20.39 а) $ (z^5)^6 : z^7; $

б) $ (p^3)^4 : p^{10}; $

В) $ (u^{14})^3 : u^{20}; $

Г) $ (q^8)^9 : q^{70}. $

а) Чтобы упростить выражение $(z^5)^6 : z^7$, мы воспользуемся двумя основными свойствами степеней.
Первое свойство — возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применим его к первой части выражения:
$(z^5)^6 = z^{5 \cdot 6} = z^{30}$.
Теперь исходное выражение выглядит так: $z^{30} : z^7$.
Второе свойство — деление степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. Применим его:
$z^{30} : z^7 = z^{30-7} = z^{23}$.
Ответ: $z^{23}$.

б) Упростим выражение $(p^3)^4 : p^{10}$.
Сначала применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к выражению $(p^3)^4$:
$(p^3)^4 = p^{3 \cdot 4} = p^{12}$.
Теперь выполним деление, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$p^{12} : p^{10} = p^{12-10} = p^2$.
Ответ: $p^2$.

в) Упростим выражение $(u^{14})^3 : u^{20}$.
Используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(u^{14})^3 = u^{14 \cdot 3} = u^{42}$.
Далее используем правило деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$u^{42} : u^{20} = u^{42-20} = u^{22}$.
Ответ: $u^{22}$.

г) Упростим выражение $(q^8)^9 : q^{70}$.
Применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(q^8)^9 = q^{8 \cdot 9} = q^{72}$.
Затем применим правило деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$q^{72} : q^{70} = q^{72-70} = q^2$.
Ответ: $q^2$.

20.40 a) $\frac{(x^3)^4 \cdot x^7}{x^{15}}$

б) $\frac{(y^5)^7 \cdot (y^2)^4}{(y^3)^{14}}$

В) $\frac{(c^3)^5 \cdot c^5}{(c^6)^3}$

Г) $\frac{(d^2)^3 \cdot d^{15}}{(d^4)^3}$

а) Для упрощения данного выражения $\frac{(x^3)^4 \cdot x^7}{x^{15}}$ необходимо использовать свойства степеней.

1. Сначала упростим числитель. Применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к выражению $(x^3)^4$:

$(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$

2. Теперь числитель выглядит как $x^{12} \cdot x^7$. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^{12} \cdot x^7 = x^{12+7} = x^{19}$

3. Вся дробь теперь имеет вид $\frac{x^{19}}{x^{15}}$. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{x^{19}}{x^{15}} = x^{19-15} = x^4$

Ответ: $x^4$.

б) Упростим выражение $\frac{(y^5)^7 \cdot (y^2)^4}{(y^3)^{14}}$, используя свойства степеней.

1. Упростим числитель. Используем правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для каждого множителя:

$(y^5)^7 = y^{5 \cdot 7} = y^{35}$

$(y^2)^4 = y^{2 \cdot 4} = y^8$

Теперь перемножим полученные результаты в числителе по правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$y^{35} \cdot y^8 = y^{35+8} = y^{43}$

2. Упростим знаменатель по правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(y^3)^{14} = y^{3 \cdot 14} = y^{42}$

3. Выполним деление, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{y^{43}}{y^{42}} = y^{43-42} = y^1 = y$

Ответ: $y$.

в) Упростим выражение $\frac{(c^3)^5 \cdot c^5}{(c^6)^3}$.

1. Упростим числитель. Сначала возводим степень в степень: $(c^3)^5 = c^{3 \cdot 5} = c^{15}$.

Затем умножаем степени с одинаковым основанием: $c^{15} \cdot c^5 = c^{15+5} = c^{20}$.

2. Упростим знаменатель: $(c^6)^3 = c^{6 \cdot 3} = c^{18}$.

3. Разделим числитель на знаменатель: $\frac{c^{20}}{c^{18}} = c^{20-18} = c^2$.

Ответ: $c^2$.

г) Упростим выражение $\frac{(d^2)^3 \cdot d^{15}}{(d^4)^3}$.

1. Упростим числитель. Возведем степень в степень: $(d^2)^3 = d^{2 \cdot 3} = d^6$.

Затем умножим степени с одинаковым основанием: $d^6 \cdot d^{15} = d^{6+15} = d^{21}$.

2. Упростим знаменатель, возведя степень в степень: $(d^4)^3 = d^{4 \cdot 3} = d^{12}$.

3. Выполним деление полученных выражений: $\frac{d^{21}}{d^{12}} = d^{21-12} = d^9$.

Ответ: $d^9$.

20.41 Возведите в степень:

а) $(x^3)^n$;

б) $(-a^4)^{2n}$;

в) $(y^n)^5$;

г) $(-b^3)^{6n}$.

а) Чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить без изменений, а показатели степеней перемножить. Это свойство описывается формулой $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$.

Применяя это правило к выражению $(x^3)^n$, мы перемножаем показатели $3$ и $n$:

$(x^3)^n = x^{3 \cdot n} = x^{3n}$.

Ответ: $x^{3n}$

б) В выражении $(-a^4)^{2n}$ мы возводим в степень отрицательное основание. Выражение можно представить как $ ((-1) \cdot a^4)^{2n} $. Используя свойство степени произведения $(ab)^k = a^k b^k$, получаем:

$(-a^4)^{2n} = (-1)^{2n} \cdot (a^4)^{2n}$.

Показатель степени $2n$ (где $n$ — целое число) всегда является четным числом. При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным. В частности, $(-1)$ в любой четной степени равно $1$. Таким образом, $(-1)^{2n} = 1$.

Теперь упростим вторую часть выражения, используя правило возведения степени в степень:

$(a^4)^{2n} = a^{4 \cdot 2n} = a^{8n}$.

Следовательно, итоговое выражение равно:

$1 \cdot a^{8n} = a^{8n}$.

Ответ: $a^{8n}$

в) Для выражения $(y^n)^5$ мы снова используем правило возведения степени в степень: $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$.

Основание $y$ остается прежним, а показатели $n$ и $5$ перемножаются:

$(y^n)^5 = y^{n \cdot 5} = y^{5n}$.

Ответ: $y^{5n}$

г) Выражение $(-b^3)^{6n}$ аналогично примеру б). Здесь также отрицательное основание возводится в степень.

$(-b^3)^{6n} = ((-1) \cdot b^3)^{6n} = (-1)^{6n} \cdot (b^3)^{6n}$.

Показатель $6n$ для любого целого $n$ является четным числом (так как делится на 2). Поэтому $(-1)$, возведенное в степень $6n$, равно $1$.

$(-1)^{6n} = 1$.

Для второй части $(b^3)^{6n}$ применим правило возведения степени в степень:

$(b^3)^{6n} = b^{3 \cdot 6n} = b^{18n}$.

Таким образом, окончательный результат:

$1 \cdot b^{18n} = b^{18n}$.

Ответ: $b^{18n}$

20.42 Решите уравнение:

а) $ \frac{(x^8)^4 \cdot (x^5)^9}{(x^{15})^4 \cdot (x^4)^4} = 5; $

б) $ \frac{x^{17} \cdot x^{23}}{(x^8)^3 \cdot x^5 \cdot (x^2)^3} = -243; $

в) $ \frac{(x^{45})^2 : (x^{40})^2}{(x^5)^4 : x^{17}} = -1; $

г) $ \frac{(x^5)^2 \cdot (x^4)^7 \cdot x}{x^{130} : (x^{25})^4} = 512. $

а) $\frac{(x^8)^4 \cdot (x^5)^9}{(x^{15})^4 \cdot (x^4)^4} = 5$

Для решения данного уравнения воспользуемся свойствами степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

1. Упростим числитель дроби:

$(x^8)^4 \cdot (x^5)^9 = x^{8 \cdot 4} \cdot x^{5 \cdot 9} = x^{32} \cdot x^{45} = x^{32+45} = x^{77}$.

2. Упростим знаменатель дроби:

$(x^{15})^4 \cdot (x^4)^4 = x^{15 \cdot 4} \cdot x^{4 \cdot 4} = x^{60} \cdot x^{16} = x^{60+16} = x^{76}$.

3. Подставим упрощенные выражения обратно в уравнение:

$\frac{x^{77}}{x^{76}} = 5$.

4. Упростим левую часть уравнения:

$x^{77-76} = 5$,

$x^1 = 5$,

$x = 5$.

Ответ: $x = 5$.

б) $\frac{x^{17} \cdot x^{23}}{(x^8)^3 \cdot x^5 \cdot (x^2)^3} = -243$

Применим те же свойства степеней, что и в предыдущем задании.

1. Упростим числитель:

$x^{17} \cdot x^{23} = x^{17+23} = x^{40}$.

2. Упростим знаменатель:

$(x^8)^3 \cdot x^5 \cdot (x^2)^3 = x^{8 \cdot 3} \cdot x^5 \cdot x^{2 \cdot 3} = x^{24} \cdot x^5 \cdot x^6 = x^{24+5+6} = x^{35}$.

3. Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$\frac{x^{40}}{x^{35}} = -243$.

4. Упростим левую часть:

$x^{40-35} = -243$,

$x^5 = -243$.

5. Найдем корень уравнения. Нам нужно найти число, которое при возведении в пятую степень дает -243. Поскольку степень нечетная, корень существует и он один. Заметим, что $3^5 = 243$. Следовательно, $(-3)^5 = -243$.

$x = -3$.

Ответ: $x = -3$.

в) $\frac{(x^{45})^2 : (x^{40})^2}{(x^5)^4 : x^{17}} = -1$

Знак деления ":" эквивалентен дробной черте. Будем использовать свойства степеней, включая $a^m : a^n = a^{m-n}$.

1. Упростим числитель:

$(x^{45})^2 : (x^{40})^2 = x^{45 \cdot 2} : x^{40 \cdot 2} = x^{90} : x^{80} = x^{90-80} = x^{10}$.

2. Упростим знаменатель:

$(x^5)^4 : x^{17} = x^{5 \cdot 4} : x^{17} = x^{20} : x^{17} = x^{20-17} = x^3$.

3. Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$\frac{x^{10}}{x^3} = -1$.

4. Упростим левую часть:

$x^{10-3} = -1$,

$x^7 = -1$.

5. Решим полученное уравнение. Единственное действительное число, которое в нечетной степени (в данном случае 7) равно -1, это -1.

$x = -1$.

Ответ: $x = -1$.

г) $\frac{(x^5)^2 \cdot (x^4)^7 \cdot x}{x^{130} : (x^{25})^4} = 512$

Применим свойства степеней для упрощения выражения.

1. Упростим числитель. Учтем, что $x = x^1$.

$(x^5)^2 \cdot (x^4)^7 \cdot x = x^{5 \cdot 2} \cdot x^{4 \cdot 7} \cdot x^1 = x^{10} \cdot x^{28} \cdot x^1 = x^{10+28+1} = x^{39}$.

2. Упростим знаменатель:

$x^{130} : (x^{25})^4 = x^{130} : x^{25 \cdot 4} = x^{130} : x^{100} = x^{130-100} = x^{30}$.

3. Подставим упрощенные части в исходное уравнение:

$\frac{x^{39}}{x^{30}} = 512$.

4. Упростим левую часть:

$x^{39-30} = 512$,

$x^9 = 512$.

5. Найдем корень уравнения. Нам нужно найти число, которое при возведении в девятую степень дает 512. Известно, что $2^9 = 512$.

$x = 2$.

Ответ: $x = 2$.