Страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

22.4 а) $-2^3$ и $-2^0$;

б) $\left(\frac{3}{4}\right)^0$ и $-\left(\frac{3}{4}\right)^2$;

в) $-\left(\frac{1}{2}\right)^2$ и $(-2)^0$;

г) $-5^5$ и $-5^0$.

а) Вычислим значения выражений $-2^3$ и $-2^0$.

Первое выражение: $-2^3$. Согласно порядку действий, сначала выполняется возведение в степень, а затем унарный минус (отрицание).
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
Следовательно, $-2^3 = -(2^3) = -8$.

Второе выражение: $-2^0$. Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1. Сначала возводим в степень.
$2^0 = 1$.
Следовательно, $-2^0 = -(2^0) = -1$.
Ответ: $-8$ и $-1$.

б) Вычислим значения выражений $(\frac{3}{4})^0$ и $-(\frac{3}{4})^2$.

Первое выражение: $(\frac{3}{4})^0$. Любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень, равно 1.
$(\frac{3}{4})^0 = 1$.

Второе выражение: $-(\frac{3}{4})^2$. Сначала возводим дробь в квадрат.
$(\frac{3}{4})^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$.
Затем применяем знак минус.
$-(\frac{3}{4})^2 = -\frac{9}{16}$.
Ответ: $1$ и $-\frac{9}{16}$.

в) Вычислим значения выражений $-(\frac{1}{2})^2$ и $(-2)^0$.

Первое выражение: $-(\frac{1}{2})^2$. Сначала возводим дробь в квадрат.
$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Затем применяем знак минус.
$-(\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{4}$.

Второе выражение: $(-2)^0$. В этом случае в нулевую степень возводится число $-2$. Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1.
$(-2)^0 = 1$.
Ответ: $-\frac{1}{4}$ и $1$.

г) Вычислим значения выражений $-5^5$ и $-5^0$.

Первое выражение: $-5^5$. Сначала возводим число 5 в пятую степень.
$5^5 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 3125$.
Затем применяем знак минус.
$-5^5 = -(5^5) = -3125$.

Второе выражение: $-5^0$. Сначала возводим 5 в нулевую степень.
$5^0 = 1$.
Затем применяем знак минус.
$-5^0 = -(5^0) = -1$.
Ответ: $-3125$ и $-1$.

22.5 Вычислите:

а) $3^5 + 4^4 + 8^0;$

б) $\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{7}{8}\right)^0;$

в) $3^0 \cdot 2^5 - 15^2;$

г) $(1,5)^3 + 4^4 + 15^0.$

а) $3^5 + 4^4 + 8^0$

Для решения этого примера необходимо вычислить значение каждого слагаемого и затем сложить их.
1. Вычисляем $3^5$: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.
2. Вычисляем $4^4$: $4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 256$.
3. Вычисляем $8^0$. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1. $8^0 = 1$.
4. Складываем полученные результаты: $243 + 256 + 1 = 499 + 1 = 500$.

Ответ: $500$

б) $(\frac{2}{3})^2 + (\frac{1}{2})^3 \cdot (\frac{7}{8})^0$

Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняем возведение в степень, затем умножение и в последнюю очередь сложение.
1. Возводим в степень: $(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$.
$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$.
$(\frac{7}{8})^0 = 1$.
2. Подставляем полученные значения в выражение: $\frac{4}{9} + \frac{1}{8} \cdot 1 = \frac{4}{9} + \frac{1}{8}$.
3. Приводим дроби к общему знаменателю, который равен $9 \cdot 8 = 72$: $\frac{4 \cdot 8}{9 \cdot 8} + \frac{1 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{32}{72} + \frac{9}{72} = \frac{32+9}{72} = \frac{41}{72}$.

Ответ: $\frac{41}{72}$

в) $3^0 \cdot 2^5 - 15^2$

Порядок действий: сначала возведение в степень, затем умножение, и в конце вычитание.
1. Вычисляем значения степеней: $3^0 = 1$.
$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
$15^2 = 15 \cdot 15 = 225$.
2. Выполняем умножение: $1 \cdot 32 = 32$.
3. Выполняем вычитание: $32 - 225 = -193$.

Ответ: $-193$

г) $(1,5)^3 + 4^4 + 15^0$

Решаем по аналогии с пунктом а), вычисляя каждое слагаемое.
1. Вычисляем $(1,5)^3$: $(1,5)^3 = 1,5 \cdot 1,5 \cdot 1,5 = 2,25 \cdot 1,5 = 3,375$.
2. Вычисляем $4^4$: $4^4 = 256$.
3. Вычисляем $15^0$: $15^0 = 1$.
4. Складываем полученные значения: $3,375 + 256 + 1 = 259 + 3,375 = 262,375$.

Ответ: $262,375$

22.6 Выполните действия:

а) $a^{12} \cdot a^5 : a^{17}$;

б) $c^9 : (c^5 \cdot c^4)$;

в) $b^{13} : b^5 : b^8$;

г) $d^{15} \cdot d^4 : d^{19}$.

Для решения данных задач необходимо использовать свойства степеней с одинаковым основанием:

• При умножении степеней их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
• При делении степеней их показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
• Любое число (кроме 0) в нулевой степени равно 1: $a^0 = 1$.

Действия выполняются слева направо, если нет скобок. Если есть скобки, то сначала выполняются действия в них.

а) $a^{12} \cdot a^5 : a^{17}$

Выполним действия последовательно слева направо.

1. Сначала выполним умножение. Сложим показатели степеней:
$a^{12} \cdot a^5 = a^{12+5} = a^{17}$

2. Теперь выполним деление. Вычтем показатели степеней:
$a^{17} : a^{17} = a^{17-17} = a^0$

3. Упростим полученное выражение:
$a^0 = 1$ (при условии, что $a \ne 0$)

Ответ: $1$

б) $c^9 : (c^5 \cdot c^4)$

Согласно порядку действий, сначала выполним операцию в скобках.

1. Выполним умножение в скобках, сложив показатели степеней:
$c^5 \cdot c^4 = c^{5+4} = c^9$

2. Теперь выполним деление:
$c^9 : c^9 = c^{9-9} = c^0$

3. Упростим результат:
$c^0 = 1$ (при условии, что $c \ne 0$)

Ответ: $1$

в) $b^{13} : b^5 : b^8$

Выполним действия последовательно слева направо.

1. Первое деление. Вычтем показатели степеней:
$b^{13} : b^5 = b^{13-5} = b^8$

2. Второе деление:
$b^8 : b^8 = b^{8-8} = b^0$

3. Упростим результат:
$b^0 = 1$ (при условии, что $b \ne 0$)

Ответ: $1$

г) $d^{15} \cdot d^4 : d^{19}$

Выполним действия последовательно слева направо.

1. Сначала выполним умножение, сложив показатели:
$d^{15} \cdot d^4 = d^{15+4} = d^{19}$

2. Теперь выполним деление, вычтя показатели:
$d^{19} : d^{19} = d^{19-19} = d^0$

3. Упростим результат:
$d^0 = 1$ (при условии, что $d \ne 0$)

Ответ: $1$

22.7 Упростите выражение:

a) $\frac{a^2 \cdot a^5 : a^6}{a^7 \cdot a^8 : a^{14}}$

б) $\frac{b^{12}b^{11} : (b^3)^5}{(b^5)^4 b^4 : (b^3)^8}$

В) $\frac{a^7 \cdot a^9 : a^4}{a^{16} : a^6 \cdot a^2}$

Г) $\frac{(b^4)^3 (b^3)^3 : b^{19}}{b^{19}b : (b^4)^5}$

а) $ \frac{a^2 \cdot a^5 : a^6}{a^7 \cdot a^8 : a^{14}} $

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойствами степеней. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$). Операции умножения и деления выполняются последовательно слева направо.

Сначала упростим числитель дроби:

$ a^2 \cdot a^5 : a^6 = a^{2+5} : a^6 = a^7 : a^6 = a^{7-6} = a^1 = a $.

Теперь упростим знаменатель дроби:

$ a^7 \cdot a^8 : a^{14} = a^{7+8} : a^{14} = a^{15} : a^{14} = a^{15-14} = a^1 = a $.

Подставим полученные значения в исходную дробь:

$ \frac{a}{a} = 1 $.

Ответ: $1$

б) $ \frac{b^{12}b^{11} : (b^3)^5}{(b^5)^4 b^4 : (b^3)^8} $

Для упрощения этого выражения будем использовать те же свойства степеней, что и в предыдущем пункте, а также свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Упростим числитель. Сначала раскроем скобки:

$ b^{12} \cdot b^{11} : (b^3)^5 = b^{12} \cdot b^{11} : b^{3 \cdot 5} = b^{12} \cdot b^{11} : b^{15} $.

Далее выполним умножение и деление:

$ b^{12+11} : b^{15} = b^{23} : b^{15} = b^{23-15} = b^8 $.

Теперь упростим знаменатель. Раскроем скобки:

$ (b^5)^4 \cdot b^4 : (b^3)^8 = b^{5 \cdot 4} \cdot b^4 : b^{3 \cdot 8} = b^{20} \cdot b^4 : b^{24} $.

Выполним умножение и деление:

$ b^{20+4} : b^{24} = b^{24} : b^{24} = b^{24-24} = b^0 = 1 $ (при условии, что $b \ne 0$).

Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:

$ \frac{b^8}{1} = b^8 $.

Ответ: $b^8$

в) $ \frac{a^7 \cdot a^9 : a^4}{a^{16} : a^6 \cdot a^2} $

Упростим числитель, выполняя действия слева направо:

$ a^7 \cdot a^9 : a^4 = a^{7+9} : a^4 = a^{16} : a^4 = a^{16-4} = a^{12} $.

Упростим знаменатель, также выполняя действия слева направо:

$ a^{16} : a^6 \cdot a^2 = a^{16-6} \cdot a^2 = a^{10} \cdot a^2 = a^{10+2} = a^{12} $.

Разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$ \frac{a^{12}}{a^{12}} = 1 $.

Ответ: $1$

г) $ \frac{(b^4)^3 (b^3)^3 : b^{19}}{b^{19} b : (b^4)^5} $

Вспомним, что $b = b^1$. Используем свойства степеней.

Упростим числитель. Сначала возведение в степень:

$ (b^4)^3 \cdot (b^3)^3 : b^{19} = b^{4 \cdot 3} \cdot b^{3 \cdot 3} : b^{19} = b^{12} \cdot b^9 : b^{19} $.

Затем умножение и деление:

$ b^{12+9} : b^{19} = b^{21} : b^{19} = b^{21-19} = b^2 $.

Теперь упростим знаменатель. Сначала возведение в степень:

$ b^{19} \cdot b : (b^4)^5 = b^{19} \cdot b^1 : b^{4 \cdot 5} = b^{19} \cdot b^1 : b^{20} $.

Затем умножение и деление:

$ b^{19+1} : b^{20} = b^{20} : b^{20} = b^{20-20} = b^0 = 1 $ (при $b \ne 0$).

Подставим полученные выражения в дробь:

$ \frac{b^2}{1} = b^2 $.

Ответ: $b^2$

22.8 Упростите выражение:

а) $(a - b)^{10} \cdot (a - b) : (a - b)^{11};$

б) $(\frac{p}{2})^5 \cdot (\frac{p}{2})^3 : (\frac{p}{2});$

в) $(k + l)^4 : (k + l)^3 \cdot (k + l)^2 : (k + l)^3;$

г) $(-pq)^{14} : (-pq)^{13} : (-pq)^{27}.$

а) Для упрощения выражения $(a - b)^{10} \cdot (a - b) : (a - b)^{11}$ используются свойства степеней с одинаковым основанием. При умножении показатели степеней складываются, а при делении — вычитаются. Выражение $(a - b)$ можно представить как $(a - b)^1$.
Таким образом, получаем:
$(a - b)^{10} \cdot (a - b)^1 : (a - b)^{11} = (a - b)^{10 + 1 - 11} = (a - b)^{11 - 11} = (a - b)^0$
Любое не равное нулю число в нулевой степени равно 1.
Ответ: $1$

б) В выражении $(\frac{p}{2})^5 \cdot (\frac{p}{2})^3 : (\frac{p}{2})$ основание степени $(\frac{p}{2})$ является общим для всех членов. Выражение $(\frac{p}{2})$ эквивалентно $(\frac{p}{2})^1$.
Применяя правила действий со степенями, получаем:
$(\frac{p}{2})^{5 + 3 - 1} = (\frac{p}{2})^7$
Далее, используя свойство возведения дроби в степень $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$, упрощаем результат:
$(\frac{p}{2})^7 = \frac{p^7}{2^7} = \frac{p^7}{128}$
Ответ: $\frac{p^7}{128}$

в) Упростим выражение $(k + l)^4 : (k + l)^3 \cdot (k + l)^2 : (k + l)^3$. Все члены имеют одинаковое основание $(k + l)$.
Выполним последовательно операции с показателями степеней:
$(k + l)^{4 - 3 + 2 - 3} = (k + l)^{1 + 2 - 3} = (k + l)^{3 - 3} = (k + l)^0$
При условии, что $k + l \neq 0$, выражение в нулевой степени равно 1.
Ответ: $1$

г) В выражении $(-pq)^{14} : (-pq)^{13} \cdot (-pq)^{27}$ основание степени $(-pq)$ является общим.
Применим свойства степеней для показателей:
$(-pq)^{14 - 13 + 27} = (-pq)^{1 + 27} = (-pq)^{28}$
Поскольку показатель степени 28 является четным числом, отрицательное основание, возведенное в четную степень, становится положительным.
$(-pq)^{28} = (pq)^{28}$
Ответ: $(pq)^{28}$

Вычислите:

22.9 а) $ \left(\frac{5}{2}\right)^2 : \left(-\frac{25}{4}\right) \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^0; $

б) $ \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) : \left(\frac{1}{3}\right)^5; $

в) $ 1.5^4 : (-1.5)^3 \cdot (-1.5)^0 : 1.5; $

г) $ \frac{8}{27} : \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{16}{81}\right)^0. $

а) $ \left(\frac{5}{2}\right)^2 : \left(-\frac{25}{4}\right) \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^0 $
Сначала вычислим значения выражений со степенями.
Возводим дробь в квадрат:
$ \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{5^2}{2^2} = \frac{25}{4} $
Любое число, отличное от нуля, в нулевой степени равно единице:
$ \left(\frac{5}{2}\right)^0 = 1 $
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$ \frac{25}{4} : \left(-\frac{25}{4}\right) \cdot 1 $
При делении числа на само себя с противоположным знаком получается -1.
$ \frac{25}{4} : \left(-\frac{25}{4}\right) = -1 $
Остается умножить на 1:
$ -1 \cdot 1 = -1 $
Ответ: -1

б) $ \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) : \left(\frac{1}{3}\right)^5 $
Для удобства вычислений представим все числа в виде степеней с основанием $ \frac{1}{3} $.
$ -\frac{1}{9} = -\frac{1}{3^2} = -\left(\frac{1}{3}\right)^2 $
Подставим это в выражение:
$ \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(-\left(\frac{1}{3}\right)^2\right) : \left(\frac{1}{3}\right)^5 $
Используем свойства степеней: при умножении показатели складываются ($ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $), а при делении — вычитаются ($ a^m : a^n = a^{m-n} $). Знак минус сохраняется.
$ - \left( \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 : \left(\frac{1}{3}\right)^5 \right) = - \left( \left(\frac{1}{3}\right)^{3+2} : \left(\frac{1}{3}\right)^5 \right) = - \left( \left(\frac{1}{3}\right)^5 : \left(\frac{1}{3}\right)^5 \right) $
$ - \left( \left(\frac{1}{3}\right)^{5-5} \right) = - \left( \left(\frac{1}{3}\right)^0 \right) $
Так как любое ненулевое число в степени 0 равно 1, получаем:
$ -1 $
Ответ: -1

в) $ 1,5^4 : (-1,5)^3 \cdot (-1,5)^0 : 1,5 $
Упростим выражение, используя свойства степеней и выполняя действия по порядку.
Так как степень 3 нечетная, минус можно вынести: $ (-1,5)^3 = -(1,5)^3 $.
Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1: $ (-1,5)^0 = 1 $.
Число 1,5 можно представить как $ 1,5^1 $.
Выражение принимает вид:
$ 1,5^4 : (-(1,5)^3) \cdot 1 : 1,5^1 $
Выполним первое деление:
$ 1,5^4 : (-(1,5)^3) = -(1,5^{4-3}) = -1,5^1 = -1,5 $
Теперь выражение выглядит так:
$ -1,5 \cdot 1 : 1,5 $
Выполним умножение:
$ -1,5 \cdot 1 = -1,5 $
И, наконец, последнее деление:
$ -1,5 : 1,5 = -1 $
Ответ: -1

г) $ \left(\frac{8}{27}\right) : \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{16}{81}\right)^0 $
Приведем все члены выражения к общему основанию $ \frac{2}{3} $.
$ \frac{8}{27} = \frac{2^3}{3^3} = \left(\frac{2}{3}\right)^3 $
$ \left(\frac{16}{81}\right)^0 = 1 $
Подставим преобразованные значения в исходное выражение:
$ \left(\frac{2}{3}\right)^3 : \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot 1 $
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
$ \left(\frac{2}{3}\right)^{3-2} \cdot 1 = \left(\frac{2}{3}\right)^1 \cdot 1 $
$ \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} $
Ответ: $ \frac{2}{3} $