Страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4

Вариант 1

1 Найдите значение выражения и запишите ответ в виде десятичной дроби:

$\frac{(1\frac{1}{3})^2 \cdot 0.5^3}{(\frac{2}{9})^2}$

1

Для того чтобы найти значение выражения, выполним вычисления по действиям, предварительно преобразовав все компоненты в удобный для расчетов вид (обыкновенные дроби).

Исходное выражение:

$$ \frac{\left(1\frac{1}{3}\right)^2 \cdot 0,5^3}{\left(\frac{2}{9}\right)^2} $$

1. Преобразуем смешанное число и десятичную дробь в неправильные обыкновенные дроби:

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

$0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

2. Подставим полученные дроби обратно в выражение:

$$ \frac{\left(\frac{4}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3}{\left(\frac{2}{9}\right)^2} $$

3. Вычислим значения степеней в числителе и знаменателе:

$\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}$

$\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$

$\left(\frac{2}{9}\right)^2 = \frac{2^2}{9^2} = \frac{4}{81}$

4. Теперь выражение выглядит так:

$$ \frac{\frac{16}{9} \cdot \frac{1}{8}}{\frac{4}{81}} $$

5. Выполним умножение в числителе. Сократим 16 и 8 на 8:

$\frac{16}{9} \cdot \frac{1}{8} = \frac{16 \cdot 1}{9 \cdot 8} = \frac{2 \cdot 8 \cdot 1}{9 \cdot 8} = \frac{2}{9}$

6. Заменим числитель на полученное значение. Теперь нужно разделить дроби:

$$ \frac{\frac{2}{9}}{\frac{4}{81}} $$

7. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{2}{9} \div \frac{4}{81} = \frac{2}{9} \cdot \frac{81}{4}$

8. Выполним умножение, предварительно сократив дроби:

$\frac{2}{9} \cdot \frac{81}{4} = \frac{2 \cdot 81}{9 \cdot 4} = \frac{1 \cdot 9}{1 \cdot 2} = \frac{9}{2}$

9. Преобразуем полученную обыкновенную дробь в десятичную, как требуется в условии задачи:

$\frac{9}{2} = 4,5$

Ответ: 4,5

2. Вычислите: $\frac{\left(-1\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(2\frac{2}{3}\right)^2}{\left(-1\frac{1}{7}\right)^2}$.

Для вычисления значения данного выражения выполним действия по шагам.

1. Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби.

Сначала переведем каждое смешанное число в неправильную дробь для удобства вычислений.

$ -1\frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{3}{2} $

$ 2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3} $

$ -1\frac{1}{7} = -\frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = -\frac{8}{7} $

2. Подстановка и возведение в степень.

Подставим полученные дроби в исходное выражение:

$ \frac{\left(-\frac{3}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{8}{3}\right)^2}{\left(-\frac{8}{7}\right)^2} $

Теперь возведем дроби в степень. Помним, что отрицательное число в нечетной степени остается отрицательным, а в четной — становится положительным.

$ \left(-\frac{3}{2}\right)^3 = -\frac{3^3}{2^3} = -\frac{27}{8} $

$ \left(\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{8^2}{3^2} = \frac{64}{9} $

$ \left(-\frac{8}{7}\right)^2 = \frac{(-8)^2}{7^2} = \frac{64}{49} $

3. Упрощение выражения.

Подставим вычисленные значения обратно в выражение:

$ \frac{-\frac{27}{8} \cdot \frac{64}{9}}{\frac{64}{49}} $

Сначала вычислим числитель, сократив дроби:

$ -\frac{27}{8} \cdot \frac{64}{9} = -\frac{27 \cdot 64}{8 \cdot 9} $

Сокращаем $27$ и $9$ на $9$ (получаем $3$ и $1$). Сокращаем $64$ и $8$ на $8$ (получаем $8$ и $1$).

$ -\frac{3 \cdot 8}{1 \cdot 1} = -24 $

Теперь разделим полученный числитель на знаменатель. Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь:

$ \frac{-24}{\frac{64}{49}} = -24 \div \frac{64}{49} = -24 \cdot \frac{49}{64} $

Снова сократим, на этот раз $24$ и $64$ на их наибольший общий делитель $8$:

$ -\frac{24 \cdot 49}{64} = -\frac{3 \cdot 49}{8} = -\frac{147}{8} $

4. Преобразование результата в смешанное число.

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$ -\frac{147}{8} = -18\frac{3}{8} $

Ответ: $ -18\frac{3}{8} $

3 Представьте число 8000 в виде произведения степеней простых чисел.

3

Чтобы представить число 8000 в виде произведения степеней простых чисел, необходимо разложить его на простые множители. Простые числа — это числа, которые делятся только на 1 и на самих себя (например, 2, 3, 5, 7, 11 и т.д.).

Проще всего начать с представления числа 8000 в виде произведения более удобных для разложения чисел:

$8000 = 8 \times 1000$

Теперь разложим на простые множители каждое из чисел по отдельности.

Разложение числа 8:

$8 = 2 \times 4 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$

Разложение числа 1000:

$1000 = 10 \times 10 \times 10$

Поскольку $10 = 2 \times 5$, то:

$1000 = (2 \times 5) \times (2 \times 5) \times (2 \times 5) = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 = 2^3 \times 5^3$

Теперь подставим полученные разложения обратно в исходное выражение:

$8000 = 8 \times 1000 = (2^3) \times (2^3 \times 5^3)$

Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), объединим степени с основанием 2:

$2^3 \times 2^3 \times 5^3 = 2^{3+3} \times 5^3 = 2^6 \times 5^3$

Таким образом, мы представили число 8000 в виде произведения степеней простых чисел 2 и 5.

Ответ: $2^6 \times 5^3$

4 Расположите числа в порядке возрастания: $(-1.5)^3$; $(-0.5)^2$; $-\left(\frac{2}{3}\right)^2$; $1.2^3$.

Для того чтобы расположить числа в порядке возрастания, необходимо вычислить значение каждого выражения.

1. Вычислим значение $(-1,5)^3$

Возведение отрицательного числа в нечетную степень (3) дает в результате отрицательное число.

$(-1,5)^3 = (-1,5) \cdot (-1,5) \cdot (-1,5) = 2,25 \cdot (-1,5) = -3,375$

2. Вычислим значение $(-0,5)^2$

Возведение отрицательного числа в четную степень (2) дает в результате положительное число.

$(-0,5)^2 = (-0,5) \cdot (-0,5) = 0,25$

3. Вычислим значение $-(\frac{2}{3})^2$

В данном выражении сначала выполняется возведение в степень, а затем применяется знак "минус".

$-(\frac{2}{3})^2 = -(\frac{2^2}{3^2}) = -\frac{4}{9}$

4. Вычислим значение $1,2^3$

Возведение положительного числа в степень дает положительное число.

$1,2^3 = 1,2 \cdot 1,2 \cdot 1,2 = 1,44 \cdot 1,2 = 1,728$

Теперь у нас есть четыре числа: $-3,375$; $0,25$; $-\frac{4}{9}$; $1,728$.

Чтобы сравнить эти числа, расположим их на числовой прямой. Сначала идут отрицательные числа, затем положительные.

Сравним отрицательные числа: $-3,375$ и $-\frac{4}{9}$. Для сравнения представим $-\frac{4}{9}$ в виде десятичной дроби: $-\frac{4}{9} \approx -0,444...$. Так как $3,375 > 0,444...$, то на числовой прямой $-3,375$ будет левее, чем $-\frac{4}{9}$. Следовательно, $-3,375 < -\frac{4}{9}$.

Сравним положительные числа: $0,25$ и $1,728$. Очевидно, что $0,25 < 1,728$.

Таким образом, располагая числа в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), получаем следующую последовательность:

$-3,375 < -\frac{4}{9} < 0,25 < 1,728$

Теперь заменим полученные значения их исходными выражениями:

$(-1,5)^3 < -(\frac{2}{3})^2 < (-0,5)^2 < 1,2^3$

Ответ: $(-1,5)^3$; $-(\frac{2}{3})^2$; $(-0,5)^2$; $1,2^3$.

5 Представьте $36a^6b^{12}$ в виде степени произведения.

Чтобы представить выражение $36a^6b^{12}$ в виде степени произведения, необходимо найти общий показатель степени для всех множителей, из которых состоит данное выражение, и вынести его за скобки.

Рассмотрим каждый множитель в выражении $36a^6b^{12}$ по отдельности:
1. Числовой коэффициент $36$. Его можно представить как квадрат числа $6$, то есть $36 = 6^2$.
2. Переменная $a$ в степени $6$. Используя свойство степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, можно записать $a^6$ как степень с показателем $2$: $a^6 = a^{3 \cdot 2} = (a^3)^2$.
3. Переменная $b$ в степени $12$. Аналогично, $b^{12}$ можно записать как степень с показателем $2$: $b^{12} = b^{6 \cdot 2} = (b^6)^2$.

Мы видим, что каждый компонент исходного выражения можно представить в виде квадрата (второй степени). Теперь, используя свойство степени произведения $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ в обратном порядке, мы можем объединить эти компоненты под одним показателем степени:
$36a^6b^{12} = 6^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^6)^2 = (6a^3b^6)^2$.

Таким образом, исходное выражение представлено в виде квадрата произведения $6a^3b^6$.
Ответ: $(6a^3b^6)^2$

6 Вычислите наиболее рациональным способом:

$\frac{4^2 \cdot (-12)^3 \cdot 9}{32 \cdot (-3^4)}$

Для наиболее рационального вычисления значения выражения преобразуем его, используя свойства степеней и разложение чисел на простые множители.

Исходное выражение:

$$ \frac{4^2 \cdot (-12)^3 \cdot 9}{32 \cdot (-3^4)} $$

Сначала определим знак всего выражения. В числителе множитель $(-12)^3$ отрицателен, так как возводится в нечетную степень. В знаменателе стоит $-3^4$, что тоже является отрицательным числом. Частное двух отрицательных чисел — число положительное. Таким образом, выражение равносильно следующему:

$$ \frac{4^2 \cdot 12^3 \cdot 9}{32 \cdot 3^4} $$

Теперь представим основания степеней в виде произведений простых чисел:

• $4 = 2^2$
• $12 = 2^2 \cdot 3$
• $9 = 3^2$
• $32 = 2^5$

Подставим полученные разложения в выражение:

$$ \frac{(2^2)^2 \cdot (2^2 \cdot 3)^3 \cdot 3^2}{2^5 \cdot 3^4} $$

Применим свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$ для упрощения числителя:

$$ \frac{2^{4} \cdot (2^2)^3 \cdot 3^3 \cdot 3^2}{2^5 \cdot 3^4} = \frac{2^4 \cdot 2^6 \cdot 3^3 \cdot 3^2}{2^5 \cdot 3^4} $$

Сложим показатели степеней с одинаковыми основаниями в числителе (свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$$ \frac{2^{4+6} \cdot 3^{3+2}}{2^5 \cdot 3^4} = \frac{2^{10} \cdot 3^5}{2^5 \cdot 3^4} $$

Выполним деление, вычитая показатели степеней (свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$$ 2^{10-5} \cdot 3^{5-4} = 2^5 \cdot 3^1 $$

Осталось вычислить конечный результат:

$$ 2^5 \cdot 3 = 32 \cdot 3 = 96 $$

Ответ: $96$

7 Решите уравнение $\frac{x^2 \cdot x^3 \cdot (x^3)^3}{x^5 \cdot (x^2)^4} = 49$.

Для решения данного уравнения необходимо сначала упростить левую часть, используя свойства степеней.

Исходное уравнение:

$$ \frac{x^2 \cdot x^3 \cdot (x^3)^3}{x^5 \cdot (x^2)^4} = 49 $$

1. Упростим числитель дроби. Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$ x^2 \cdot x^3 \cdot (x^3)^3 = x^2 \cdot x^3 \cdot x^{3 \cdot 3} = x^2 \cdot x^3 \cdot x^9 = x^{2+3+9} = x^{14} $$

2. Упростим знаменатель дроби, используя те же свойства:

$$ x^5 \cdot (x^2)^4 = x^5 \cdot x^{2 \cdot 4} = x^5 \cdot x^8 = x^{5+8} = x^{13} $$

3. Подставим упрощенные выражения обратно в уравнение:

$$ \frac{x^{14}}{x^{13}} = 49 $$

4. Упростим полученную дробь, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$$ x^{14-13} = x^1 = x $$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$$ x = 49 $$

Необходимо также учесть область допустимых значений (ОДЗ). В исходном уравнении знаменатель не должен быть равен нулю: $x^5 \cdot (x^2)^4 \neq 0$, что равносильно $x^{13} \neq 0$, откуда $x \neq 0$. Полученный корень $x=49$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $49$.

8 Вместо символа * поставьте степень с основанием а так, чтобы выполнялось равенство

$\frac{a^3 \cdot (-a^2)^4 \cdot *}{a^5} = a^{12}$

Чтобы найти неизвестный член выражения, который нужно поставить вместо символа *, обозначим его за $x$. Тогда исходное равенство можно записать в виде уравнения:

$ \frac{a^3 \cdot (-a^2)^4 \cdot x}{a^5} = a^{12} $

Для решения этого уравнения необходимо последовательно упростить левую часть.

1. Упростим выражение $ (-a^2)^4 $. Поскольку отрицательное основание возводится в четную степень (4), результат будет положительным. Применяя правило возведения степени в степень $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $, получаем:

$ (-a^2)^4 = (a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8 $

2. Подставим полученный результат обратно в уравнение:

$ \frac{a^3 \cdot a^8 \cdot x}{a^5} = a^{12} $

3. Упростим числитель дроби, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $:

$ a^3 \cdot a^8 = a^{3+8} = a^{11} $

Теперь уравнение выглядит так:

$ \frac{a^{11} \cdot x}{a^5} = a^{12} $

4. Сократим дробь, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:

$ \frac{a^{11}}{a^5} = a^{11-5} = a^6 $

Уравнение принимает окончательно упрощенный вид:

$ a^6 \cdot x = a^{12} $

5. Находим неизвестный множитель $x$, разделив обе части уравнения на $a^6$:

$ x = \frac{a^{12}}{a^6} = a^{12-6} = a^6 $

Таким образом, вместо символа * необходимо подставить степень $a^6$.

Для уверенности выполним проверку, подставив $a^6$ в исходное выражение:

$ \frac{a^3 \cdot (-a^2)^4 \cdot a^6}{a^5} = \frac{a^3 \cdot a^8 \cdot a^6}{a^5} = \frac{a^{3+8+6}}{a^5} = \frac{a^{17}}{a^5} = a^{17-5} = a^{12} $

Получаем верное равенство $ a^{12} = a^{12} $.

Ответ: $a^6$

9 При каком значении x верно равенство $3^{3x-4} = 243$?

Для решения показательного уравнения $3^{3x-4} = 243$ необходимо привести обе его части к одному основанию.

Представим число 243 в виде степени с основанием 3. Для этого последовательно будем возводить 3 в степень:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
$3^5 = 243$

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$3^{3x-4} = 3^5$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, то можно приравнять и их показатели:
$3x - 4 = 5$

Теперь решим полученное линейное уравнение:
Перенесем слагаемое -4 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$3x = 5 + 4$
$3x = 9$
Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$:
$x = \frac{9}{3}$
$x = 3$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x=3$ в исходное равенство:
$3^{3 \cdot 3 - 4} = 3^{9 - 4} = 3^5 = 243$
$243 = 243$
Равенство верно.

Ответ: 3

10 Сколько всего значений принимает выражение $2^n \cdot 3^k$ при $n=0, 1, 2, 3$ и $k=0, 1, 2$?

Чтобы найти количество различных значений, которые может принимать выражение $2^n \cdot 3^k$, необходимо определить, сколько уникальных результатов мы можем получить, подставляя все возможные комбинации значений $n$ и $k$.

По условию задачи, переменная $n$ может принимать 4 значения из множества $\{0, 1, 2, 3\}$.

Переменная $k$ может принимать 3 значения из множества $\{0, 1, 2\}$.

Общее количество комбинаций пар $(n, k)$ равно произведению количества возможных значений для каждой переменной:

$4 \text{ (значения для n)} \times 3 \text{ (значения для k)} = 12$

Таким образом, существует 12 пар $(n, k)$, для которых нужно вычислить значение выражения.

Теперь нужно выяснить, будут ли все эти 12 значений уникальными. Рассмотрим, могут ли две разные пары $(n_1, k_1)$ и $(n_2, k_2)$ дать одинаковый результат:

$2^{n_1} \cdot 3^{k_1} = 2^{n_2} \cdot 3^{k_2}$

Согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число больше 1 имеет единственное разложение на простые множители (с точностью до порядка сомножителей). Числа, которые мы получаем, имеют в своем разложении на простые множители только простые числа 2 и 3. Поэтому, чтобы два таких числа были равны, показатели степени у простых множителей 2 и 3 должны быть соответственно равны.

Следовательно, равенство $2^{n_1} \cdot 3^{k_1} = 2^{n_2} \cdot 3^{k_2}$ выполняется тогда и только тогда, когда $n_1 = n_2$ и $k_1 = k_2$.

Это означает, что каждая из 12 уникальных пар $(n, k)$ дает уникальное значение выражения. Следовательно, общее количество различных значений выражения равно общему количеству пар.

Для проверки можно вычислить все значения:

При $n=0$: $2^0 \cdot 3^0 = 1$; $2^0 \cdot 3^1 = 3$; $2^0 \cdot 3^2 = 9$.

При $n=1$: $2^1 \cdot 3^0 = 2$; $2^1 \cdot 3^1 = 6$; $2^1 \cdot 3^2 = 18$.

При $n=2$: $2^2 \cdot 3^0 = 4$; $2^2 \cdot 3^1 = 12$; $2^2 \cdot 3^2 = 36$.

При $n=3$: $2^3 \cdot 3^0 = 8$; $2^3 \cdot 3^1 = 24$; $2^3 \cdot 3^2 = 72$.

Полученные значения: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72$. Все они различны, и их количество равно 12.

Ответ: 12