Страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Сформулируйте определение степени с нулевым показателем.

1. Степенью любого ненулевого числа с нулевым показателем называется число 1.

Это определение можно записать в виде формулы: $a^0 = 1$ при условии, что $a \neq 0$.

Обоснование определения

Это правило не является произвольным, а логически вытекает из свойства деления степеней с одинаковым основанием. Свойство гласит, что при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, а основание остается прежним:

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (при $a \neq 0$)

Рассмотрим частный случай, когда показатели $m$ и $n$ равны, то есть $m = n$.

С одной стороны, применяя вышеуказанное свойство, получаем:

$\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$

С другой стороны, любое ненулевое число (или выражение), деленное само на себя, равно единице:

$\frac{a^n}{a^n} = 1$

Поскольку левые части обоих выражений одинаковы, мы можем приравнять их правые части:

$a^0 = 1$

Таким образом, для сохранения свойств степеней, степень любого ненулевого числа с показателем 0 должна быть равна 1.

Важное замечание о нуле в нулевой степени

Определение степени с нулевым показателем дается только для ненулевых оснований. Выражение $0^0$ (ноль в нулевой степени) в рамках школьного курса алгебры считается неопределенным, то есть не имеющим определенного значения. Это связано с возникающим противоречием: с одной стороны, $a^0 = 1$, а с другой — $0^n = 0$ для любого натурального $n$.

Примеры:

$7^0 = 1$

$(-25)^0 = 1$

$(\frac{3}{5})^0 = 1$

$(\sqrt{2})^0 = 1$

Ответ: Степень числа $a$, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице. Формулой это записывается так: $a^0 = 1$ для любого $a \neq 0$.

2. Сравните: $(987654321)^0$ и $0^{987654321}$.

Для сравнения двух выражений, $(987654321)^0$ и $0^{987654321}$, необходимо вычислить значение каждого из них, используя основные свойства степени.

1. Вычисление значения выражения $(987654321)^0$

Согласно правилу возведения в степень, любое число, не равное нулю, возведенное в нулевую степень, равно единице. Формула: $a^0 = 1$ (при $a \neq 0$).

В данном случае основание степени $a = 987654321$, что не равно нулю. Следовательно:

$(987654321)^0 = 1$

2. Вычисление значения выражения $0^{987654321}$

Согласно правилу возведения в степень, ноль, возведенный в любую положительную степень, равен нулю. Формула: $0^n = 0$ (при $n > 0$).

В данном случае показатель степени $n = 987654321$, что является положительным числом ($987654321 > 0$). Следовательно:

$0^{987654321} = 0$

3. Сравнение полученных результатов

Теперь мы можем сравнить результаты вычислений:

$(987654321)^0 = 1$

$0^{987654321} = 0$

Поскольку $1 > 0$, то и исходное выражение слева больше, чем выражение справа.

Ответ: $(987654321)^0 > 0^{987654321}$.

3. Как вы думаете, можно ли отрицательное число возвести в нулевую степень?

Да, можно. Согласно определению степени с нулевым показателем, любое число, не равное нулю, при возведении в нулевую степень равно единице.

Это правило можно записать в виде формулы: $a^0 = 1$ , где $a \neq 0$.

Поскольку любое отрицательное число, например $-x$ (где $x > 0$), не равно нулю, это правило применимо и к нему. Таким образом, любое отрицательное число в нулевой степени будет равно 1.

Например:

• $(-5)^0 = 1$
• $(-123.45)^0 = 1$
• $(-\frac{2}{3})^0 = 1$

Это определение следует из свойств степеней. Рассмотрим свойство деления степеней с одинаковым основанием:

$\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$

Если мы возьмем случай, когда $n=m$ (и $a \neq 0$), то получим:

$\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$

В то же время, мы знаем, что любое число (кроме нуля), деленное само на себя, дает в результате 1:

$\frac{a^n}{a^n} = 1$

Сопоставляя эти два равенства, мы приходим к выводу, что $a^0 = 1$ для любого $a \neq 0$, включая отрицательные числа.

Важно отметить, что выражение $0^0$ (ноль в нулевой степени) в большинстве разделов математики считается неопределенностью.

Ответ: Да, можно. Любое отрицательное число, возведенное в нулевую степень, равно 1.

4. Как вы думаете, почему запись $0^0$ считается в математике лишённой смысла?

Вопрос о значении выражения $0^0$ является одним из классических примеров неоднозначности в математике. Утверждение, что эта запись «лишена смысла», происходит в первую очередь из-за противоречий, возникающих при попытке определить её значение с помощью пределов в математическом анализе. В то же время, в других разделах математики, таких как алгебра и комбинаторика, принято полезное соглашение, что $0^0 = 1$. Рассмотрим эти две точки зрения.

Аргумент из математического анализа (неопределённость)

Основная причина, по которой выражение $0^0$ считают «лишённым смысла» или, более корректно, неопределённостью, связана с поведением функции $f(x, y) = x^y$ вблизи точки $(0, 0)$. Результат вычисления предела этой функции зависит от траектории приближения к нулю.

С одной стороны, если зафиксировать показатель степени $y=0$ и устремить основание $x$ к нулю, мы получим предел, равный единице, так как любое ненулевое число в нулевой степени равно 1: $$ \lim_{x \to 0} x^0 = 1 $$ С другой стороны, если зафиксировать основание $x=0$ и устремить к нулю положительный показатель степени $y$, мы получим предел, равный нулю, так как ноль в любой положительной степени — это ноль: $$ \lim_{y \to 0^+} 0^y = 0 $$ Поскольку при движении к точке $(0, 0)$ по разным путям мы получаем разные предельные значения (1 и 0), это означает, что единого, однозначно определённого предела для функции $x^y$ в этой точке не существует. В математическом анализе такая ситуация называется неопределённостью.

Ответ: В математическом анализе запись $0^0$ считается неопределённостью, потому что предел функции $f(x,y)=x^y$ в точке $(0,0)$ не существует — его значение зависит от способа приближения к этой точке, что делает невозможным присвоение выражению одного конкретного значения.

Аргумент из алгебры и комбинаторики (соглашение)

Несмотря на неопределённость в анализе, во многих других областях математики, где не работают с пределами в данном контексте, очень удобно и логично принять по соглашению (конвенции), что $0^0 = 1$. Это позволяет сохранить простоту и общность многих важных формул и определений.

В комбинаторике: выражение $a^b$ можно трактовать как количество функций, отображающих множество из $b$ элементов в множество из $a$ элементов. Тогда $0^0$ — это количество функций из пустого множества в пустое множество. Существует ровно одна такая функция — пустая функция, поэтому с этой точки зрения $0^0 = 1$.
В алгебре: соглашение $0^0 = 1$ необходимо для корректной работы таких фундаментальных конструкций, как степенные ряды и бином Ньютона. Например, степенной ряд $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$ при $x=0$ должен давать значение $f(0) = c_0$. Это возможно, только если первый член ряда $c_0 x^0$ при $x=0$ равен $c_0 \cdot 0^0 = c_0 \cdot 1 = c_0$. Аналогично, формула бинома Ньютона $(a+b)^n$ требует этого соглашения для корректности в крайних случаях.

Ответ: В алгебре, комбинаторике и теории множеств принято соглашение $0^0=1$, так как оно обеспечивает корректность и простоту важных формул (например, бинома Ньютона, степенных рядов) и имеет ясную комбинаторную интерпретацию.

24.6 Используя переменные $p$ и $q$, запишите:

а) три разных одночлена с одинаковой буквенной частью;

б) три разных одночлена с одинаковыми коэффициентами.

а) три разных одночлена с одинаковой буквенной частью;

Одночлен — это выражение, состоящее из числового коэффициента и буквенной части (одной или нескольких переменных, возможно, в степенях). Чтобы записать три разных одночлена с одинаковой буквенной частью, нужно выбрать одну и ту же буквенную часть, составленную из переменных $p$ и $q$, а затем умножить её на три разных числовых коэффициента.

Например, выберем в качестве буквенной части выражение $pq$. Теперь подберем для него три любых различных коэффициента, например, $5$, $-2$ и $0,4$.

В результате получим следующие три одночлена: $5pq$, $-2pq$ и $0,4pq$. Все они имеют одинаковую буквенную часть $pq$, но являются разными одночленами, так как их коэффициенты различны.

Ответ: $5pq, -2pq, 0,4pq$.

б) три разных одночлена с одинаковыми коэффициентами.

Чтобы записать три разных одночлена с одинаковыми коэффициентами, необходимо, наоборот, выбрать один и тот же числовой коэффициент, а затем умножить его на три разные буквенные части, составленные из переменных $p$ и $q$.

Например, выберем в качестве коэффициента число $7$. Теперь составим три различные буквенные части с использованием переменных $p$ и $q$. Например: $p$, $q^2$ и $p^3q$.

Перемножив выбранный коэффициент с каждой из буквенных частей, получим три искомых одночлена: $7p$, $7q^2$ и $7p^3q$. Все они имеют одинаковый коэффициент $7$, но являются разными одночленами, так как их буквенные части различны.

Ответ: $7p, 7q^2, 7p^3q$.

24.7 Найдите значение одночлена:

а) $7x^3$, если $x = 0$, $x = 1$, $x = -1$;

б) $0.04cd^2$, если $c = 15$, $d = -2$;

в) $9y^2$, если $y = 2$, $y = -2$, $y = 10$;

г) $\frac{3}{8}pq^3$, если $p = 1$, $q = 2$.

а) Для нахождения значения одночлена $7x^3$ подставим в него поочередно заданные значения переменной $x$.

При $x = 0$: $7x^3 = 7 \cdot 0^3 = 7 \cdot 0 = 0$.

При $x = 1$: $7x^3 = 7 \cdot 1^3 = 7 \cdot 1 = 7$.

При $x = -1$: $7x^3 = 7 \cdot (-1)^3 = 7 \cdot (-1) = -7$.

Ответ: 0; 7; -7.

б) Чтобы найти значение одночлена $0,04cd^2$, подставим значения $c = 15$ и $d = -2$.

$0,04cd^2 = 0,04 \cdot 15 \cdot (-2)^2$.

Сначала возведем в степень, а затем выполним умножение:

$0,04 \cdot 15 \cdot 4 = 0,6 \cdot 4 = 2,4$.

Ответ: 2,4.

в) Для нахождения значения одночлена $9y^2$ подставим в него поочередно заданные значения переменной $y$.

При $y = 2$: $9y^2 = 9 \cdot 2^2 = 9 \cdot 4 = 36$.

При $y = -2$: $9y^2 = 9 \cdot (-2)^2 = 9 \cdot 4 = 36$.

При $y = 10$: $9y^2 = 9 \cdot 10^2 = 9 \cdot 100 = 900$.

Ответ: 36; 36; 900.

г) Чтобы найти значение одночлена $\frac{3}{8}pq^3$, подставим значения $p = 1$ и $q = 2$.

$\frac{3}{8}pq^3 = \frac{3}{8} \cdot 1 \cdot 2^3$.

Выполним вычисления, учитывая, что $2^3 = 8$:

$\frac{3}{8} \cdot 1 \cdot 8 = \frac{3 \cdot 8}{8} = 3$.

Ответ: 3.

Приведите выражение к одночлену стандартного вида и укажите коэффициент и буквенную часть:

24.8

а) $3m^4 \cdot m$;

б) $5x \cdot 10y^2$;

в) $42y^5 \cdot y^8 \cdot y^{12}$;

г) $-7z^3 \cdot 4t^8$.

а) Чтобы привести выражение $3m^4 \cdot m$ к одночлену стандартного вида, необходимо перемножить степени с одинаковым основанием. Числовой коэффициент здесь равен 3. По свойству умножения степеней $a^n \cdot a^k = a^{n+k}$, имеем $m^4 \cdot m = m^4 \cdot m^1 = m^{4+1} = m^5$. Соединив числовой коэффициент и буквенную часть, получаем одночлен в стандартном виде $3m^5$.
Ответ: $3m^5$; коэффициент 3; буквенная часть $m^5$.

б) Чтобы привести выражение $5x \cdot 10y^2$ к одночлену стандартного вида, перемножим отдельно числовые коэффициенты и буквенные части. Произведение коэффициентов: $5 \cdot 10 = 50$. Произведение буквенных частей: $x \cdot y^2 = xy^2$. Таким образом, получаем одночлен стандартного вида $50xy^2$.
Ответ: $50xy^2$; коэффициент 50; буквенная часть $xy^2$.

в) В выражении $42y^5 \cdot y^8 \cdot y^{12}$ числовой коэффициент равен 42. Все переменные имеют одинаковое основание $y$, поэтому для приведения к стандартному виду нужно перемножить степени, сложив их показатели: $y^5 \cdot y^8 \cdot y^{12} = y^{5+8+12} = y^{25}$. Таким образом, одночлен в стандартном виде равен $42y^{25}$.
Ответ: $42y^{25}$; коэффициент 42; буквенная часть $y^{25}$.

г) Чтобы привести выражение $-7z^3 \cdot 4t^8$ к одночлену стандартного вида, перемножим числовые коэффициенты: $-7 \cdot 4 = -28$. Затем перемножим буквенные части. Так как переменные $z$ и $t$ имеют разные основания, мы просто записываем их произведение, расположив в алфавитном порядке: $t^8z^3$. В результате получаем одночлен стандартного вида $-28t^8z^3$.
Ответ: $-28t^8z^3$; коэффициент -28; буквенная часть $t^8z^3$.

24.9 a) $7a \cdot 3b \cdot 4c;$

В) $8u^4 \cdot 4v^3 \cdot (-2w^5);$

Б) $15q \cdot 2p^2 \cdot 4r^5;$

Г) $-\frac{1}{2}c^{12} \cdot 2d^{18} \cdot s^{10}.$

а) Чтобы найти произведение одночленов, необходимо перемножить их числовые коэффициенты и их переменные части.
$7a \cdot 3b \cdot 4c = (7 \cdot 3 \cdot 4) \cdot (a \cdot b \cdot c)$
Вычисляем произведение коэффициентов: $7 \cdot 3 \cdot 4 = 21 \cdot 4 = 84$.
Перемножаем переменные: $a \cdot b \cdot c = abc$.
Объединяя результаты, получаем: $84abc$.
Ответ: $84abc$

б) Для умножения одночленов $15q$, $2p^2$ и $4r^5$ сгруппируем и перемножим отдельно числовые коэффициенты и переменные.
$15q \cdot 2p^2 \cdot 4r^5 = (15 \cdot 2 \cdot 4) \cdot (q \cdot p^2 \cdot r^5)$
Вычислим произведение коэффициентов: $15 \cdot 2 \cdot 4 = 30 \cdot 4 = 120$.
Перемножим переменные, расположив их в алфавитном порядке для стандартной формы записи: $p^2qr^5$.
Итоговое выражение: $120p^2qr^5$.
Ответ: $120p^2qr^5$

в) Выполним умножение одночленов $8u^4$, $4v^3$ и $(-2w^5)$.
$8u^4 \cdot 4v^3 \cdot (-2w^5) = (8 \cdot 4 \cdot (-2)) \cdot (u^4 \cdot v^3 \cdot w^5)$
Перемножим коэффициенты: $8 \cdot 4 \cdot (-2) = 32 \cdot (-2) = -64$.
Перемножим переменные части: $u^4v^3w^5$.
Итоговый одночлен в стандартном виде: $-64u^4v^3w^5$.
Ответ: $-64u^4v^3w^5$

г) Найдем произведение $-\frac{1}{2}c^{12} \cdot 2d^{18} \cdot s^{10}$.
Сгруппируем коэффициенты и переменные: $(-\frac{1}{2} \cdot 2) \cdot (c^{12} \cdot d^{18} \cdot s^{10})$.
Вычислим произведение коэффициентов: $-\frac{1}{2} \cdot 2 = -1$.
Произведение переменных частей: $c^{12} \cdot d^{18} \cdot s^{10} = c^{12}d^{18}s^{10}$.
Результатом является произведение коэффициента и переменных: $-1 \cdot c^{12}d^{18}s^{10}$. В стандартной записи одночлена коэффициент $-1$ обычно не пишется, остается только знак минус.
Итоговый результат: $-c^{12}d^{18}s^{10}$.
Ответ: $-c^{12}d^{18}s^{10}$

O 24.10 Приведите левую часть равенства к одночлену стандартного вида и решите полученное уравнение:

а) $2x \cdot 3x^2 = 6$;

б) $2x \cdot 5x = 10$;

в) $x \cdot 5x \cdot \frac{1}{5}x = -1$;

г) $0,5x^2 \cdot (-2x^2) = -1$.

а) $2x \cdot 3x^2 = 6$

Сначала приведем левую часть уравнения к одночлену стандартного вида. Для этого перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковым основанием:

$(2 \cdot 3) \cdot (x \cdot x^2) = 6x^{1+2} = 6x^3$

Теперь решим полученное уравнение:

$6x^3 = 6$

Разделим обе части уравнения на 6:

$x^3 = 1$

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{1}$

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

б) $2x \cdot 5x = 10$

Приведем левую часть к стандартному виду, перемножив коэффициенты и переменные:

$(2 \cdot 5) \cdot (x \cdot x) = 10x^{1+1} = 10x^2$

Решим полученное уравнение:

$10x^2 = 10$

Разделим обе части на 10:

$x^2 = 1$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Уравнение имеет два корня:

$x_1 = \sqrt{1} = 1$

$x_2 = -\sqrt{1} = -1$

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.

в) $x \cdot 5x \cdot \frac{1}{5}x = -1$

Упростим левую часть уравнения, приведя ее к одночлену стандартного вида:

$(1 \cdot 5 \cdot \frac{1}{5}) \cdot (x \cdot x \cdot x) = 1 \cdot x^{1+1+1} = x^3$

Получаем уравнение:

$x^3 = -1$

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{-1}$

$x = -1$

Ответ: $x = -1$.

г) $0,5x^2 \cdot (-2x^2) = -1$

Приведем левую часть к стандартному виду:

$(0.5 \cdot (-2)) \cdot (x^2 \cdot x^2) = -1 \cdot x^{2+2} = -x^4$

Решим полученное уравнение:

$-x^4 = -1$

Умножим обе части на -1:

$x^4 = 1$

Извлечем корень четвертой степени. Так как степень четная, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \sqrt[4]{1} = 1$

$x_2 = -\sqrt[4]{1} = -1$

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.

24.11 a) Стороны прямоугольника относятся как 3 : 4. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 48 $\text{см}^2$.

б) Ширина прямоугольника составляет $\frac{5}{7}$ от его длины. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 35 $\text{дм}^2$.

а) Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Согласно условию, их отношение $a : b = 3 : 4$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда стороны можно выразить как $a = 3x$ и $b = 4x$.
Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию $S = 48$ см².
Составим уравнение:
$(3x) \cdot (4x) = 48$
$12x^2 = 48$
$x^2 = \frac{48}{12}$
$x^2 = 4$
$x = \sqrt{4} = 2$ (берем только положительное значение, так как длина стороны не может быть отрицательной).
Теперь найдем длины сторон:
Первая сторона: $a = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ см.
Вторая сторона: $b = 4x = 4 \cdot 2 = 8$ см.
Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

б) Пусть длина прямоугольника равна $l$, а ширина – $w$. По условию, ширина составляет $\frac{5}{7}$ от его длины, то есть $w = \frac{5}{7}l$.
Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его длины и ширины: $S = l \cdot w$. По условию $S = 35$ дм².
Подставим выражение для ширины в формулу площади и решим уравнение:
$l \cdot \left(\frac{5}{7}l\right) = 35$
$\frac{5}{7}l^2 = 35$
$l^2 = 35 \div \frac{5}{7}$
$l^2 = 35 \cdot \frac{7}{5}$
$l^2 = 49$
$l = \sqrt{49} = 7$ дм (длина не может быть отрицательной).
Теперь найдем ширину:
$w = \frac{5}{7}l = \frac{5}{7} \cdot 7 = 5$ дм.
Ответ: стороны прямоугольника равны 5 дм и 7 дм.