Номер 1, страница 116, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Темы исследовательских работ. Параграф 23. Работа с таблицами распределения. Глава 4. Степень с натуральным показателем и её свойства. Часть 1 - номер 1, страница 116.

Условие.

1. Свойства степеней с целыми неотрицательными показателями.

Решение 1.

Решение 8.

Степенью числа a с целым неотрицательным показателем n называется выражение вида $a^n$, где a — это основание степени, а n — показатель степени. Целые неотрицательные показатели — это числа 0, 1, 2, 3, ...

Определение степени:

• Если $n > 1$, то степень $a^n$ — это произведение n множителей, каждый из которых равен a:
  $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}$
• Если $n = 1$, то $a^1 = a$.
• Если $n = 0$ и $a \neq 0$, то $a^0 = 1$.

Основные свойства степеней с целыми неотрицательными показателями (для любых чисел a, b и целых неотрицательных m, n):

1. Умножение степеней с одинаковым основанием

При умножении степеней с одинаковым основанием их основание остается прежним, а показатели степеней складываются.

Формула: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Пример: $3^2 \cdot 3^3 = (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3) = 3^5 = 243$. Используя свойство: $3^{2+3} = 3^5 = 243$.

Ответ: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

2. Деление степеней с одинаковым основанием

При делении степеней с одинаковым основанием (при $a \neq 0$ и $m \ge n$) их основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя.

Формула: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Пример: $\frac{5^4}{5^2} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5} = 5^2 = 25$. Используя свойство: $5^{4-2} = 5^2 = 25$.

Ответ: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (при $a \neq 0$, $m \ge n$)

3. Возведение степени в степень

При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются.

Формула: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Пример: $(2^3)^2 = (2 \cdot 2 \cdot 2)^2 = 8^2 = 64$. Используя свойство: $2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64$.

Ответ: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

4. Возведение произведения в степень

Чтобы возвести произведение в степень, нужно каждый множитель возвести в эту степень и результаты перемножить.

Формула: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

Пример: $(2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000$. Используя свойство: $2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$.

Ответ: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

5. Возведение дроби (частного) в степень

Чтобы возвести дробь в степень (при $b \neq 0$), нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель, и первый результат разделить на второй.

Формула: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Пример: $(\frac{6}{3})^4 = 2^4 = 16$. Используя свойство: $\frac{6^4}{3^4} = \frac{1296}{81} = 16$.

Ответ: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ (при $b \neq 0$)