Страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Какое натуральное число записано в виде $///// ///// //$?

1.

На изображении число записано с помощью унарной системы счисления, часто называемой "счетными палочками". В этой системе количество объектов обозначается соответствующим количеством палочек. Для удобства подсчета больших чисел палочки группируются.

В данном случае мы видим три группы палочек:

Первая группа представляет собой четыре вертикальные палочки, перечеркнутые одной горизонтальной линией. Такая запись традиционно обозначает число 5.

Вторая группа полностью аналогична первой и также соответствует числу 5.

Третья группа состоит из двух вертикальных палочек, что обозначает число 2.

Чтобы найти итоговое натуральное число, необходимо сложить значения всех групп:

$5 + 5 + 2 = 12$

Ответ: 12.

2. Какое натуральное число записано в виде $\cancel{////} \cancel{////} \cancel{////} \cancel{////} ///$?

На изображении используется система счёта при помощи палочек, известная как унарная система счисления. В данном случае палочки сгруппированы для удобства подсчёта. Каждая группа из четырёх вертикальных палочек, перечеркнутых пятой (косой), обозначает число 5.

Проанализируем запись:

Запись состоит из нескольких групп палочек. Мы видим четыре полные группы и одну неполную в конце.

- Четыре полные группы, каждая из которых обозначает 5, в сумме дают: $4 \times 5 = 20$.

- Последняя неполная группа состоит из трех палочек, что обозначает число 3.

Чтобы найти итоговое натуральное число, нужно сложить значения всех групп.

$20 + 3 = 23$

Таким образом, с помощью данных счётных палочек записано число 23.

Ответ: 23

3. Запишите число 9 «в пятках» наклонных палочек.

3. Запись числа «в пятках» — это унарная система счисления, в которой для удобства счёта единицы группируются по пять. Такая система часто используется для подсчета, например, голосов на выборах или количества событий. Стандартное представление группы из пяти единиц — это четыре палочки (вертикальные или, как в данном случае, наклонные), которые перечеркиваются пятой.

Чтобы представить число 9 с помощью этой системы, необходимо разложить его на количество полных групп по пять и остаток.
$9 = 5 + 4$

Это означает, что число 9 состоит из одной полной группы из пяти палочек и еще четырёх отдельных палочек.

Визуально это можно изобразить следующим образом:

//// ////

Ответ: //// ////

4. Запишите число 26 «в пятках» наклонных палочек.

Для того чтобы записать число 26 «в пятках» (то есть группами по 5) наклонных палочек, нужно определить, сколько полных групп по 5 единиц содержится в этом числе и какой будет остаток.

Для этого выполним деление числа 26 на 5 с остатком:

$26 \div 5 = 5$ (остаток $1$)

Математически это можно выразить так:

$26 = 5 \times 5 + 1$

Результат показывает, что число 26 состоит из 5 полных групп по 5 палочек и еще 1 палочки. Традиционно группа из пяти палочек изображается в виде четырех палочек, перечеркнутых пятой.

Таким образом, мы должны нарисовать 5 таких перечеркнутых групп и 1 отдельную палочку.

Ответ: //// //// //// //// //// /

5. Найдите $250\%$ от $250$.

Чтобы найти процент от числа, необходимо перевести проценты в десятичную дробь, а затем умножить эту дробь на исходное число. Процент — это сотая часть числа, поэтому для преобразования процентов в десятичную дробь нужно разделить их количество на 100.

1. Преобразование процентов в десятичную дробь

Переведем 250% в десятичную дробь, разделив 250 на 100:

$250\% = \frac{250}{100} = 2.5$

2. Нахождение значения

Теперь умножим исходное число 250 на полученную десятичную дробь 2.5:

$250 \times 2.5 = 625$

Альтернативный метод: решение через пропорцию

Можно составить пропорцию, в которой число 250 соответствует 100%, а искомое число $x$ соответствует 250%.

$250 \text{ — } 100\%$
$x \text{ — } 250\%$

Из пропорции следует, что $x$ можно найти так:

$x = \frac{250 \times 250}{100} = \frac{62500}{100} = 625$

Оба способа решения приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 625

6. Сколько процентов от числа 52 составляет число 39?

6. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, необходимо разделить первое число (часть) на второе число (целое) и полученный результат умножить на 100%.

В нашем случае нужно найти, какой процент от числа 52 составляет число 39. Здесь число 39 является частью, а число 52 — целым.

Составим математическое выражение по правилу:

$$ \frac{39}{52} \times 100\% $$

Для удобства вычислений сначала сократим дробь $ \frac{39}{52} $. Оба числа, 39 и 52, делятся на 13:

$$ \frac{39 \div 13}{52 \div 13} = \frac{3}{4} $$

Теперь умножим полученную дробь на 100%. Дробь $ \frac{3}{4} $ можно представить в виде десятичной дроби 0,75.

$$ \frac{3}{4} \times 100\% = 0,75 \times 100\% = 75\% $$

Таким образом, число 39 составляет 75% от числа 52.

Ответ: 75%.

7. $40\%$ от какого числа составляет число 40?

Чтобы найти число, зная его процент, нужно данное число (которое составляет этот процент) разделить на величину процента, выраженную в виде дроби.

1. Переведем проценты в десятичную дробь.
Процент — это сотая часть числа. Чтобы перевести 40% в десятичную дробь, нужно разделить 40 на 100:
$40\% = \frac{40}{100} = 0.4$

2. Составим уравнение.
Пусть искомое число — это $x$. Тогда, согласно условию задачи, 40% от числа $x$ равно 40. Математически это можно записать так:
$0.4 \cdot x = 40$

3. Найдем неизвестное число $x$.
Чтобы найти $x$, нужно разделить 40 на 0.4:
$x = \frac{40}{0.4}$
Для удобства вычислений избавимся от дроби в знаменателе, умножив и числитель, и знаменатель на 10:
$x = \frac{40 \cdot 10}{0.4 \cdot 10} = \frac{400}{4}$
$x = 100$

Проверка:
Найдем 40% от 100: $100 \cdot 0.4 = 40$. Условие выполняется.

Ответ: 100.

...$18\%$ от какого числа составляет число $18$?

8. Испорченный калькулятор может делать только одну операцию — вычислять $10\%$ от числа. Через какое наименьшее число операций получится число, меньшее $0,1$, если начать с $2017$?

Каждая операция "вычислить 10% от числа" эквивалентна умножению этого числа на $0,1$ (или делению на 10). Нам нужно найти, через какое наименьшее количество таких последовательных операций число $2017$ станет меньше $0,1$.

Проследим за изменением числа шаг за шагом:

Начальное число: $2017$.

После 1-й операции: $2017 \times 0,1 = 201,7$.

После 2-й операции: $201,7 \times 0,1 = 20,17$.

После 3-й операции: $20,17 \times 0,1 = 2,017$.

После 4-й операции: $2,017 \times 0,1 = 0,2017$.

После четырех операций мы получили число $0,2017$, которое все еще больше $0,1$. Следовательно, необходимо выполнить еще одну операцию.

После 5-й операции: $0,2017 \times 0,1 = 0,02017$.

Число $0,02017$ уже меньше $0,1$. Таким образом, 5 операций — это наименьшее количество, необходимое для выполнения условия.

Эту же задачу можно решить формально, составив неравенство. Пусть $n$ — искомое количество операций. После $n$ операций начальное число $2017$ станет равным $2017 \times (0,1)^n$. Мы ищем наименьшее целое $n$, для которого выполняется условие: $2017 \times (0,1)^n < 0,1$

Разделим обе части неравенства на $0,1$: $2017 \times (0,1)^{n-1} < 1$

Теперь разделим обе части на $2017$: $(0,1)^{n-1} < \frac{1}{2017}$

Так как $0,1 = 10^{-1}$, перепишем неравенство: $10^{-(n-1)} < \frac{1}{2017}$

"Перевернем" дроби в обеих частях, изменив знак неравенства на противоположный: $10^{n-1} > 2017$

Теперь подберем наименьшее целое $n$, удовлетворяющее этому неравенству:
Если $n=4$, то $10^{4-1} = 10^3 = 1000$. Неравенство $1000 > 2017$ неверно.
Если $n=5$, то $10^{5-1} = 10^4 = 10000$. Неравенство $10000 > 2017$ верно.

Следовательно, наименьшее целое число операций $n$ равно 5.

Ответ: 5.

9. Перечислите все решения уравнения $2n + k = 9$ в натуральных числах.

Задача состоит в том, чтобы найти все пары натуральных чисел $(n, k)$, которые являются решением уравнения $2n + k = 9$. В математике натуральными числами принято считать целые положительные числа, то есть $1, 2, 3, \ldots$.

Для нахождения решений выразим одну переменную через другую. Удобнее всего выразить $k$:
$k = 9 - 2n$

Поскольку по условию и $n$, и $k$ должны быть натуральными числами, они должны удовлетворять неравенствам $n \ge 1$ и $k \ge 1$.Подставим выражение для $k$ в неравенство $k \ge 1$:
$9 - 2n \ge 1$

Теперь решим это неравенство относительно $n$:
$9 - 1 \ge 2n$
$8 \ge 2n$
$4 \ge n$ или $n \le 4$

Мы получили, что $n$ должно быть натуральным числом, не превышающим 4. Таким образом, возможные значения для $n$: $1, 2, 3, 4$.

Теперь найдем соответствующее значение $k$ для каждого возможного значения $n$:

• Если $n = 1$, то $k = 9 - 2 \cdot 1 = 9 - 2 = 7$. Пара $(1, 7)$ является решением.
• Если $n = 2$, то $k = 9 - 2 \cdot 2 = 9 - 4 = 5$. Пара $(2, 5)$ является решением.
• Если $n = 3$, то $k = 9 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3$. Пара $(3, 3)$ является решением.
• Если $n = 4$, то $k = 9 - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1$. Пара $(4, 1)$ является решением.

Если мы возьмем следующее натуральное число $n = 5$, то $k = 9 - 2 \cdot 5 = -1$, что не является натуральным числом. Следовательно, мы нашли все возможные решения.

Ответ: $(1, 7)$, $(2, 5)$, $(3, 3)$, $(4, 1)$.

10. Перечислите все решения уравнения $n + 3k = 9$ в натуральных числах.

Требуется найти все решения уравнения $n + 3k = 9$ в натуральных числах. Это означает, что переменные $n$ и $k$ должны быть целыми положительными числами ($n \ge 1$, $k \ge 1$).

Для решения выразим переменную $n$ через $k$ из данного уравнения: $n = 9 - 3k$

Поскольку по условию $n$ должно быть натуральным числом, то должно выполняться неравенство $n \ge 1$. Подставим в него полученное выражение для $n$: $9 - 3k \ge 1$

Теперь решим это неравенство относительно $k$: $9 - 1 \ge 3k$ $8 \ge 3k$ $k \le \frac{8}{3}$ $k \le 2\frac{2}{3}$

Так как $k$ также является натуральным числом ($k \ge 1$), то его возможные целые значения, удовлетворяющие неравенству $k \le 2\frac{2}{3}$, — это $1$ и $2$.

Рассмотрим каждый возможный случай для $k$ и найдем соответствующее значение $n$:

1. Если $k = 1$, то $n = 9 - 3 \cdot 1 = 9 - 3 = 6$.
Получаем пару чисел $(n, k) = (6, 1)$. Оба числа являются натуральными, следовательно, это решение.

2. Если $k = 2$, то $n = 9 - 3 \cdot 2 = 9 - 6 = 3$.
Получаем пару чисел $(n, k) = (3, 2)$. Оба числа являются натуральными, следовательно, это тоже решение.

Если мы проверим следующее натуральное число, $k = 3$, то получим $n = 9 - 3 \cdot 3 = 0$. Ноль не является натуральным числом, поэтому эта пара не является решением. Для всех $k > 3$ значения $n$ будут отрицательными, что также не удовлетворяет условию.

Таким образом, мы нашли все возможные решения уравнения в натуральных числах.

Ответ: $(6; 1)$, $(3; 2)$.

25.6 Приведите одночлены к стандартному виду и укажите те из них, которые подобны одночлену $7m^9$:

а) $m \cdot m^2 \cdot m^3 \cdot 8 \cdot m;$

б) $\frac{12}{13}m \cdot m^3 \cdot m^5;$

в) $36m^3 \cdot m \cdot 2 \cdot m \cdot 0.1 \cdot m^4;$

г) $\frac{1}{2}m^{13} \cdot m^7 \cdot 0.5.$

Для того чтобы привести одночлен к стандартному виду, необходимо перемножить все его числовые множители и все степени с одинаковыми буквенными основаниями. Одночлены подобны, если их буквенная часть одинакова. В данном случае мы ищем одночлены, которые после упрощения будут иметь буквенную часть $m^9$.

а) $m \cdot m^2 \cdot m^3 \cdot 8 \cdot m$

Сначала сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты и переменные. Числовой коэффициент здесь один — это 8. Для переменных используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^n \cdot a^k = a^{n+k}$:

$m \cdot m^2 \cdot m^3 \cdot m = m^1 \cdot m^2 \cdot m^3 \cdot m^1 = m^{1+2+3+1} = m^7$.

Таким образом, стандартный вид одночлена: $8m^7$. Его буквенная часть ($m^7$) не совпадает с буквенной частью одночлена $7m^9$, значит, они не подобны.

Ответ: $8m^7$.

б) $\frac{12}{13}m \cdot m^3 \cdot m^5$

Числовой коэффициент равен $\frac{12}{13}$. Перемножим переменные:

$m \cdot m^3 \cdot m^5 = m^{1+3+5} = m^9$.

Стандартный вид одночлена: $\frac{12}{13}m^9$. Его буквенная часть ($m^9$) совпадает с буквенной частью одночлена $7m^9$, следовательно, одночлены подобны.

Ответ: $\frac{12}{13}m^9$.

в) $36m^3 \cdot m \cdot 2 \cdot m \cdot 0,1 \cdot m^4$

Перемножим числовые коэффициенты: $36 \cdot 2 \cdot 0,1 = 72 \cdot 0,1 = 7,2$.

Теперь перемножим переменные:

$m^3 \cdot m \cdot m \cdot m^4 = m^{3+1+1+4} = m^9$.

Стандартный вид одночлена: $7,2m^9$. Его буквенная часть ($m^9$) совпадает с буквенной частью одночлена $7m^9$, следовательно, одночлены подобны.

Ответ: $7,2m^9$.

г) $\frac{1}{2}m^{13} \cdot m^7 \cdot 0,5$

Перемножим числовые коэффициенты, учитывая, что $0,5 = \frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} \cdot 0,5 = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25$.

Перемножим переменные:

$m^{13} \cdot m^7 = m^{13+7} = m^{20}$.

Стандартный вид одночлена: $0,25m^{20}$. Его буквенная часть ($m^{20}$) не совпадает с буквенной частью одночлена $7m^9$, значит, они не подобны.

Ответ: $0,25m^{20}$.

Таким образом, одночлену $7m^9$ подобны одночлены из пунктов б) и в).

Выполните действия:

25.7 a) $3x + 5x;$

б) $3p + 5p + p;$

в) $6y + 7y;$

г) $7q + 9q + 4q.$

а) Чтобы выполнить сложение подобных слагаемых, необходимо сложить их коэффициенты (числа перед переменной) и результат умножить на их общую буквенную часть. В данном случае общая буквенная часть – это $x$, а коэффициенты – 3 и 5.
$3x + 5x = (3 + 5)x = 8x$
Ответ: $8x$.

б) Все три слагаемых $3p$, $5p$ и $p$ являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $p$. Слагаемое $p$ имеет коэффициент 1, то есть $p = 1p$. Сложим коэффициенты 3, 5 и 1.
$3p + 5p + p = (3 + 5 + 1)p = 9p$
Ответ: $9p$.

в) Слагаемые $6y$ и $7y$ являются подобными. Сложим их коэффициенты 6 и 7 и умножим на общую буквенную часть $y$.
$6y + 7y = (6 + 7)y = 13y$
Ответ: $13y$.

г) Все слагаемые в выражении $7q + 9q + 4q$ подобны. Сложим их коэффициенты.
$7q + 9q + 4q = (7 + 9 + 4)q = (16 + 4)q = 20q$
Ответ: $20q$.

25.8 a) $1,2c + 1,2c;$

б) $\frac{1}{2}m + \frac{1}{4}m;$

в) $3,5d + 8,4d;$

г) $\frac{1}{5}n + \frac{3}{10}n.$

а) Чтобы упростить выражение $1,2c + 1,2c$, нужно сложить подобные слагаемые. Подобными слагаемыми называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. В данном случае оба слагаемых имеют переменную $c$. Мы можем вынести общий множитель $c$ за скобки, используя распределительное свойство умножения относительно сложения:
$1,2c + 1,2c = (1,2 + 1,2)c$
Теперь выполним сложение коэффициентов в скобках:
$1,2 + 1,2 = 2,4$
Таким образом, упрощенное выражение равно $2,4c$.
Ответ: $2,4c$

б) В выражении $\frac{1}{2}m + \frac{1}{4}m$ также нужно сложить подобные слагаемые. Переменная часть у них одинаковая и равна $m$. Сложим их коэффициенты, которые являются обыкновенными дробями.
$\frac{1}{2}m + \frac{1}{4}m = (\frac{1}{2} + \frac{1}{4})m$
Чтобы сложить дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{4}$, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 4 — это 4. Приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 4, умножив ее числитель и знаменатель на 2:
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}$
Теперь выполним сложение дробей:
$\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2+1}{4} = \frac{3}{4}$
Следовательно, итоговое выражение имеет вид $\frac{3}{4}m$.
Ответ: $\frac{3}{4}m$

в) Для упрощения выражения $3,5d + 8,4d$ необходимо сложить подобные слагаемые с переменной $d$. Вынесем общий множитель $d$ за скобки:
$3,5d + 8,4d = (3,5 + 8,4)d$
Теперь сложим десятичные дроби в скобках:
$3,5 + 8,4 = 11,9$
В результате получаем $11,9d$.
Ответ: $11,9d$

г) В выражении $\frac{1}{5}n + \frac{3}{10}n$ складываем подобные слагаемые с переменной $n$. Для этого сложим их коэффициенты $\frac{1}{5}$ и $\frac{3}{10}$.
$\frac{1}{5}n + \frac{3}{10}n = (\frac{1}{5} + \frac{3}{10})n$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 10 — это 10. Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{5}$ на 2:
$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10}$
Теперь сложим дроби:
$\frac{2}{10} + \frac{3}{10} = \frac{2+3}{10} = \frac{5}{10}$
Полученную дробь $\frac{5}{10}$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 5:
$\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
Таким образом, упрощенное выражение равно $\frac{1}{2}n$.
Ответ: $\frac{1}{2}n$

25.9 а) $13x^2 + 20x^2$;

Б) $\frac{1}{2}p^7 + \frac{3}{7}p^7$;

В) $2,1z^3 + 3,05z^3$;

Г) $\frac{1}{3}q^k + \frac{1}{4}q^k$.

а) Данные слагаемые $13x^2$ и $20x^2$ являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $x^2$. Чтобы их сложить (привести подобные слагаемые), нужно сложить их коэффициенты, а результат умножить на общую буквенную часть:
$13x^2 + 20x^2 = (13 + 20)x^2 = 33x^2$.
Ответ: $33x^2$

б) Слагаемые $\frac{1}{2}p^7$ и $\frac{3}{7}p^7$ являются подобными с общей буквенной частью $p^7$. Чтобы их сложить, вынесем общую часть за скобки и сложим числовые коэффициенты. Для сложения дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{7}$ приведем их к общему знаменателю 14.
$\frac{1}{2}p^7 + \frac{3}{7}p^7 = (\frac{1}{2} + \frac{3}{7})p^7 = (\frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7} + \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2})p^7 = (\frac{7}{14} + \frac{6}{14})p^7 = \frac{13}{14}p^7$.
Ответ: $\frac{13}{14}p^7$

в) Слагаемые $2,1z^3$ и $3,05z^3$ являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $z^3$. Складываем их числовые коэффициенты:
$2,1z^3 + 3,05z^3 = (2,1 + 3,05)z^3 = 5,15z^3$.
Ответ: $5,15z^3$

г) Слагаемые $\frac{1}{3}q^k$ и $\frac{1}{4}q^k$ являются подобными с общей буквенной частью $q^k$. Для их сложения приведем дробные коэффициенты к общему знаменателю 12.
$\frac{1}{3}q^k + \frac{1}{4}q^k = (\frac{1}{3} + \frac{1}{4})q^k = (\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3})q^k = (\frac{4}{12} + \frac{3}{12})q^k = \frac{7}{12}q^k$.
Ответ: $\frac{7}{12}q^k$

25.10 a) $1,7d^4 - 0,7d^4;$

б) $7p^8 - 3p^8 - 2p^8;$

В) $m^4 - m^4;$

Г) $12x^8 - x^8 - 3x^8.$

а) В данном выражении $1,7d^4 - 0,7d^4$ оба члена являются подобными слагаемыми, так как у них одинаковая буквенная часть $d^4$. Для упрощения выражения необходимо выполнить вычитание их коэффициентов. Вынесем общий множитель $d^4$ за скобки:
$1,7d^4 - 0,7d^4 = (1,7 - 0,7)d^4$
Вычислим разность в скобках:
$1,7 - 0,7 = 1$
Таким образом, выражение упрощается до:
$1 \cdot d^4 = d^4$
Ответ: $d^4$

б) В выражении $7p^8 - 3p^8 - 2p^8$ все три члена являются подобными слагаемыми, поскольку у них одинаковая буквенная часть $p^8$. Чтобы упростить выражение, сгруппируем коэффициенты и выполним действия с ними.
$7p^8 - 3p^8 - 2p^8 = (7 - 3 - 2)p^8$
Выполним вычисления в скобках последовательно:
$7 - 3 = 4$
$4 - 2 = 2$
В результате получаем:
$2p^8$
Ответ: $2p^8$

в) Выражение $m^4 - m^4$ представляет собой разность двух одинаковых одночленов. Это аналогично вычитанию числа из самого себя. Можно также рассматривать это как приведение подобных слагаемых, где коэффициенты равны $1$ и $-1$.
$m^4 - m^4 = (1 - 1)m^4$
Вычислим разность коэффициентов:
$1 - 1 = 0$
Результат умножения на ноль всегда равен нулю:
$0 \cdot m^4 = 0$
Ответ: $0$

г) В выражении $12x^8 - x^8 - 3x^8$ все члены являются подобными слагаемыми с общей буквенной частью $x^8$. Учтем, что коэффициент у члена $-x^8$ равен $-1$. Сгруппируем коэффициенты и выполним действия с ними.
$12x^8 - x^8 - 3x^8 = (12 - 1 - 3)x^8$
Выполним вычисления в скобках:
$12 - 1 = 11$
$11 - 3 = 8$
Таким образом, итоговое выражение равно:
$8x^8$
Ответ: $8x^8$

25.11 a) $20y - 12y - y - 2y;$

б) $\frac{2a^2}{3} - \frac{a^2}{3};$

В) $30x^2 - 15x^2 - 7x^2;$

Г) $\frac{3}{4}a^2b - \frac{1}{4}a^2b.$

Для упрощения данного выражения необходимо привести подобные слагаемые. Подобными слагаемыми называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. В данном случае все слагаемые ($20y, -12y, -y, -2y$) имеют одинаковую буквенную часть $y$.
Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть. Коэффициент при слагаемом $-y$ равен $-1$.
$20y - 12y - y - 2y = (20 - 12 - 1 - 2)y$.
Выполним действия с коэффициентами в скобках:
$20 - 12 = 8$
$8 - 1 = 7$
$7 - 2 = 5$
Следовательно, результат упрощения выражения: $5y$.
Ответ: $5y$

Данное выражение представляет собой разность двух дробей с одинаковыми знаменателями. Слагаемые $\frac{2a^2}{3}$ и $-\frac{a^2}{3}$ являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $a^2$.
Для упрощения вычтем числители, а знаменатель оставим прежним:
$\frac{2a^2}{3} - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2 - a^2}{3}$.
Теперь упростим выражение в числителе. Это разность подобных слагаемых $2a^2$ и $a^2$.
$2a^2 - a^2 = (2 - 1)a^2 = 1 \cdot a^2 = a^2$.
Подставим результат в числитель дроби:
$\frac{a^2}{3}$.
Ответ: $\frac{a^2}{3}$

Все слагаемые в выражении $30x^2 - 15x^2 - 7x^2$ являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $x^2$.
Для упрощения выражения сложим их коэффициенты и умножим на общую буквенную часть $x^2$.
$30x^2 - 15x^2 - 7x^2 = (30 - 15 - 7)x^2$.
Вычислим значение в скобках, выполняя действия по порядку:
$30 - 15 = 15$
$15 - 7 = 8$
Таким образом, итоговое выражение равно $8x^2$.
Ответ: $8x^2$

Слагаемые в выражении $\frac{3}{4}a^2b - \frac{1}{4}a^2b$ являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $a^2b$.
Для упрощения нужно выполнить вычитание их коэффициентов, которые являются дробями.
$\frac{3}{4}a^2b - \frac{1}{4}a^2b = (\frac{3}{4} - \frac{1}{4})a^2b$.
Выполним вычитание дробей. Так как знаменатели одинаковы, вычитаем числители:
$\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4}$.
Полученную дробь $\frac{2}{4}$ можно сократить на 2:
$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Значит, результат упрощения выражения: $\frac{1}{2}a^2b$.
Ответ: $\frac{1}{2}a^2b$

25.12 a) $5x^2y + 6x^2y;$

б) $\frac{1}{2}c^3d + \frac{1}{2}c^3d;$

В) $3,5b^2d^3 + 8,4b^2d^3;$

г) $1\frac{3}{8}m^3n^4 + 3\frac{1}{16}m^3n^4.$

а) Чтобы сложить данные одночлены, необходимо сложить их коэффициенты, так как у них одинаковая буквенная часть $x^2y$. Такие одночлены называются подобными.

$5x^2y + 6x^2y = (5 + 6)x^2y = 11x^2y$

Ответ: $11x^2y$

б) Данные одночлены являются подобными, потому что их буквенная часть $c^3d$ одинакова. Сложим их коэффициенты.

$\frac{1}{2}c^3d + \frac{1}{2}c^3d = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})c^3d = 1 \cdot c^3d = c^3d$

Ответ: $c^3d$

в) Одночлены имеют одинаковую буквенную часть $b^2d^3$, следовательно, они подобные. Сложим их числовые коэффициенты.

$3,5b^2d^3 + 8,4b^2d^3 = (3,5 + 8,4)b^2d^3 = 11,9b^2d^3$

Ответ: $11,9b^2d^3$

г) Буквенная часть одночленов $m^3n^4$ одинакова, значит, они являются подобными. Для их сложения необходимо сложить коэффициенты, которые являются смешанными числами.

Приведем дроби в коэффициентах к общему знаменателю 16:

$1\frac{3}{8} = 1\frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2} = 1\frac{6}{16}$

Теперь выполним сложение коэффициентов, складывая целые и дробные части отдельно:

$1\frac{3}{8}m^3n^4 + 3\frac{1}{16}m^3n^4 = (1\frac{6}{16} + 3\frac{1}{16})m^3n^4 = ((1+3) + (\frac{6}{16} + \frac{1}{16}))m^3n^4 = 4\frac{7}{16}m^3n^4$

Ответ: $4\frac{7}{16}m^3n^4$

Вместо символа * поставьте такой одночлен, чтобы получилось верное равенство:

25.13 a) $5a^2b^3 + * = 13a^2b^3;$

б) $-12x^3 - * = -24x^3;$

в) $7,4pq - * = 4pq;$

г) $* + 0,5m^2n = 1,7m^2n.$

а) В данном равенстве $5a^2b^3 + * = 13a^2b^3$ искомый одночлен является неизвестным слагаемым. Чтобы его найти, нужно из суммы ($13a^2b^3$) вычесть известное слагаемое ($5a^2b^3$).

Обозначим искомый одночлен через $*$.

$* = 13a^2b^3 - 5a^2b^3$

Поскольку буквенная часть у одночленов одинакова ($a^2b^3$), мы можем выполнить вычитание их коэффициентов:

$* = (13 - 5)a^2b^3 = 8a^2b^3$

Проверим: $5a^2b^3 + 8a^2b^3 = (5+8)a^2b^3 = 13a^2b^3$. Равенство верно.

Ответ: $8a^2b^3$

б) В равенстве $-12x^3 - * = -24x^3$ искомый одночлен является вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого ($-12x^3$) вычесть разность ($-24x^3$).

$* = -12x^3 - (-24x^3)$

Раскрываем скобки, меняя знак на противоположный:

$* = -12x^3 + 24x^3$

Складываем коэффициенты при одинаковой буквенной части ($x^3$):

$* = (-12 + 24)x^3 = 12x^3$

Проверим: $-12x^3 - 12x^3 = (-12-12)x^3 = -24x^3$. Равенство верно.

Ответ: $12x^3$

в) В равенстве $7,4pq - * = 4pq$ искомый одночлен является вычитаемым. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого ($7,4pq$) вычесть разность ($4pq$).

$* = 7,4pq - 4pq$

Вычитаем коэффициенты при одинаковой буквенной части ($pq$):

$* = (7,4 - 4)pq = 3,4pq$

Проверим: $7,4pq - 3,4pq = (7,4-3,4)pq = 4pq$. Равенство верно.

Ответ: $3,4pq$

г) В равенстве $* + 0,5m^2n = 1,7m^2n$ искомый одночлен является неизвестным слагаемым. Чтобы его найти, нужно из суммы ($1,7m^2n$) вычесть известное слагаемое ($0,5m^2n$).

$* = 1,7m^2n - 0,5m^2n$

Вычитаем коэффициенты при одинаковой буквенной части ($m^2n$):

$* = (1,7 - 0,5)m^2n = 1,2m^2n$

Проверим: $1,2m^2n + 0,5m^2n = (1,2+0,5)m^2n = 1,7m^2n$. Равенство верно.

Ответ: $1,2m^2n$

25.14 a) $-18a^5b^7 - * = 0;$

б) $* + 6st^4 = -1,2st^4;$

в) $0 - * = 2,4x^3yz;$

г) $13xyz - * = 18,3xyz.$

а) В данном уравнении $-18a^5b^7 - * = 0$ звездочка (*) обозначает вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, необходимо из уменьшаемого ($-18a^5b^7$) вычесть разность (0).
Обозначим искомый одночлен через $X$:
$-18a^5b^7 - X = 0$
Чтобы найти $X$, перенесем его в правую часть уравнения, поменяв знак:
$-18a^5b^7 = X$
Таким образом, искомый одночлен, который нужно подставить вместо звездочки, равен $-18a^5b^7$.
Проверим решение: $-18a^5b^7 - (-18a^5b^7) = -18a^5b^7 + 18a^5b^7 = 0$. Равенство верно.
Ответ: $-18a^5b^7$.

б) В уравнении $* + 6st^4 = -1.2st^4$ звездочка (*) обозначает неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы ($-1.2st^4$) вычесть известное слагаемое ($6st^4$).
Обозначим искомый одночлен через $X$:
$X + 6st^4 = -1.2st^4$
Перенесем $6st^4$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$X = -1.2st^4 - 6st^4$
Приведем подобные члены, сложив их коэффициенты:
$X = (-1.2 - 6)st^4 = -7.2st^4$
Следовательно, вместо звездочки нужно подставить одночлен $-7.2st^4$.
Проверим решение: $-7.2st^4 + 6st^4 = (-7.2 + 6)st^4 = -1.2st^4$. Равенство верно.
Ответ: $-7.2st^4$.

в) В уравнении $0 - * = 2.4x^3yz$ звездочка (*) обозначает вычитаемое. Уменьшаемое равно 0, а разность равна $2.4x^3yz$.
Обозначим искомый одночлен через $X$:
$0 - X = 2.4x^3yz$
$-X = 2.4x^3yz$
Чтобы найти $X$, умножим обе части уравнения на -1:
$X = -2.4x^3yz$
Таким образом, вместо звездочки нужно подставить одночлен $-2.4x^3yz$.
Проверим решение: $0 - (-2.4x^3yz) = 2.4x^3yz$. Равенство верно.
Ответ: $-2.4x^3yz$.

г) В уравнении $13xyz - * = 18.3xyz$ звездочка (*) обозначает вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, необходимо из уменьшаемого ($13xyz$) вычесть разность ($18.3xyz$).
Обозначим искомый одночлен через $X$:
$13xyz - X = 18.3xyz$
Выразим $X$ из уравнения:
$X = 13xyz - 18.3xyz$
Приведем подобные члены, вычитая их коэффициенты:
$X = (13 - 18.3)xyz = -5.3xyz$
Следовательно, вместо звездочки нужно подставить одночлен $-5.3xyz$.
Проверим решение: $13xyz - (-5.3xyz) = 13xyz + 5.3xyz = (13 + 5.3)xyz = 18.3xyz$. Равенство верно.
Ответ: $-5.3xyz$.

25.15 a) Представьте одночлен $6cd^2$ в виде суммы одночленов несколькими способами.

б) Представьте одночлен $49x^3y^2$ в виде суммы одночленов несколькими способами.

а)

Чтобы представить одночлен в виде суммы других одночленов, нужно найти несколько подобных ему одночленов, алгебраическая сумма которых будет равна исходному одночлену. Подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть. Для одночлена $6cd^2$ буквенная часть — это $cd^2$. Следовательно, нам нужно найти несколько чисел, сумма которых равна коэффициенту 6. Существует бесконечно много таких комбинаций.

Приведем несколько примеров:

1. Представим коэффициент 6 как сумму двух положительных целых чисел, например, $6 = 2 + 4$.
Тогда $6cd^2 = 2cd^2 + 4cd^2$.

2. Представим коэффициент 6 как сумму трех слагаемых, например, $6 = 1 + 2 + 3$.
Тогда $6cd^2 = 1cd^2 + 2cd^2 + 3cd^2 = cd^2 + 2cd^2 + 3cd^2$.

3. Можно использовать и отрицательные числа. Например, $6 = 10 - 4$.
Тогда $6cd^2 = 10cd^2 - 4cd^2$.

Ответ: Например, $6cd^2 = 2cd^2 + 4cd^2$; $6cd^2 = cd^2 + 5cd^2$; $6cd^2 = 8cd^2 - 2cd^2$.

б)

Аналогично предыдущему пункту, для представления одночлена $49x^3y^2$ в виде суммы нужно разбить его коэффициент 49 на несколько слагаемых. Буквенная часть $x^3y^2$ при этом остается неизменной для всех слагаемых.

Приведем несколько примеров:

1. Представим коэффициент 49 как сумму двух слагаемых, например, $49 = 25 + 24$.
Тогда $49x^3y^2 = 25x^3y^2 + 24x^3y^2$.

2. Представим коэффициент 49 как разность двух чисел, например, $49 = 100 - 51$.
Тогда $49x^3y^2 = 100x^3y^2 - 51x^3y^2$.

3. Представим 49 как сумму трех и более слагаемых, например, $49 = 9 + 10 + 30$.
Тогда $49x^3y^2 = 9x^3y^2 + 10x^3y^2 + 30x^3y^2$.

Ответ: Например, $49x^3y^2 = 25x^3y^2 + 24x^3y^2$; $49x^3y^2 = 50x^3y^2 - x^3y^2$; $49x^3y^2 = 9x^3y^2 + 10x^3y^2 + 30x^3y^2$.