Номер 8, страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

...$18\%$ от какого числа составляет число $18$?

8. Испорченный калькулятор может делать только одну операцию — вычислять $10\%$ от числа. Через какое наименьшее число операций получится число, меньшее $0,1$, если начать с $2017$?

Каждая операция "вычислить 10% от числа" эквивалентна умножению этого числа на $0,1$ (или делению на 10). Нам нужно найти, через какое наименьшее количество таких последовательных операций число $2017$ станет меньше $0,1$.

Проследим за изменением числа шаг за шагом:

Начальное число: $2017$.

После 1-й операции: $2017 \times 0,1 = 201,7$.

После 2-й операции: $201,7 \times 0,1 = 20,17$.

После 3-й операции: $20,17 \times 0,1 = 2,017$.

После 4-й операции: $2,017 \times 0,1 = 0,2017$.

После четырех операций мы получили число $0,2017$, которое все еще больше $0,1$. Следовательно, необходимо выполнить еще одну операцию.

После 5-й операции: $0,2017 \times 0,1 = 0,02017$.

Число $0,02017$ уже меньше $0,1$. Таким образом, 5 операций — это наименьшее количество, необходимое для выполнения условия.

Эту же задачу можно решить формально, составив неравенство. Пусть $n$ — искомое количество операций. После $n$ операций начальное число $2017$ станет равным $2017 \times (0,1)^n$. Мы ищем наименьшее целое $n$, для которого выполняется условие: $2017 \times (0,1)^n < 0,1$

Разделим обе части неравенства на $0,1$: $2017 \times (0,1)^{n-1} < 1$

Теперь разделим обе части на $2017$: $(0,1)^{n-1} < \frac{1}{2017}$

Так как $0,1 = 10^{-1}$, перепишем неравенство: $10^{-(n-1)} < \frac{1}{2017}$

"Перевернем" дроби в обеих частях, изменив знак неравенства на противоположный: $10^{n-1} > 2017$

Теперь подберем наименьшее целое $n$, удовлетворяющее этому неравенству:
Если $n=4$, то $10^{4-1} = 10^3 = 1000$. Неравенство $1000 > 2017$ неверно.
Если $n=5$, то $10^{5-1} = 10^4 = 10000$. Неравенство $10000 > 2017$ верно.

Следовательно, наименьшее целое число операций $n$ равно 5.

Ответ: 5.